高级第八次考数学试题(理定稿)

1、西南师大附中高2009 级第八次月考数学试卷（理）2009年 5月本试卷分第I 卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分共150 分，考试时间120 分钟参考公式：如果事件 A、B 互斥，那么 P ( AB)P (A) P(B)如果事件 A、B 相互独立，那么P ( AB) P( A) P (B)如果事件 A 在一次实验中发生的概率是P，那么它在 n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率 P (k )C k P k (1 P)n knn球的表面积公式S4 R2 ，其中 R 表示球的半径球的体积公式V4R3 ，其中 R 表示球的半径3注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔

2、涂写在答题卡上2选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，不能答在试卷上3填空题的答案和解答题的解答过程直接写在答题卡上4考试结束，监考人将本试卷和答题卡一并收回第 I 卷（选择题，共50 分）一、选择题：（本大题10 个小题，每小题5 分，共 50 分）各题答案必须答在答题卡上1 若全集 I = 1 ， 2，3， 4，5 ， B = 3 ， 4 满足条件： AB 3 ，4 的集合 A 有 n 个，则n 的值为（）A 6B 7C 8D 913的值为（）2 复数式 ii22A 31iB31C3113i22i2iD222223 要从其

3、中有50 个红球的1000 个形状相同的球中，采用按颜色分层抽样的方法抽取100个进行分析，则应抽取红球的个数为（）A5个B10 个C20 个D45 个4 函数 f (x)x21 （ x1）的反函数f1( x) 的解读式为（）A f1( x)x21 （ x0 ）B f 1 (x)x21 （ x0 ）C f1( x)x21 （ x0）D f1 (x)x21 （ x0）5 数列 xn 中，若 x1 1， xn 11，则 x2009xn1的值为（）1A 1B 1C 1D 1226 已知 ( x2187 项等于56，则 lim (111）) 的展开式的第xx2xn ) 等于（xnA 0B 1C 2D

4、17 点 P 为双曲线x2y2右支上的动点， F 1 为双曲线的左焦点，M 为线段 PF 1 的中点， O25124为坐标原点，则| OM | 的取值范围为（）A0,)B2,)C 1,)D 1,)28 ABC 内角 A、 B、C 的对边分别a、 b、c，其中 a、 b、 c 成等比数列， A、 B、C 成等差数列若 ABC 外接圆半径 R 为 1，则 a 的值为（）A 3B 3C 3D 3229 三棱柱ABC A1B1C1 中， AA1= 3， A1AB = A1AC =A1C145°， AB = BC = CA，则此三棱柱的高为（）B1A 13B 13A32CD 3C33B210

5、正方体 ABCD A1B1C1D 1 的上底面 A1B1C1D 1 所在平面内一动点P，它到 D 点的距离为它到直线 B1C1 的距离的 2 倍，则 P 点的轨迹是（）1 / 7A 圆B 椭圆C双曲线D抛物线2 / 7第 II卷（非选择题，共100 分）二、填空题：（本大题5 个小题，每小题5 分，共 25分）各题答案必须填写在答题卡II上（只填结果，不要过程）11 不等式 x 12 x的解集为 _ 12 在 3 次独立实验中，事件A 出现的概率相同，若事件A 至少发生1 次的概率为 63 ，则事64件 A 在 1 次实验中发生的概率为_ 3x5 y1013 已 知 实 数 x 、 y 满 足

6、 不 等 式 组x 8 y3 0 ， 则 zx y的 最 大 值 为3 y2 x 6_ 14 若 OA a ， OBb ， 且 abab1，则OAB 的面积的最大值等于_ 15 将编号为 1， 2， 3，4， 5的 5 封信，分别放入编有1，2， 3， 4， 5 号的信箱，每个信箱只能放一封信，要求k 号信不能放在k 号信箱中（ k = 1 ，2， 3， 4， 5），则不同的放法种数为 _ 三、解答题：（本大题6 个小题，共75 分）各题解答必须答在答题卡II 上（必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程）16 （ 13 分）已知函数f ( x)2sin(x)184(1)在所给的坐标纸上作出

