2018年四川省德阳市高考数学一诊试卷(理科)

1、第 1 页（共 24 页）2018 年四川省德阳市高考数学一诊试卷（理科）一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知集合 a=x| 3x24x+10 ，b=，则 ab=（）a b c d2 （5 分）若复数 z 满足 z（1i）=| 1i|+ i（其中 i 为虚数单位），则 z 的虚部为（）abci di3 （5 分）已知函数 f（x）=sin（x+） （ 0）满足： ? x1，x2r，当| f（x1）f（x2）| =2 时，| x1x2|min=，那么 f（x）的最小正周期是（）abc d24 （5 分）已知函数 f（x）在 r上存在导数 f （x） ，

2、下列关于 f（x） ，f （x）的描述正确的是（）a若 f（x）为奇函数，则 f （x）必为奇函数b若 f（x）为周期函数，则f （x）必为周期函数c若 f（x）不为周期函数，则f （x）必不为周期函数d若 f（x）为偶函数，则 f （x）必为偶函数5 （5 分）如图的平面图形由16 个全部是边长为 1 且有一个内角为 60 的菱形组成，那么图形中的向量， 满足? =（）a1 b2 c 4 d66 （5 分）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯， 榫和卯咬合， 起到连接作用， 代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、 山西悬空寺等， 如图所示是一种榫卯的

3、三视图， 其表面积为（）第 2 页（共 24 页）a192 b186 c 180 d1987 （5 分）执行如图所示的程序框图，若m=4，则输出的结果为（）a1 bc 2 d8 （5 分）已知函数f（x）满足： f（x+y）=f（x）f（y）且 f（1）=1，那么+ +=（）a1009 b2018 c3027 d40369 （5 分）在如图所示平面直角坐标系中，正方形oabc的边长为 1，曲线 m 是函数 y=a（x1）2+b 图象位于正方形内的部分，直线ac恰好是函数 y=a（x1）2+b 在 x=0处的切线，现从正方形内任取一点p，那么点 p 取自阴影部分的概率等于（）第 3 页（共 24

4、 页）abc d10 （5 分）设点 p为椭圆 c：+=1 上一点， f1、f2分别是椭圆 c的左、右焦点，且pf1f2的重心为点 g， 若| pf1| ： | pf2| =3： 4， 那么 gpf1的面积为（）a24 b12 c 8 d611 （5 分） 用 min a， b 表示实数 a， b 中的较小者，已知向量， ， 满足| =1，| =2， ? =0， = +（2+2=1） ，则当 min? ， ? 取得最大值时， | =（）abc1 d12 （5 分）已知函数 f（x）=，若关于 x 的方程 f2（x）m| f（x）| 2m3=0有三个不同的实数解，则m 的取值范围是（）a （，0

5、） b （，c （，）d （，0）二、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知（ 1+x） （1+ay）5（a 为常数）的展开式中不含字母x 的项的系数和为 243，那么（ 1+x） （1+ay）5展开式中 xy2项的系数为14 （5 分）某学校分别从甲、乙两班各抽取7 名同学在某次物理测试中的成绩如茎叶图所示，其中抽取的甲班成绩的众数是85，乙班成绩的中位数是83，现从成绩 82 分以上的同学中选取3 名组成学习经验交流小组，那么选取的小组中甲班同学多于乙班同学的方法数是种 （用数字作答）第 4 页（共 24 页）15 （5 分）若平面区域夹在两条平行直线

6、之间，且这两条平行直线间的最短距离是，那么这两条平行直线的斜率是16 （5 分）若函数 f（x）sin（x+ ）是偶函数， f（x）cos（x+ ）是奇函数，已知? x1（0， ） ，使得函数 f（x）在点 p （x1，f（x1） ） ，q（x1+，f（x1+） ）处的切线斜率互为倒数，那么点p的坐标为三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分）17 （12 分）已知 an 是等差数列，且 a1=3，a4=12，数列bn满足 b1=4，b4=20，且bnan为等比数列（1）求数列 an 和 bn的通项公式；（2）若数列 的前 n 项和 sn，证明：sn18 （12 分）已知 abc中， b=6

