高等数学上册第一到第三章复习资料

1、学习资料收集于网络，仅供参考高等数学上册第一到第三章复习资料写在前面：小伙伴们， 高数是比较重的一门课，以下内容我可以保证是在问过罗老师后总结的第一章函数与极限总说：1. 第一节至第三节是概念问题， 小伙伴们只需要了解。 但是在这里有个函数极限的定义，下面我会列出2. 第四、五、六、七节可以说是第一章重点了，牵扯到极限的运算。3. 第八、九、十节也是概念居多，而且与第二章函数导数牵扯较大。在第十节，零点定理与介值定理也是重点一、对于前四节，用一个表格概述。 （以防出证明题）f xAf xf x+f x-xx0xx 0 +x-x 0xx+00使当0 x x0 有 f（ x）-A00使当0 x x

2、0 有 f（ x）-A00使当0 x0 x 有 f（ x）-A0X0当 x X时 f （x）-A0X 0当 x X时f （ x）-AM 0,0当时，0xx0时有 f（ x） MM 0,0当时，0xx0时有 f （x） MM 0,0当时，0xx0时有 f （x） MM 0 X 0当x时Xf (x)MM0X 0当 x X时f (x)MM 0,0当0 x x0 有 f(x) MM 0,0当0xx0有 f (x) MM 0,0当0xx0有 f (x) MM0X0当 xX时f ( x)MM 0 X 0当 xX时f ( x)MM 0,0当时0xx0时有 f(x)MM0,0当时0xx0时有 f ( x)MM

3、 0,0当时0xx0时有 f ( x)MM0X0当 xX时f ( x)MM 0 X 0当 xX时f ( x)M学习资料lim xn=A，n学习资料收集于网络，仅供参考0M0M0M0xX0X0X0X0当 xX时当 xX时当 xX时当 xX时-f（ ）f (x)Mf ( x)Mf ( x)Mx -A二、极限运算的各种定理与推论（极限运算的基础）x0 是 x 0 + x 0 -1. 定理 1：有限个无穷小的和也是无穷小2. 定理 2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小3. 定理 3：如果 limf x=A，limg x=B，那么：1 limfx± g x =lim fx± limg

4、x =AB2 limfx· g x = lim fx· limg x=A·B3若有 B 0，则 lim fx/ g x= limfx/ limgx=A/B4. 定理 4：设有数列 xn和 yn，如果lim yn=B那么：n（1） lim （xn±yn=A±Bn（2） limxn·yn=A· Bn（3）当yn0(n 1,2,3.)且B时，xnA0 limynBn5.定理 5：设函数 yfg( x) 是由函数 u=g(x) 与函数 y=f(u)复合而成，fg( x) 在点 x 的某去心邻域内有定义，若lim g ( x)u, l

5、im f (u) A,0x x00u u0且存在 x0( x0,0 ), 有 g(x)u0 , 则：lim fg (x)lim f (u) Ax x0uu04. 推论 1：常数与无穷小的乘积是无穷小5. 推论 2：有限个无穷小的乘积也是无穷小6. 推论 3：如果 limf(x)存在 , 而 c 为常数，则： lim cf (x)c lim f (x)7. 推论 4：如果 limf(x)存在，而 n 是正整数，则： lim( )nnflim( )xf x二、无穷小的比较处公式： （可根据题干变换 x）n 1 x 1等价于 1 xarcsinx 等价于 xsinx 等价于 xn1x2secx等价于

6、1tan tx等价于 x1-cos x等价于cos x2学习资料学习资料收集于网络，仅供参考三、重要极限：lim sin xlim 1 1x1ex 0xxx四、零点定理与介值定理：1. 零点定理： 设函数 f(x) 在闭区间 a ，b 上连续，且 f(a) 与 f(b) 异号，那么在开区间 a，b内至少有一点，使： f()=02. 介值定理： 设函数 f(x) 在闭区间 a ，b 上连续，且在这区间的端点取不同的值 （fa）=A f(b)=B, 那么，对于 A 与 B 之间的任意一个数 C，在开区间（a,b ）内至少有一点，使： f()=C（a<<b）第二章导数与微分总说：这一章可

7、以说是前半本书的重点，它不仅与极限联系，而且与后面的积分息息相关，这章必须融会贯通。1.关于第一、二节，高中已经学过不再赘余，只说下反函数的求导。 （导数表详见 p95 页，最好背过）2. 第三、四、五节重点来了，也就是隐函数，高阶导数，参数方程的求导以及函数的微分。一、11或dy1反函数的求导： f (x) = dxdxf（ x）dy二、高阶导数： 高中有过接触，二阶导数，三阶导数、此处指出初等函数的 n 阶导数（考试出题可以代入）1. exnexncos x+nns ixn ncosxs i n x22ln 1nn 1 n1 !x1n1x2.布尼茨公式：（简单记忆的方式）nnCnku(n

