判别式法证明不等式

1、精品文档判别式法证明不等式等价于 (x-cosc*y-cosb*z) +(sinc*y-sinb*z) >=0 对于分式函数 y=f(x)=(ax +bx+c)/(dx +ex+f) ： 由于对任意一个实数 y, 它在函数 f(x) 的值域内的充要 条件是关于 x 的方程 y=(ax +bx+c)/(dx +ex+f)有实数解，因此“求 f(x) 的值域。 ”这一问题可转化为“已知关于 x 的 方程 y=(ax +bx+c)/(dx +ex+f) 有实数解，求 y 的取值范 围。”把 x 作为未知量， y 看作常量，将原式化成关于 x 的一 元二次方程形式 (*) ，令这个方程有实数解，

2、然后对二次项 系数是否为零加以讨论：(1) 当二次项系数为 0 时，将对应的 y 值代入方程 (*) 中 进行检验以判断 y 的这个取值是否符合 x 有实数解的要 求，(2) 当二次项系数不为 0 时， x R， 0， 此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对 这个方程去分母这一步是不是同解变形。原问题“求 f(x) 的值域。 ”进一步的等价转换是“已知 关于 x 的方程 y(dx +ex+f)=ax +bx+c至少有一个实数解使得 dx +ex+f 0，求 y 的取值范围。”【举例说明】1 、当函数的定义域为实数集 R 时精品文档例 1 求函数 y=(x -2x+1)/(x +x+1

3、) 的值域 . 解：由于 x +x+1=(x+12) +34>0 ，所以函数的定义域是 R.去 分 母 ： y(x +x+1)=x -2x+1, 移 项 整 理 得(y-1)x +(y+2)x+(y-1)=0.(*)(1) 当 y1时，由0 得 0 y 4;(2) 当 y=1 时，将其代入方程 (*) 中得 x=0. 综上所述知原函数的值域为 0， 4.2 、当函数的定义域不是实数集 R 时例 2 求函数 y=(x -2x+1)/(x +x-2)的值域 .解：由分母不为零知，函数的定义域A=x|x -2 且x1.去 分 母 ： y(x +x-2)=x -2x+1,移项整理得(y-1)x

4、+(y+2)x-(2y+1)=0. (*)(1) 当 y1时，由0 得 y 0? y R.检验：由 =0 得 y=0，将 y=0 代入原方程求得 x=1，这与原函数定义域 A 相矛盾，所以 y0.(2) 当 y=1 时，将其代入方程 (*) 中得 x=1 ，这与原函数 定义域 A 相矛盾，所以 y1.精品文档 综上所述知原函数的值域为 y|y 0 且 y1 对于分式函数 y=f(x)=(ax +bx+c)/(x +mx+n)：由于对任意一个实数 y, 它在函数 f(x) 的值域内的充要 条件是关于 x 的方程 y=(ax +bx+c)/(x +mx+n) 有实数解， 把“求 f(x) 的值域”这问题可转化为“已知 x 的方程 y=(ax +bx+c)/(x +mx+n) 有实数解，求 y 的取值范围”把 x 当成未知量， y 当成常量，化成一元二次方程，让这个方程 有根. 先看二次项系数是否为零，再看不为零时只需看判别 式大于等于零了 .此时直接用判别式法是否有可能出问题，关键在于对这 个方程取分母这一步是不是同解变形。这 个 问 题 进 一 步 的 等 价 转 换 是 “ 已 知 x 的 方 程 y(x +mx+n)=ax +bx+c) 到少有一个实数解使 x +mx+n0， 求 y 的取