勾股定理逆定理的应用

1、第4页共3页“勾股定理逆定理”的应用如果一个三角形的三边长 a、b、c,满足a2+b2=c2，则以a、b、c为三边的三角形是直角三角形.我们称之为"勾股定理逆定理”，利用它可以判断一个三角形是否直角三角形，打破了要说明一个角是 90°,只能靠角与角之间的转化得到90°的思维模式，为我们解决问题提供了另一种方法。下面举例说明其具体的应用。一、判形状.例2、如果 ABC的三边分别为 a、b、c,且满足a2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC 的形状.分析：要判断 ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件2 2 2 a +b +c +50=6a

2、+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题.000O0解：由 a +b +c +50=6a+8b+10c，得 a -6a+9+b -8b+16+c -10c+2 5=0，亡厂 r222222所以(a-3) +(b-4) +(c-5) =0 .因为(a-3) > 0, (b4) > 0, (-5) >0 所以 a=3， b=4，c=5 .因为32+42=52，所以a2+b2=c2.所以 ABC是直角三角形.二、求线段的长例2、已知：如图1，在 ABC中，AB=17, BC=1Q BC边上的中线 AD=15.求AB的长. 分析：在厶ADC中，已知两边长，求第三边长，就目前所学的

3、知识，可先判断这个三角形是否为直角三角形，若是利用由勾股定理即可求线段的长。而在ADB中，已知三边长，只许计算出各边的平方，即可作出判断解：因为BC=16,AD为BC边上的中线，A所以 DC=BDBC =8,而 AD=15,AB=17,2因为 AD2 BD 2 =15282 二 289 =172 二 AB2.所以 ADB为直角三角形，且/ ADB=90° .所以AD丄BC,故厶ADC为直角三角形.又由勾股定理，得 AC AD2 DC 152 82 = 17 二 AB.1BF= AB .求/ DEF4三、求角的度数例3、如图2，正方形ABCD，E为BC中点，F为AB上一点，且的度数。分

4、析：可猜想/ DEF=90 °，而题目中给出的是一些线段之间的关 系,如何利用线段关系来说明/DEF=90。呢？连接DF，实际上就是考察三角形DEF是否为直角三角形，只需看它的三边是否满足“一边的 平方等于另两边的和”.解：连接 DF。设 BF=a，贝U BE=EC=2a，AF=3a，AB=4a， 贝y EF =BF +BE =a +4a =5a ， DE =CE +CD =4a +16a =2 0a ，2 2 2 2 2 2 DF =AF +AD =9a +16a =2 5a .所以 DF2=EF2+DE2,所以/ DEF=90 °四、求面积,AB=13 米，BC=12例

5、4、有如图3所示的一块地，已知 AD=4米，CD=3米，/ D=90 米，求这块地的面积.分析：连接AC,构造出Rt ADC，利用勾股定理求出 AC,再看 ACB的三边长是否 满足“一边的平方等于另两边的和”若 ACB为直角三角形，即可求出他们的面积，而这块地的面积=S ABC -'S ACD .解：连结AC,因为 ADC为直角三角形，所以由勾股定理，得 AC2 =CD2 - AD2 =32 42 =25 =52.2 2 2 2 2而 AC BC =2512 =13 = AB所以 ACB也为直角三角形，且/ ACB=90所以这块地的面积=S ABC -S acd五、解决实际问题11二

6、x 12 5 -沁 3 4 = 24（平方米）。22例5、如图4所示，甲、乙两船同时从 A港出发，甲船沿北偏东 35。的方向，以每小时9海里的速度向B岛驶去，乙船沿另一个的方向，以每小时12海里的速度向 C岛驶去，3小时后两船同时到达了目的地 如果两船航行的速度不变，且 C、B两岛相距45海里，那么 乙船航行的方向是南偏东多少度？分析：根据题意，可求出AB=27, AC=12, BC=45,由此可知两船出发的方向是成直角的，即/BAC=9T，根据此即可求出乙船航行的方向解：由题意知 AB=9X 3=27 （海里），AC=12X 3=36 （海里），BC=45 （海里），在厶 ABC中, AB

7、2+AC 2=272+ 36 2=452 =BC2 , 所以/ BAC=90°, 180° -35° -90 ° =55° 所以乙船航行的方向是南偏东55° .练习：1、 ABC 中，片C=印+1,人。=& =亦十 2幷，AB = C = 2 + I试说明： ABC是直角三角形。2、如图5,在厶ABC中，D是BC边上的点，已知 AB=13, AD=12, AC=15, BD=5求 DC的长.图53、如图6,已知 AB丄BC AB= 3, BC= 4, CD= 12, DA= 13.求四边形 ABCD勺面积.图6图84、如图7李叔叔想要检测雕塑底座正面四边形ABCD是否为长方形，但他随身只带了有刻度的卷尺，请你设计一种方案，帮助李叔叔检测四边形ABCD是否为长方形（图4供设计备用）参考答案1、由已知得：c>a, c> b,即c是最长边,又 a2+b2= (2n +1) 2+ ( 2n2+2n) 2=4n4+8n3+8n2+4n+1 ,C2=(2n2+2n+1)2=4n°+8n'+8n