8、k) v k （详细的此处不列出，可见 p102）u vk0三、隐函数与参数方程函数的求导1.隐函数的求导很简单，总结一下吧：就是将 x， y 统一求导（注意： y 的导数为 yy ）然后把 y解出来即可。（说的有不足之处，还是看不懂的一定翻书p105，做做例题，考试这块绝对有）2.参数方程确定的函数的求导： （这里指出方法，不作赘余）如:x(t)dy(t )的一阶导数为二阶导数为dy(t )(t)(t )(t)y(t)dx(t )dx3 (t )学习资料学习资料收集于网络，仅供参考四、函数微分1.定义： 设函数 y=f(x) 在某区间内有定义， x0+x 在这区间内，如果增量y=f （x0+

9、x） -f（ x0） 可表示为y=Ax=x，其中 A 是不依赖于x 的常数，那么称函数 y=f(x) 在 x0 是可微的，而 Ax 叫做函数 y=f(x) 在点 x0相当于自变量增量x 的微分，记做 dy,即：dy= Ax(很抽象的概念， 但是这部分选择题填空题应该会出，但不会是概念，而是计算)2.微分的计算大致是把导数反过来，导数的求法熟悉了，这块不是问题3.近似计算：y= f（ x0+ x） -f（x0） f (x0)x00） f0xf（ x + x） f （x0 （(x )f(x) f（ x0 ） fx-x0）(x )第三章微分中值定理与导数的应用总说：这章特别重要，我会一节一节的罗列。

10、第一节 微分中值定理一、 罗尔定理： 如果函数 f(x) 满足（1） 在闭区间 a,b 上连续（2） 在开区间（ a,b内可导（3） 在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)那么，在区间（ a,b内至少存在一点ab，使得 f 0二、 拉格朗日中值定理： 如果函数 f(x) 满足（1）（2） 在闭区间 a,b 上连续（3） 在开区间（ a,b内可导那 么 ， 在 区 间 （ a,b 内 至 少 存 在 一 点ab， 使 等 式fbfafb成a立三、 柯西中值定理： 如果函数 f(x) 、F (x)满足（1） 在闭区间 a,b 上连续（2）（3） 在开区间（ a,b内可导（4） 对于任意 x

11、( a, b), F(x)0那么，在区间（ a,b内至少存在一点，使等式fbfafFbFaF成立（注：这节定理主要还是应用，注意做课后习题）第二节学习资料学习资料收集于网络，仅供参考第三节 洛必达法则第二节洛必达法则这并没有什么要说的， 这节主要还是练习， 熟能生巧，还有这节考试必考！第三节泰勒公式（有多少人愁这个？）注：这节怎麽说呢，有可能出题也有可能不出，出的话肯定是难题，我还是先罗列定理，还有这节须熟记 3 个展开式，后面我会列出。一、 泰勒中值定理：（直接来公式）f xf x0f xx xf x0x x2002!0f n x0x x0nR（ x)n!n其中Rnf n 1xn 1x0 x

12、n1 ！二、 佩亚诺型余项：Rn xnx x0三、 f(x)按 (x-x0)的幂展开的带有佩亚诺型余项的n 阶泰勒公式f ( x)f ( x0 )f x0x x0f nx0xx0nx x0nn!四、 带有拉格朗日余项的麦克劳林展开式f xf 0f 0 xf 0x2f n0xn2!n!f n 1xxn 1 (01)n1 !五、 带有佩亚诺型余项的麦克劳林展开式f xf 0f 0 xf n 0xnxnn!六、三个展开式1. ex1 xx2xne xxn 1(01)2!n!(n 1)!学习资料学习资料收集于网络，仅供参考sinxx3x5m 1x2 m 1R2mx5!1(2 m1)!2.3!m cos

13、xR2mxx2 m 11(2 m1)!cosx1 1 x21 x4m1x2 mR2 m 1x13.2!4!(2 m)!x1cosxx2m 2 (01)Rm 12m1(2m2)!第四、五、六节函数（毕竟高中有基础，就放到一起吧）一、单调性（高中知识，不再赘余）二、凹凸性1.定义： 设 f(x) 在区间 I 上连续，如果对 I 上任意两点 x1 、x2 恒有x1 x2f x1f x2f22那么称 f （x）在 I 上的图形是凹的；如果恒有fx1x2f x1fx222那么称 f （x）在 I 上的图形是凸的3. 判断条件：fx为凹f为凸0x 0三、函数的最大值与最小值（高中知识此处不赘余。注：函数的驻点只是可能是极值点）四、 函数图形的描绘（考试很少出，自己去看下p164）此处提出水平线与铅直线的问题1. 水平线： 要求水平线就找当 x 趋近于无穷， y 值有没有趋进于某个值2. 铅直线： 要求铅直线就找 x 趋近于哪个值， y 值趋近于无穷第七节 曲率这节主要记住公式，考试直接应用：Ky1 3/2R1+y 2Kxt t t t t对于参数方程其公式为 K2 t2 t3/2yt第八节 方程的近似解此章节考试一般不考，考的话