7、0 ，点 d在 bc边上，且 ac=2（1）若 cd=，ad=2，求 ab；（2）求 abc的周长的取值范围19 （12 分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 棵种子中的发芽数，得到如下资料：日期12 月 1 日12 月 2 日12 月 3 日12 月 4 日12 月 5 日温差 x/摄氏度101113128发芽 y/颗2325302616第 5 页（共 24 页）该农科所确定的研究方案是：先从这5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2 组数据进行检

8、验（1）若选取的 3 组数据恰好是连续 天的数据（=0 表示数据来自互不相邻的三天） ，求 的分布列及期望；（2）根据 12 月 2 日至 4 日数据，求出发芽数y 关于温差 x 的线性回归方程= x+ 由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？附：参考公式：=， = 20 （12 分）已知函数 f（x）=x3+x2bx（br） （1）若? x0，使得 f（x）bx2+x 成立，求实数 b 的最小值；（2）若 f（x）的三个零点 0，x1，x2满足 1x1x2，l1，l2分别是 y=f（x）在 x

9、1，x2处的切线，设 p（x0，y0）是 l1，l2的交点，求 y0的取值集合21 （12 分）已知 f（x）=ex1+ln（+1） （1）若函数 f（x）在（ 1，0）上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若 a（0，1 且 x0，证明： f（x）2x请考生在 22、23题中任选一题作答22 （10 分）已知曲线c的极坐标方程是=4cos以极点为原点，极轴为x 的正半轴建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是：（t 为参数） （1）将曲线 c的极坐标方程化成直角坐标方程，将直线l 的参数方程化成普通方程；（2）当 m=0 时，直线 l 与曲线 c异于原点 o的交点为 a，直线 = 与曲线

10、c异于原点 o的交点为 b，求三角形 aob的面积第 6 页（共 24 页）23已知函数 f（x）=m| x2| ，mr，且 f（x+2）0 的解集为 1，1 （1）求 m 的值；（2）若 a，b，c（0，+） ，且+=m，证明： a+2b+3c9第 7 页（共 24 页）2018 年四川省德阳市高考数学一诊试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分）1 （5 分）已知集合 a=x| 3x24x+10 ，b=，则 ab=（）a b c d【解答】 解：集合 a= x| 3x24x+10 =x|，b= x| x ，ab= x| =，1 故选： b2

11、 （5 分）若复数 z 满足 z（1i）=| 1i|+ i（其中 i 为虚数单位），则 z 的虚部为（）abci di【解答】 解：复数 z 满足 z（1i）=| 1i|+ i（其中 i 为虚数单位），z=+i则 z 的虚部为故选： a3 （5 分）已知函数 f（x）=sin（x+） （ 0）满足： ? x1，x2r，当| f（x1）f（x2）| =2 时，| x1x2|min=，那么 f（x）的最小正周期是（）abc d2【解答】 解：根据正弦型函数f（x）=sin（x+）的图象与性质知，对? x1，x2r，当| f（x1）f（x2）| =2时，|x1x2|min=，第 8 页（共 24 页

12、）f（x）的最小正周期是t=2= 故选： c4 （5 分）已知函数 f（x）在 r上存在导数 f （x） ，下列关于 f（x） ，f （x）的描述正确的是（）a若 f（x）为奇函数，则 f （x）必为奇函数b若 f（x）为周期函数，则f （x）必为周期函数c若 f（x）不为周期函数，则f （x）必不为周期函数d若 f（x）为偶函数，则 f （x）必为偶函数【解答】 解：对于 a：例如： f（x）=x3为奇函数，则 f （x）=3x2，为偶函数，故a错误，对于 b：f（x）是可导函数，则 f（x+t）=f（x） ，两边对 x 求导得（ x+t）f（x+t）=f（x） ，f（x+t）=f（x） ，

13、周期为 t故若 f（x）为周期函数，则 f （x）必为周期函数故b正确，对于 c：例如： f（x）=sinx+x 不是周期函数，当f （x）=cosx +1 为周期函数，故c错误，对于 d：例如： f（x）=x2为偶函数，则 f （x）=2x为奇函数，故 d 错误，故选： b5 （5 分）如图的平面图形由16 个全部是边长为 1 且有一个内角为 60 的菱形组成，那么图形中的向量， 满足? =（）a1 b2 c 4 d6【解答】 解：如图，第 9 页（共 24 页）由题意可知，且与的夹角为 60 ，=则， ? =故选： d6 （5 分）榫卯是在两个木构件上所采用的一种凹凸结合的连接方式，凸出部

