随即变量的数字特征方差实用教案

1、 容易算得，二人击中环数的平均值都是容易算得，二人击中环数的平均值都是8.8环，现问，甲、乙二人哪一个环，现问，甲、乙二人哪一个(y )水平发挥的水平发挥的更稳定？更稳定？甲甲 9 8 10 8 9 8 8 9 10 9乙乙 6 7 9 10 10 9 10 8 9 10 直观的理解，二选手直观的理解，二选手(xunshu)中哪一个中哪一个击中的环击中的环数偏离平均值越少，这个选手数偏离平均值越少，这个选手(xunshu)发挥发挥的更稳定的更稳定第1页/共37页第一页，共37页。一些。为此我们一些。为此我们(w men)利用二人每枪击中的环数利用二人每枪击中的环数距距平均值的偏差的均值来比较。

2、为了防止偏差平均值的偏差的均值来比较。为了防止偏差 和的计算中出现正、负偏差相抵的情况，应和的计算中出现正、负偏差相抵的情况，应由偏差的绝对值之和求平均更合适。由偏差的绝对值之和求平均更合适。对于甲选手对于甲选手(xunshu)，偏差绝对值之和为：，偏差绝对值之和为：8 . 898 . 8108 . 888 . 89 环环4 . 6 第2页/共37页第二页，共37页。对乙选手，容易算得偏差绝对值之和为对乙选手，容易算得偏差绝对值之和为 10.8 环，所以甲、乙二人平均每枪偏离环，所以甲、乙二人平均每枪偏离(pinl)平均平均值为值为0.64 环和环和 1.08 环，因而可以说，甲选手水平环，因

3、而可以说，甲选手水平发挥更稳定些。发挥更稳定些。 类似的，为了避免运算式中出现绝对值类似的，为了避免运算式中出现绝对值符号符号(fho)。我们也可以采用偏差平方的平均。我们也可以采用偏差平方的平均值进行比较。值进行比较。第3页/共37页第三页，共37页。).(,)(.)()()(),()(,)(,)(,XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX记为记为为标准差或均方差为标准差或均方差称称即即或或记为记为的方差的方差为为则称则称存在存在若若是一个随机变量是一个随机变量设设22222 1. 方差方差(fn ch)的定义的定义 (定义定义3.3)一、随机变量方差一、随机变量方差(fn ch)(f

4、n ch)的概的概念及性质念及性质第4页/共37页第四页，共37页。方差是一个常用来体现随机变量方差是一个常用来体现随机变量X X取取值分散程度的量值分散程度的量. .如果如果(rgu)D(X)(rgu)D(X)值大值大, , 表示表示X X 取值分散程度大取值分散程度大, E(X), E(X)的代表性差的代表性差; ;而如果而如果(rgu)D(X) (rgu)D(X) 值小值小, , 则表示则表示X X 的取的取值比较集中值比较集中, ,以以E(X)E(X)作为随机变量的代表作为随机变量的代表性好性好. .2. 方差方差(fn ch)的意义的意义第5页/共37页第五页，共37页。离散型随机变

5、量(su j bin lin)的方差 ,)()(12kkkpXExXD 连续型随机变量(su j bin lin)的方差,d)()()(xxpXExXD 23. 随机变量随机变量(su j bin lin)方差的计算方差的计算 (1) 利用定义计算利用定义计算 .)(的概率密度的概率密度为为其中其中Xxp., 2 , 1,的分布律的分布律是是其中其中XkpxXPkk 第6页/共37页第六页，共37页。.)()()(22XEXEXD 证明证明(zhngmng)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE 22)()(XEXE (2) 利用利用(lyn

