高等数学(下)知识点总结

1、名师推荐精心整理学习必备高等数学（下）知识点主要公式总结第八章空间解析几何与向量代数1、二次曲面1）x 2y 2z 2椭圆锥面：a 2b 22）椭球面：x 2y 2z 21旋转椭球面：x 2y 2z 21a 2b 2c 2a 2a 2c 2x 2y 2z 2x 2y 2z 23）单叶双曲面：a 2b 2c 21双叶双曲面：a 2b 2c 214）椭圆抛物面：x 2y 2z双曲抛物面（马鞍面） ：x 2y 2za 2b 2a 2b 25）x 2y 21x 2y 21椭圆柱面：a 2b 2双曲柱面： a 2b 26）抛物柱面：x2ay（二）平面及其方程1、点法式方程：A ( xx0 )B ( yy

2、0 ) C ( z z0 )0法向量： n( A, B,C)，过点( x0 , y0 , z0 )2、一般式方程：AxByCzD0截距式方程：xyzabc13、1111) ，n2(A2,B2,C2) ，两平面的夹角： n( A, B,CcosA1A2B1B2C1C2A12B12C12A22B22C2212AA BB2C C20；1 /2A1B1C11211A2B2C24、点 P0 ( x0 , y0, z0 ) 到平面 AxByCzD 0 的距离：dAx0By0Cz0DA2B2C2（三）空间直线及其方程名师推荐精心整理1、A1 x B1 y C1 z D10一般式方程：A2 x B 2 y C

3、 2 z D 202、对称式（点向式）方程：xx0yy0 zz0mnp方向向量： s(m, n, p) ，过点 ( x0 , y0 , z0 )3、两直线的夹角：s1(m1 ,n1 , p1) ， s2(m2 , n2 , p2 ) ，cosm1m2n1 n2p1 p2m12n12p12m22n22p2212m m n n2p p20 ；L1/ L2m1n1L L1 211m2n24、直线与平面的夹角：直线与它在平面上的投影的夹角，sinAmBnCpA 2B 2C 2m 2n 2p 2L /AmBnCp0； LABCmnp第九章多元函数微分法及其应用1、连续：limf ( x, y)f ( x

4、0 , y0 )( x , y ) ( x0 ,y0 )2、偏导数：学习必备p1p2f ( x0x, y0 ) f ( x0, y0 )f (x , y0y)f ( x , y )f x (x0 , y0 ) lim； f y (x0, y0) lim000xyx 0y 03、方向导数：ff cosf cos 其中 ,为 l 的方向角。lxy4、梯度： zf ( x, y) ，则 gradf (x0 , y0 )f x (x0 , y0 )i f y (x0 , y0 ) j 。5、全微分：设z f ( x, y) ，则 dzz dxz dyxy（一）性质1、函数可微，偏导连续，偏导存在，函数

5、连续等概念之间的关系：名师推荐精心整理学习必备12偏导数连续函数可微偏导数存在充分条件必要条件定义243函数连续2、微分法1）复合函数求导：链式法则若 zf (u, v), uu( x, y), vv( x, y)，则zzuzvzzuzvxuxv，yuyvyx（二）应用求函数 zf (x, y) 的极值f x0( x0 , y0 ) ，令1）解方程组f y求出所有驻点，对于每一个驻点0Afxx ( x0 , y0 ) ， Bf xy (x0 , y0 ) ， Cf yy (x0, y0 ) ，若 ACB 20 ， A0 ，函数有极小值，若AC B20 ， A0 ，函数有极大值；若 ACB 20

6、 ，函数没有极值；若 ACB 20 ，不定。2、几何应用1）曲线的切线与法平面xx ( t )曲线: yy( t ) ，则上一点 M ( x0 , y0 , z0 ) （对应参数为 t0）处的zz ( t )切线方程为：xx0yy0zz0x (t0 )y (t0 )z (t0 )法平面方程为：x (t0 )( xx0 )y (t0 )( yy0 )z (t0 )( z z0 )02）曲面的切平面与法线曲面: F ( x , y, z)0 ，则上一点 M ( x0 , y0 , z0 ) 处的切平面方程为：名师推荐精心整理学习必备Fx (x0 , y0 , z0 )( xx0 )Fy ( x0