7、函数yf ( x), x 2,14 的图象（不要求写出作图过程）(2)令 g( x)f ( x) f (x) ， x R .求函数 g( x) 的最小值以及取得最小值时所对应的x的集合17 (13 分 ) 某射手 A 第 n 次射击时击中靶心的概率为P(n)1（ n = 1， 2， ）n1(1) 求 A 射击 5 次，第 5 次才击中靶心的概率P；(2) 若 A 共射击 3 次，求 A 击中次数的分布列和期望1218 (13 分 ) 已知函数f ( x)xa ln x ， yf (x) 的图象在点P（2， f (2) ）处的切线方程为l ： yxb (1) 求出函数 y f ( x) 的表达式

8、和切线 l 方程；(2) 当 x 1 , e 时（其中e = 2.71828 ），不等式f (x)k 恒成立，求实数k 的取值范e围19 (12 分 ) 如图已知：三棱锥S ABD 中， E、 F 分别为 AB、 SD 的中点，若SAB = SAD = BAD = 60°， AB = 2，SA = AD = 1S(1)求：异面直线 SA 与 EF 的所成角的大小；F(2)求 A 到平面 SDB 的距离DABE20 (12 分 ) 如图，设 F 是椭圆 C : x2y2 1（ a > b > 0 ）的左焦点，直线l 为其左准线，直线a2b2l 与 x 轴交于点 P，线段 M

9、N 为椭圆的长轴，已知|MN |8，且 |PM |2|MF |(1)求椭圆 C 的标准方程；ly(2)若过点 P 的直线与椭圆相交于不同两B点 A、 B求证： AFM = BFN ；PAx(3)求 ABF 面积的最大值MFON21 (12 分 ) 已知函数 f (x)b axax ex （ xR），且 f (0)1 ，1ex2(1)若 f (x) 是减函数，求实数a 的最大值；(2)若 y f (x) 在 x = 1 处的切线与 y 轴交于点 B，且 A（ 1， f (1) ），3 / 7求 d (a )| AB |2 （ a > 0）的最小值；(3) 设 M nf (1) f (2)f

10、 (n) ，当 a = 2 时，求证： M nn 2n5 （ nN ）64 / 7西南师大附中高2009 级第八次月考数学试卷参考答案（理）一、选择题1 C2A3A4D5B6B7D8B9C10C二、填空题11 x | x1 12 313 414515 44344三、解答题16 (1) 列表：x2261014x0324228f ( x)13121描点作图，得图象如下：(2) g ( x)f ( x)f (x)2 sin(x)12 sin(x)184842 sin(x)2 sin(x)22 2 cosx284848当x2k，即 x x x8 16k, kZ 时函数 g(x) 取得最小值 2 2 2

11、817解： (1)P (111141123411)(1)(1) (15)23456302346(2)设击中次的概率为P1 （），则= 0，1，2，3故 P1(0)(111)(111231)(1)2344234P1(1)1(111)1)1(1111)1112)(1(13)(1)(1424342423P1(2)11(111(1111111111234)4(1)34812244232P1(3)111123424分布列：0123P111111424424期望： E11112131113130244242422412418解： (1) f '( x)xax f '(2)2a1 ， a =

12、 2， f ( x)1 x22ln x22 点 P（ 2， f (2)）满足 f (x)1x22ln x2 f (2)2 2ln 2 点 P（ 2， f (2)）在直线 y = x + b 上 b2ln 2 ，直线 l ： yx 2ln 2(2) 由 (1) 知 f (x)1 x22lnx ， f '( x)x2( x2)( x2)2xx当 f '( x)0 ， x2随 x 的变化， f (x) 、 f'( x) 的变化如下表：x1（ 1 ，2（2 ，eeee）2 ）f '( x)小于 00大于 0f (x)21单调减1ln2单调增e22e222由表可知当 x1