6、g)公式计算公式计算).()(22XEXE 第7页/共37页第七页，共37页。1. 两点分布两点分布(fnb) qpXE 01)(Xp01pp 1已知随机变量 X 的分布律为则有, p 22)()()(XEXEXD 222101p)p(p ppq 二、重要(zhngyo)概率分布的方差第8页/共37页第八页，共37页。2. 二项分布二项分布 ), 2 , 1 , 0( ,)1(nkppknkXPknk . 10 p则有 设随机变量 X 服从(fcng)参数为 n, p 二项分布,其分布律为EXnp第9页/共37页第九页，共37页。2211101(1)(1)nnkkn kkkn knnkkEXk

7、 C ppnpkCpp1110(1)(1)nkknknknpkCpp 11(1)(1)1100(1)(1)nnkknkkknknnkknpk CppCpp 2(1)1()()np npnp npqnpnpq第10页/共37页第十页，共37页。2222()()()DXEXEXnpnpqnpnpqDXnpq第11页/共37页第十一页，共37页。3. 泊松分布泊松分布(fnb) . 0, 2 , 1 , 0,! kekkXPk则有 0!)(kkekkXE 11)!1(kkke ee . 且分布律为且分布律为设设),(PX 第12页/共37页第十二页，共37页。122010(1)!(1)!kkknkk

8、kEXkekekekkk200(1)!kkkkkeekk 2222()DXEXEXDX第13页/共37页第十三页，共37页。4. 均匀分布均匀分布则有xxxfXEd)()( baxxabd1).(21ba ., 0,1)(其它其它bxaabxf其概率密度为其概率密度为设设),(baUX).(21ba 第14页/共37页第十四页，共37页。结论 均匀分布的数学期望位于区间(q jin)的中点.22)()()(XEXEXD 222d1 baxabxba.12)(2ab 12)(2ab 第15页/共37页第十五页，共37页。6. 正态分布正态分布其概率密度为其概率密度为设设),(2NX则有xxxfX

9、Ed)()( xexxd21222)( tx 令令, tx ., 0,21)(222)( xexfx第16页/共37页第十六页，共37页。. ttetettd2d212222 xexXExd21)(222)( 所所以以tettd)(2122 第17页/共37页第十七页，共37页。xexxd21)(222)(2 xxfxXDd)()()(2 得得令令, tx tetXDtd2)(2222 tetettd222222第18页/共37页第十八页，共37页。 2202.2 .2 和和分别为两个参数分别为两个参数正态分布的期望和方差正态分布的期望和方差2第19页/共37页第十九页，共37页。证明证明(z

10、hngmng)22)()()(CECECD 三三. 方差方差(fn ch)的性质的性质(1) 设 C 是常数(chngsh), 则有. 0)( CD22CC . 0 (2) 设 X 是一个随机变量, C 是常数, 则有).()(2XDCCXD 证明证明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC )(2CXECXE 第20页/共37页第二十页，共37页。).()()(YDXDYXD (3) 设 X, Y 相互(xingh)独立, D(X), D(Y) 存在, 则 ;22222222222222222222YDXDYEYEXEXEXEYEYEXEXEYEYEXEXEYEXYEXEYEXEYXYX

11、EYXEYXEYXD第21页/共37页第二十一页，共37页。)44(2 XXE44)(2 EXEXDX434352 .30 .30)2(2 XE所所以以解解)44()2(22 XXEXE4)(4)(2 XEXE.)2(, 5)(, 3)(2 XEXDXE求求已知已知例例1备份(bi fn)题第22页/共37页第二十二页，共37页。.)(;,)(:,)(.,)(的数学期望与方差的数学期望与方差随机变量随机变量的值的值求求且已知且已知其它其它的概率密度为的概率密度为设随机量设随机量XeYcbaXPXExbcxxaxxpX 213431304220 解解,d)()(11 xxp因为因为例例2第23页