14、分叫榫，凹进部分叫卯， 榫和卯咬合， 起到连接作用， 代表建筑有：北京的紫禁城、天坛祈年殿、 山西悬空寺等， 如图所示是一种榫卯的三视图， 其表面积为（）a192 b186 c 180 d198【解答】解：由三视图还原原几何体， 可知该几何体为组合体， 上部分为长方体，棱长分别为 2、6、3，下部分为长方体棱长分别为6、6、3，其表面积公式 s=4 63+266+（2+6）22=192故选： a第 10 页（共 24 页）7 （5 分）执行如图所示的程序框图，若m=4，则输出的结果为（）a1 bc 2 d【解答】 解：模拟执行程序框图，可得p=4，k=0不满足条件 k23k+4，p=4，k=1

15、不满足条件 k23k+4，p=8，k=2不满足条件 k23k+4，p=32，k=3不满足条件 k23k+4，p=256，k=4满足条件 k23k+4，退出循环，可得z=故选： d第 11 页（共 24 页）8 （5 分）已知函数f（x）满足： f（x+y）=f（x）f（y）且 f（1）=1，那么+ +=（）a1009 b2018 c3027 d4036【解答】 解：由意题 f（x+y）=f（x）f（y） ，且 f（1）=1，可得令 x=n，y=1，可得 f（n+1）=f（n） ，可得 f（1）=f（2）=f（3）=f （n）=1，那么：+ +=f2（1）+f2（2）+ +f2（1009）+f（

16、2）+f（4）+f（6）+ +f（2018）=1009+1009=2018，故选： b9 （5 分）在如图所示平面直角坐标系中，正方形oabc的边长为 1，曲线 m 是函数 y=a（x1）2+b 图象位于正方形内的部分，直线ac恰好是函数 y=a（x1）2+b 在 x=0处的切线，现从正方形内任取一点p，那么点 p 取自阴影部分的概率等于（）第 12 页（共 24 页）abc d【解答】 解：正方形 oabc的边长为 1，s正方形oabc=1，由函数 y=a（x1）2+b，得 y=2a（x1） ，则 y |x=0=2a=1，得 a= 又当 x=0时，y=a+b=1，可得 b=，曲线 m 的解析

17、式为 y=（x1）2+，阴影部分面积 s=点 p取自阴影部分的概率等于故选： d10 （5 分）设点 p为椭圆 c：+=1 上一点， f1、f2分别是椭圆 c的左、右焦点，且pf1f2的重心为点 g， 若| pf1| ： | pf2| =3： 4， 那么 gpf1的面积为（）a24 b12 c 8 d6【解答】 解：点p 为椭圆c：+=1 上一点， | pf1| ： | pf2| =3：4，| pf1|+| pf2| =2a=14第 13 页（共 24 页）| pf1| =6，| pf2| =8，又 f1f2=2c=10，pf1f2是直角三角形， s=，pf1f2的重心为点 gs=，gpf1的

18、面积为 8，故选： c11 （5 分） 用 min a， b 表示实数 a， b 中的较小者，已知向量， ， 满足| =1，| =2， ? =0， = +（2+2=1） ，则当 min? ， ? 取得最大值时， | =（）abc1 d【解答】 解：? =（+ ）? =+= ，=（+ ）? =+=4 ，2+2=1， 4时，不妨令 0 ， 1解得 0 ，min? ， ? =，第 14 页（共 24 页）设 f（ ）=，则 f（ ）在 0， 上递增，在 ，1 上递减，当 =，f（ ）取得最小值，此时=+，|2=（16+8 ? +）=| =故选： a12 （5 分）已知函数 f（x）=，若关于 x 的

19、方程 f2（x）m| f（x）| 2m3=0有三个不同的实数解，则m 的取值范围是（）a （，0） b （，c （，）d （，0）【解答】 解：，可得 x（， 1）时， f （x）0，x（1，+）时， f （x）0，f（x）在（， 1）递增，在（ 1，+）递减可知 y=| f（x）| 大致图象如图所示，设| f（x）| =t，则| f（x）|2m| f（x）| 2m3=0有三个不同的实数解，即为 t2mt2m3=0 有两个根 t1，t2，若 t1=1，t2=0，时， t1+t2=m=1，t1?t2=2m3=0，不存在实数 m，若 t1=1，t21 时，当有一个根为1 时，12m2m3=0，m=