7、, y0 , z0 )( yy0 )x x0y y0法线方程为：Fy ( x0 , y0 , z0 )Fx (x0 , y0 , z0 )第十章重积分（一）二重积分：几何意义：曲顶柱体的体积n1、定义：f (x, y) dlimf ( k , k )D01k2、计算：1）直角坐标Fz ( x0 , y0, z0 )(zz0 )0zz0Fz (x0 , y0 , z0 )kD(x, y) 1(x)y2(x)f (x, y)dxdyb2 ( x )，dxf ( x,y)d yaxbDa1 ( x)D(x, y)1( y)x2 ( y)f ( x, y)d xdyd2 ( y)cyd，dyf ( x

8、,y)d xDc1 ( y )2）极坐标D(,)1()2 ( )，f ( x, y)dxdy2 ()df ( cos , sin ) d1( )D（二）三重积分n1、定义：f (x, y, z) d vlimf ( k , k , k )vk01k2、计算：1）直角坐标f ( x, y, z)d vd xd yz2 ( x, y)f ( x, y, z) dz-z1 ( x, y)“先一后二 ”Df ( x, y, z) d vbf (x, y, z)dxd yd z-“ 先二后一 ”aD Z2）柱面坐标xcosysin，f ( x, y, z)d vf (cos ,sin, z) d d d

9、zzz3）球面坐标xr sincosyr sinsinzr cos名师推荐精心整理学习必备f (x, y, z)d vf (r sincos,r sinsin , r cos)r 2 sin dr dd（三）应用曲面 S : zf (x, y) , ( x, y)D 的面积：AD1 (z) 2(z)2 d x d yxy第十一章曲线积分与曲面积分（一）对弧长的曲线积分n1、定义：f ( x, y)dslimf ( i, i)siL0 i12、计算：设 f ( x, y) 在曲线弧 L 上有定义且连续， L 的参数方程为x(t ),(t ),(t ) 在 , y(t) ，其中(t ),上具有一阶

10、连续导数，且2(t)t)0 ，则2 (f (x, y)dsf (t ),(t )2 (t )2 (t )dt ,()L（二）对坐标的曲线积分1、定义 ：设 L 为 xoy 面 内从 A 到 B 的一条 有向光 滑弧，函 数 P ( x, y)， Q ( x, y ) 在L 上有界，定义nnP ( x, y )d xlimP (k ,k )xk，Q ( x , y ) d ylimQ (k ,k )y k .L0k 1L0k 1向量形式：Fd rLP( x, y)d xQ( x, y)d yL2、计算：设 P( x, y), Q(x, y) 在有向光滑弧L 上有定义且连续 ,L 的参数方程为x(

11、t ),(t),(t ) 在 , 上具有一阶连续导数，且2 (t )2 (t ) 0 ，则y(t :) ，其中(t),P (x, y)d xQ( x, y )d y P(t),(t)(t)Q(t ),(t )(t) dtL3、两类曲线积分之间的关系：L：x(t),设平面有向曲线弧为， L 上点 (x, y) 处的切向量的方向角为：，y(t )cos(t)， cos(t )，2 (t)2 (t )2 (t)2 (t )则 PdxQdy( P cosQ cos)d s .LL名师推荐精心整理学习必备（三） 格林公式1、格林公式：设区域D 是由分段光滑正向曲线 L 围成，函数 P( x, y) ,Q

12、( x, y) 在 D 上具有连续一阶偏导数 ,则有QP dxd yPd xQd yDxyL2、 G 为一个单连通区域，函数P( x, y), Q( x, y) 在 G 上具有连续一阶偏导数，则QP曲线积分PdxQdy 在 G 内与路径无关xyL（四）对面积的曲面积分1、定义：设为光滑曲面，函数f (x, y, z) 是定义在上的一个有界函数，n定义f ( x, y, z) dSlimf ( i,i , i) Si0 i 12、计算：“ 一单二投三代入 ”: zz( x, y) ， ( x, y)D xy ，则f ( x, y, z) dSD x yf x, y, z( x, y)1 zx2

13、( x, y) zy2 ( x, y) dxd y（五）对坐标的曲面积分1、定义：设为有向光滑曲面，函数P( x, y, z),Q(x, y, z), R( x, y, z)是定义在上的有界函数，定义R( x, y, z)d xdylimnR(i ,i ,i )(Si )xy同理，0 i 1nnP(x, y, z)d ydzlimP(i ,i ,i )(Si ) yz； Q( x, y, z)d zdxlimR( i ,i , i )( Si )zx0i10i 12、性质：1）12，则Pdydz Qdzdx R dxdyPdydz QdzdxRd xdyPdydzQdzdx Rd xdy12计