12、/共37页第二十三页，共37页。xbcxxxaxxXEd)(d)(4220 , 2)( XE, 2 bca 35638,4331 XP,432523d)(d2132 bcaxbcxxax,262bca 2042dd1xbcxxax所以所以第24页/共37页第二十四页，共37页。, 1 b,41 a解之得解之得.41 c .432523, 235638, 1622cbabcacba因此(ync)有第25页/共37页第二十五页，共37页。,)1(16124 e22)()()(XXXEeeEeD 得得22224)1(41)1(161 ee.)1(41222 eexxexxeeExxXd)141(d4

13、1)()2(4220 ,)1(4122 exxexxeeExxXd)141(d41)(4222022 第26页/共37页第二十六页，共37页。2-3.3 变异系数 用方差或标准差描述一个随机变量取值的离散(lsn)程度固然满意，但是当比较两个变量取值的离散(lsn)程度时，如果两个(lin )变量的均数相差悬殊或者取值单位不同时，这时用方差和标准差就不行了。为此引入一个数字特征 DXEX称为随机变量X的变异系数，记为CVX；它就是X的标准差与均数的比，即 DXCVXEX第27页/共37页第二十七页，共37页。2-5 三种(sn zhn)重要分布的渐近关系离散型变量的二项分布、泊松分布和连续型变

14、量的正态分布，是三种最基本也是最重要的概率分布，它们之间有着密切的渐近关系。 第28页/共37页第二十八页，共37页。例1 某车间送检(sn jin)一批针剂，其中次品的概率是0.01，问抽检500支针剂，有5支次品的概率是多少?解：抽检500支针剂(zhnj)中，检出次品的支数为XB(k；500,0.01)，有5支次品的概率为55495500(5)0.010.99P XC 当 时, n 二项分布 以泊松分布 为极限分布。 ( ; , )B k n p( ;)P k np第29页/共37页第二十九页，共37页。由于用二项分布公式直接计算难度很大，又n=500，因此可以近似(jn s)化为泊松分

15、布来计算，即是55495500(5)0.01 0.99(5;)P XCPnp5550.17555!e第30页/共37页第三十页，共37页。 当 时, n 二项分布 以正态分布 为极限分布。 ( ; , )B k n p(,)N np npq例2 对于某一癌症高发病地区进行普查结果，其患癌症的概率是0.005，现有这地区一万人的乡村(xingcn)，试推测：(1) 这个乡有70人患癌症的概率；(2) 有30至50人患癌症的概率；(3) 有不少于50人患癌症的概率。解 全乡1万人中患癌症人数(rn sh)X服从二项分布。因为n=104,p=0.005,np=1040.005=50，可用正态近似计算

16、。2450,0.995,100.005 0.99549.75npqnpq第31页/共37页第三十一页，共37页。(70)P X 4(70;10 ,0.005)(70)Bf1701705049.7549.750.148 (2.84)0.00150430(3050)( ;10 ,0.005)iPxB i5050305049.7549.75 02.840.4977 第32页/共37页第三十二页，共37页。4840(50)1(049)1( ;10 ,0.005)iP xPxB i4950050149.7549.75 10.147.09 1 0.44430.5557 故有70人患癌症(i zhn)的概率

17、为0.001；有30至50人患癌症(i zhn)的概率为0.4977；全乡不少于50人患癌症(i zhn)的概率为0.5557。第33页/共37页第三十三页，共37页。 有了二项分布的两个近似计算，可以总结一下二项分布问题中的计算方法的选择： (1) 当n为一个小的数时，可直接(zhji)应用二项分布公式计算； (2) 当n是一个大的数，而且p值很小或接近于1，np不很大，则应用泊松分布近似计算； (3) 当n是一个大的数，p不是很小或不是接近于1时，可应用正态分布近似计算。第34页/共37页第三十四页，共37页。当n增大时，泊松分布 ( ; )P k以正态分布 ( , )N 为极限分布。 例3 某药厂大批量生产外用药，平均每个月的废品(fipn)数为35件，试估计该厂：(1) 下个月内出现废品(fipn)件数为65件的概率；(2) 下个月内出现废品(fipn)少于40件的概率。3535解 此厂出现废品(