20、，第 15 页（共 24 页）代入 t2mt2m3=0 另一根为，不符合题意t1（0，1） ，t2（， 0）时，设 h（t）=t2mt2m3h（1）=12m2m30，h（0）=2m30m，m 的取值范围为（，） 故选： c二、填空题（本大题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13 （5 分）已知（ 1+x） （1+ay）5（a 为常数）的展开式中不含字母x 的项的系数和为 243，那么（ 1+x） （1+ay）5展开式中 xy2项的系数为40【解答】 解： （1+x） （1+ay）5展开式中不含字母x 的项的系数和为（1+a）5=243，解得 a=2；（1+x） （1+2y）5展开式中

21、xy2项的系数为?22=40故答案为： 4014 （5 分）某学校分别从甲、乙两班各抽取7 名同学在某次物理测试中的成绩如茎叶图所示，其中抽取的甲班成绩的众数是85，乙班成绩的中位数是83，现从成绩 82 分以上的同学中选取3 名组成学习经验交流小组，那么选取的小组中甲班同学多于乙班同学的方法数是28种 （用数字作答）【解答】 解：甲班学生成绩的众数是85，乙班学生成绩的中位数是83，第 16 页（共 24 页）则，解得 x=5，y=3，甲班 82 分以上有 4 人，乙班 82 分以上有 4 人，从这 8 位同学中选 3 名，共有=56种不同的取法，选取的小组中甲班同学多于乙班同学的方法数与乙

22、班同学多于甲班同学的方法数相等，所求的结果是56=28故答案为： 2815 （5 分）若平面区域夹在两条平行直线之间，且这两条平行直线间的最短距离是，那么这两条平行直线的斜率是k=2或【解答】 解：作出平面区域如图所示：可行域是等腰三角形，平面区域夹在两条平行直线之间的距离为：，可得可行域的 a（1，2） ，b（2，1） ，c （3，3） ，| ab| =，平行线间的距离的最小值为d=，a 到 bc的距离：=，b到直线 ac的距离：=，所求直线与 ac或 bc重合，可得： k=2或故答案为： k=2或第 17 页（共 24 页）16 （5 分）若函数 f（x）sin（x+ ）是偶函数， f（x

23、）cos（x+ ）是奇函数，已知? x1（0， ） ，使得函数 f（x）在点 p （x1，f（x1） ） ，q（x1+，f（x1+） ）处的切线斜率互为倒数，那么点p的坐标为（，1）【解答】 解：函数 f（x）sin（x+ ）是偶函数，可得 f（x）sin（x+ ）=f（x）sin（x+ ） ，即有 f（x）=f（x）sinxcos cosxsin sinxcos +cosxsin =f（x）2sinxcos ，f（x）cos（x+ ）是奇函数，可得 f（x）cos（x+ ）+f（x）cos（x+ ）=0，f（x）+f（x）cosxcos sinxsincosxcos +sinxsin=0，即

24、为 f（x）+f（x）2cosxcos=0，由可得 f（x）=（sinx+cosx）cos ，导数为 f （x）=（cosxsinx）cos ，? x1（0， ） ，使得函数 f（x）在点 p（x1，f（x1） ） ，q（x1+，f（x1+） ）处的切线斜率互为倒数，可得 f （x1）?f （x1+）=1，可得（ cosx1sinx1）cos? （cos（x1+）sin（x1+） ）cos=1 ，即为（ cosx1sinx1） （sinx1cosx1）cos2=1 ，即为（ sin2x1cos2x1）cos2=1 ，第 18 页（共 24 页）即有 cos2x1?cos2=1 ，可得 cos2

25、=1 ，cos2x1=1，x1（0， ） ，可得 x1=，即有 f（x1）=（1+0）?cos= 1，即 p（，1） 故答案为：（，1） 三、解答题（本大题共5 小题，共 70 分）17 （12 分）已知 an 是等差数列，且 a1=3，a4=12，数列bn满足 b1=4，b4=20，且bnan为等比数列（1）求数列 an 和 bn的通项公式；（2）若数列 的前 n 项和 sn，证明：sn【解答】 解： （1）an是公差为 d 的等差数列，且 a1=3，a4=12，可得 3+3d=12，解得 d=3，则 an=3+3（n1）=3n；数列 bn满足 b1=4，b4=20，且bnan 为等比数列，

