二元函数的概念极限与连续性PPT学习教案

1、会计学1二元函数的概念极限与连续性二元函数的概念极限与连续性2一、平面点集一、平面点集二、二元函数的概念二、二元函数的概念三、二元函数的极限三、二元函数的极限四、二元函数的连续性四、二元函数的连续性第一节第一节多元函数的基本概念多元函数的基本概念 第1页/共29页3点点P与数与数x之间的关系。之间的关系。xP1R在一维空间中，在一维空间中，P与有序实数组与有序实数组),(yx就建立了一一对应的关系。就建立了一一对应的关系。2RxyP),(yx0在二维空间中对应的点在二维空间中对应的点之间之间第2页/共29页4P),(yxRyRxyxR,2的全体构成了的全体构成了坐标平面坐标平面； 记为记为：若

2、平面点的集合若平面点的集合E由具有某种性质的点由具有某种性质的点P),(yx的全体组成，记为：的全体组成，记为： 具有某种性质yxyxE,如：如：4,22yxyxE2OPPE第3页/共29页5 )(0oPPU00 PP点点集集, ) ,(0PPU称为点称为点 P0 的的 邻域邻域. .例如例如, ,在平面上在平面上, , ),(),(0yxPU( (圆邻域圆邻域) )在空间中在空间中, , ),(),(0zyxPU( (球邻域球邻域) )说明：说明：若不需要强调邻域半径若不需要强调邻域半径 , ,也可写成也可写成. )(0PU点点 P0 的的去心邻域去心邻域记为记为0PP)()(2020yyx

3、x)()()(202020zzyyxx基本概念：基本概念：第4页/共29页60),( yxyx41),(22yxyx0),( yxyx41),(22yxyx开区域开区域闭区域闭区域 xyo21xyoxyo21xyo第5页/共29页7引例引例: : 圆柱体的体积圆柱体的体积 三角形面积的海伦公式三角形面积的海伦公式,2hrV)2(cbapcba0, 0),(hrhrcbacbacba, 0, 0, 0),( )()(cpbpappSh第6页/共29页8,RnD DPPfu, )(或点集点集 D 称为函数的称为函数的定义域定义域 ; 数集数集DP,Pfuu)(称为函数的称为函数的值域值域 . .特

4、别地特别地 , 当当 n = 2 时时, 有有二元函数二元函数2R),(),(Dyxyxfz当当 n = 3 时时, 有三元函数有三元函数3R),(),(Dzyxzyxfu则称则称 u 为定义为定义在在 D 上的上的 n 元函数元函数 , 记作记作),(21nxxxfu若对若对D 内的任意一点内的任意一点P,变量变量 u 按照一定的法则总有唯一确定的值与它对应，按照一定的法则总有唯一确定的值与它对应，第7页/共29页9yxfz,f中表示对应法则，此法则也可表示对应法则，此法则也可用用其他字母来表示，函数也可记成其他字母来表示，函数也可记成yxz,yxzz,设点设点00, yx是是yxfz,定义

5、域内的一点，定义域内的一点，z有唯有唯一确定的值与它对应。一确定的值与它对应。 这个值就称为二元函数这个值就称为二元函数 Pfz yxfz,在点在点00, yx处的处的函数值函数值，记作：，记作：00,0,000yxfyxfzyxyx或用用点函数点函数表示：表示：在点在点000, yxP处的函数值：处的函数值：0Pfz 第8页/共29页10yxfz,在点在点yxP,处对应有函数值存在，处对应有函数值存在，则称此函数在点则称此函数在点yxP,处是处是有定义有定义的，否则称此函数的，否则称此函数在在点点yxP,处处无定义无定义。例例1：求求)arcsin(yxz的定义域，并作其图形。的定义域，并作

6、其图形。解：解：由反三角函数的定义知：由反三角函数的定义知：11yx其点集介于直线其点集介于直线1 yx1 yx之间之间xy0第9页/共29页11xzy221yxz定义域为定义域为1),(22 yxyx圆域圆域图形为中心在原点的上半球面图形为中心在原点的上半球面., )sin(,yxz 又如12R),(yxxyzo第10页/共29页12二元函数二元函数 z = f (x, y), (x, y) D为空间曲面为空间曲面 .的图形一般为的图形一般为第11页/共29页13图形)(122yxzxyzo221yxzxyz第12页/共29页14:说明;会求函数的定义域xyz 0 xyD:xyoyxz111