13、,e 时，函数 yf ( x) 的最大值为212e2e k 212e25 / 71119解： (1) 取 AD 的中点 M，连 ME、 MF ，由已知 MF / SA ， MFSA22 AD = 1，AB = 2， DAB = 60°， ADB = 90 °S BD3，ME132F且 SA 与 EF 的所成角为 MF 与 EF 的所成角MD1连结 SE、ED，则 EDAB1A2E SAB= 60 °，则 ASB = 90° SE1AB 12S又 SAD = 60 ° SD=AD= SA=1F在等边 SDE 中，MD3N EFAO2E13313

14、cosMFE44413236222即 SA 与 EF 所成角大小为 arc cos36(2) 作 SO面 ABD 于 O，连 AO，由 SAB = SAD =BAD = 60 ° AO 是 BAD 的平分线， OAB = 30 °可得 S SDB114设 A 到面 SBD 的距离为 h，则 1hSSDBVA SDBVS ABD363222222即 x32，即 A 到平面 SBD 的距离为111111B4解法二：(1)设 ABa， ADb ， AS c， 由 已 知 | a |ab2cos601 ， ac1 ， b1c2EFEDDFEAAD11AD1(DADSAB2221AD

15、AB )1( cba )( AS22EFASc1(cba )1(11121)4B221(114122)| EF | 2 1 ( c b a ) 23424| EF|3，|AS |12113 cosEF ,AS4323623故异面直线EF 与 AS 所成角为 arccos61SOS ABD32 ， | b | c |1 ，AS )13则 cosSAOcosOABcos SAB ，得 cos SAO 2332 SOSA sinSAO1261333S ABD1sin 6032 122由 SD = 1，在 Rt ASB 中可得 SB3 ，又在 Rt ADB 中 BD3(2) 设 A 到面 SBD 的射

16、影为 H，由于 H 、 S、 D 、B 四点共面 AHx ABy ADz ASxaybzc ，且 xy z 1由 AHBD 0( xayb zc )(ba )0z6x又由 AHSD0( xaybzc ) (ca )0y6x x1 ， yz6，即AH1 (6 b 6c a )1111116 / 7|AH |1(6 b6 ca )222 ，即 A 到面 SBD 的距离为 22211111120解： (1) | MN |8 ，故 a = 4又|PM |2 | MF | 得 a 2a2(ac) ，即 2e23e10 e1 或 e = 1（舍去）c2 c = 2 ， b2a 2c212 椭圆的标准方程为

17、x2y216112(2)当 AB 的斜率为0 时，显然AFMBFN0满足题意当 AB 的斜率不为0 时，设 A（ x1， y1）， B（x2， y2），AB 方程为 x = my 8，代入椭圆方程整理得 (3m24) y248my1440由 > 0，则 (48m) 24144(3 m24) 0m24又 yy48m， y y2144123m2413m24 kAFkBFy1y2y1y2x12 x22 my1 6 my2 62my1 y2 6( y1y2 )0(my16)(my26) kAFkBF0 ，从而AFMBFN综上可知：恒有AFMBFN(3) S ABF S PBFS PAF1 | P

18、F | | y2y1 |72 m24423m272247272m333(m24)1621623163m4m24当且仅当 3m2416即 m228（此时适合 > 0 的条件）取得等号m243 ABF 面积的最大值是 3321解： (1) 由 f (0)1 ，即 b1b1，则 f ( x)ax1，f '( x)aex22 21 ex(1 ex )2 f ( x) 递减 f'( x)0 恒成立，即 aex恒成立(1ex )2设 g ( x)ex，令 tex ，则 t(0,)(1ex )2g (x)t1其值域 (0,1(1t )21t42t a0 ，即 a 的最大值为 0(2) 由 (1) f (1)a1，即 A（1， a1）， f '(1)aee1(1e)21e yf ( x) 在 x =