26、可得 b1a1=1，b4a4=8，且 q3=8，解得 q=2，则bnan的首项为 1，公比 q 为 2，则 bnan=2n1，可得 bn=3n+2n1；（2）证明：=，=，则前 n 项和 sn=（）+（）+ +（）第 19 页（共 24 页）=，由 3n+3+2n递增，可得递增，即有 sns1=，则：sn18 （12 分）已知 abc中， b=60 ，点 d在 bc边上，且 ac=2（1）若 cd=，ad=2，求 ab；（2）求 abc的周长的取值范围【解答】 解： （1）abc中， b=60 ，点 d 在 bc边上，且 ac=2cd=，ad=2，则：= ，所以：=在abc中，利用正弦定理：，

27、解得：=，（2）abc中，利用正弦定理得：=，所以：，=，由于： 0a120 ，则：labc=，=2+，=，由于： 0a120 ，则：30 a+30 150 ，得到：，所以 abc的周长的范围是：第 20 页（共 24 页）19 （12 分）某农科所对冬季昼夜温差大小与某反季节大豆新品种发芽多少之间进行分析研究，他们分别记录了 12 月 1 日至 12 月 5 日的每天昼夜温差与实验室每天每 100 棵种子中的发芽数，得到如下资料：日期12 月 1 日12 月 2 日12 月 3 日12 月 4 日12 月 5 日温差 x/摄氏度101113128发芽 y/颗2325302616该农科所确定的

28、研究方案是：先从这5 组数据中选取 3 组数据求线性回归方程，再用剩下的 2 组数据进行检验（1）若选取的 3 组数据恰好是连续 天的数据（=0 表示数据来自互不相邻的三天） ，求 的分布列及期望；（2）根据 12 月 2 日至 4 日数据，求出发芽数y 关于温差 x 的线性回归方程= x+ 由所求得线性回归方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差均不超过 2 颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问所得的线性回归方程是否可靠？附：参考公式：=， = 【解答】 解： （1）由题意知， =0 ，2，3；则 p（=0 ）=，p（=3 ）=，p（=2 ）=1p（=0 ）p（=3 ）=， 的分布列为

29、：023p数学期望为 e=0 +2+3=2.1；第 21 页（共 24 页）（2）由题意，计算=（11+13+12）=12，=（25+30+26）=27，（xi ） （yi ）=1（ 2）+13+0（ 1）=5，=（1）2+12+02=2， =，= =2712=3，y 关于 x 的线性回归方程为=x3；当 x=10时，y=103=22，且| 2223| 2，当 x=8时，y=83=17，且| 1716| 2；所求得线性回归方程是可靠的20 （12 分）已知函数 f（x）=x3+x2bx（br） （1）若? x0，使得 f（x）bx2+x 成立，求实数 b 的最小值；（2）若 f（x）的三个零点

30、 0，x1，x2满足 1x1x2，l1，l2分别是 y=f（x）在 x1，x2处的切线，设 p（x0，y0）是 l1，l2的交点，求 y0的取值集合【解答】 解： （1）? x0，使得 f（x）bx2+x 成立，f（x）bx2+x? x3+x2bxbx2+x，? b（x+1）x2+x1b（x0） 令 t=x+11b= （t1） t1，t+=2，当且仅当 t=时取等号第 22 页（共 24 页）b=b 的最大值为：（2）由 f（x）=x（x23x+3b）=0，可得 x1，x2是方程 x23x+3b=0 的两个实数根，且 1x1x2，且 3b20，解得 bf （x）=x2+2xbl1：y=（xx1） ，l2：y=（+2x2b） （xx2） 联立解得 y0=（+b） =（3x13b2x1+b） （3x23b2x2+b）=（x12b） （x22b）= x1x22b（x1+x2）+4b2=（3b6b+4b2）=4b2+3b=4+，by0y0的取值集合是21 （12 分）已知 f（x）=ex1+ln（+1） （1）若函数 f（x）在（ 1，0）上单调递增，求实数a 的取值范围；（2）若 a（0，1 且 x0，证明： f（x）2x【解答】