7、: yxDxy第13页/共29页15定义定义2. 设设 二二 元函元函数数,R),(2DPPf点点 , ) ,(0PUDP,-)(APf则称则称 A 为函为函数数(也称为也称为 二二 重极限重极限)若记若记20200)()(yyxxPP二元函数的极限可写作：二元函数的极限可写作：Ayxf),(lim0APfPP)(lim0P0 是是 D 的内的内若存在常数若存在常数 A ,对一切对一切记作记作，时的极限当0)(PPPfAyxfyyxx),(lim00都有都有对任意正数对任意正数 , 总存在正数总存在正数 ,第14页/共29页16)0(1sin)(),(222222yxyxyxyxf求证：.0)

8、,(lim00yxfyx证证:22221sin)(0yxyx故0),(lim00yxfyx22yx 0第15页/共29页17;法求二元函数的极限用一元函数求极限的方11lim00 xyxyyxxyxyxyyx) 11(lim002yxxyxx2)11 (lim0yxxxyxx)11(lim0e或或xyxyyx21lim002例例3第16页/共29页1822222200)()cos(1limyxyxyxyx解解: 222222200)(2)(limyxyxyxyx此函数定义域此函数定义域不包括不包括 x , y 轴轴则原式则原式)(cos122yx 2)(222yx )11(lim212200

9、xyyx第17页/共29页19求极限求极限 .)sin(lim22200yxyxyx解解22200)sin(limyxyxyx,lim22200yxyxyx其中其中222yxyxx21, 00 x. 0)sin(lim22200yxyxyx222yxxy第18页/共29页20),(yxP函数趋于不同值或有的极限不存在，函数趋于不同值或有的极限不存在， 则可以断定则可以断定以不同方式趋于以不同方式趋于,),(000时yxP函数极限不存在函数极限不存在 .注注 (1) 二元函数求极限中，点二元函数求极限中，点)(),(0, 00yxPyxP必须是以任何方式都必须是以任何方式都有有.),(Ayxf(

10、2) 有关一元函数极限的运算法则和定理有关一元函数极限的运算法则和定理,以及以及无穷小的概念和定理都可以直接类推到二元函数无穷小的概念和定理都可以直接类推到二元函数.第19页/共29页2122),(yxyxyxf00yx),(yxP在点在点 (0, 0) 的极限的极限.解解: 此函数必有此函数必有1. 当点当点有时轴沿0,)0, 0(yx)0,(lim0 xfx000lim20 xxx2. 当点当点),(yxP有时轴沿0,)0, 0(xy), 0(lim0yfy000lim20yyy第20页/共29页22设设 P(x , y) 沿直线沿直线 y = k x 趋于点趋于点 (0, 0) ,222

11、200lim),(limxkxxkyxfxkxyx),(yxf故则有则有21kkk 值不同极限不同值不同极限不同 !在在 (0,0) 点极限不存在点极限不存在 .第21页/共29页23定义定义3 . 设设 n 元函数元函数)(Pf定义在定义在 D 上上,)()(lim00PfPfPP0)(PPf在点如果函数在如果函数在 D 上上各点处各点处都连续都连续, 则称此函数则称此函数在在 D 上上,0DP 如果如果否则称否则称0P此此时时称为称为间断点间断点 .则称则称 n 元函数元函数连续连续.连续连续, 二元函数在点二元函数在点 P0 处连续性的表达方法处连续性的表达方法:00,lim. 100y

12、xfyxfyxyx2. 全增全增量量0, 000,yxfyyxxfZ0lim00,Zyxyx则)(00yyyxxx为为不连续不连续,第22页/共29页240,00,),(222222yxyxyxyxyxf在点在点(0 , 0) 极限不存在极限不存在, 又如又如, 函数函数11),(22yxyxf上间断上间断.122 yx 故故 ( 0, 0 )为其间断点为其间断点.在圆周在圆周第23页/共29页25:说明下三条同时成立点连续在、注),(),(1000yxPyxfz点有定义。在),(),() 1 (000yxPyxfz 存在),(lim)2(00yxfyyxx),(),(lim) 3(0000yxfyxfyyxx上三条至少有一不成立点不连续在、注),(),(2000yxPyxfz第24页/共29页26一个无孔洞、二元连续函数的图形是、注3)(122yxz如无裂缝的曲面。第25页/共29页27 和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数称和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数称多多一切多元初等函数在其定义区域内是一切多元初等函数在其定义区域内是连续连续的的) 1cos(xyz如1322yxxyz由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算元初等函数元初等函数第26页/共29页28,0) 1 ( K