14、算：“ 一投二代三定号 ”: z z( x, y) ， (x, y) Dxy， zz(x, y) 在 D xy 上 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ， R(x, y, z) 在上连续，则R( x, y, z)d xdyR x, y, z(x, y)d xdy,为上侧取“ + ”，为下侧取“ - ”.D x y名师推荐精心整理学习必备3、两类曲面积分之间的关系：Pd yd zQd zd xRdxd yPcosQ cosRcosd S其中,为有向曲面在点(x, y, z)处的法向量的方向角。（六）高斯公式1、高斯公式：设空间闭区域由分片光滑的闭曲面所围成 ,的方向取外侧,函数 P, Q, R

15、在上有连续的一阶偏导数,则有PQRd x d y d zP d y d z Q d z d x Rdx d yxyz或PQRd x d y d zPcos QcosRcos d Sxyz2、通量与散度通量：向量场A ( P, Q,R) 通过曲面指定侧的通量为：Pd ydz Qdzd xRdxd y散度： div APQRxyz（七）斯托克斯公式1、斯托克斯公式：设光滑曲面的 边 界是分段光滑曲线,的 侧 与的正向符合右手法则,P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z) 在包含在内的一个空间域内具有连续一阶偏导数, 则有R Q d y d zPR d zd xQP d

16、xd yPd x Q d y Rd zyzzxxy为便于记忆 ,斯托克斯公式还可写作:d y d z d z d x d xd yxyzP d xQ d yRd zPQR2、环流量与旋度环流量：向量场A( P,Q, R) 沿着有向闭曲线的环流量为P d xQ d yRd z旋度： rot ARQ ,PR ,QPyzzxxy第十二章无穷级数（一）常数项级数1、定义：1）无穷级数：unu1u2u3unn 1名师推荐精心整理学习必备n部分和： Snuku1u2 u3un ，k 1正项级数：un， un0n 1交错级数：(1) n un ， un0n 12）级数收敛：若 lim SnS 存在，则称级数

17、un 收敛，否则称级数un 发散nn 1n 13）条件收敛：un 收敛，而un 发散；n 1n 1绝对收敛：un 收敛。n12、性质：1）改变有限项不影响级数的收敛性；2）级数an ，bn 收敛，则( an bn ) 收敛；n 1n 1n 13）级数an 收敛，则任意加括号后仍然收敛；n 14）必要条件：级数un 收敛lim un 0 . （注意：不是充分条件！ ）n 1n3、审敛法正项级数：un， un0n 11）定义： lim SnS 存在；n2）un 收敛Sn有界；n 13）比较审敛法：un ，vn 为正项级数，且un vn(n1,2,3,)n 1n 1若vn 收敛，则un 收敛；若un

18、 发散，则vn 发散 .n 1n 1n 1n 14）比较法的推论：un ，vn为正项级数， 若存在正整数m ，当 nm 时， unkvn ，而vn 收敛，则un 收n1n 1n 1n 1敛；若存在正整数m ，当 nm 时， unkvn ，而vn 发散，则un 发散 .n 1n 1名师推荐精心整理学习必备5）比较法的极限形式：un，vn 为正项级数，若limunl(0 l) ，而vn 收敛，则un 收敛；若n 1n 1nvnn 1n 1lim un0或 limun，而vn发散，则un 发散 .nvnnvnn 1n 16）比值法：un 为正项级数， 设 limun 1l ，则当l1时，级数un 收

19、敛；则当 l1 时，级数un 发散；当 l 1n 1nunn 1n 1时，级数u n 可能收敛也可能发散.n 17）根值法：un 为正项级数，设 lim nunl ，则当 l 1时，级数un 收敛；则当 l1 时，级数 un发散；当 l 1n 1nn 1n 1时，级数u n 可能收敛也可能发散 .n 18）极限审敛法：un 为正项级数，若lim n un0 或 lim n un，则级数un发散；若存在p1，使得n 1nnn 1lim npun l (0l) ，则级数u n 收敛 .nn 1交错级数：莱布尼茨审敛法：交错级数：( 1)n，un0 满足： un 1un(n 1,2,3, ) ，且

20、limn0 ，则级数( 1)n收敛。unnuu nn 1n 1任意项级数：un绝对收敛，则un收敛。n 1n 1收敛，q1p - 级数：1收敛， p1常见典型级数：几何级数：aqn；n 1 npn 0发散，q1发散， p1（二）函数项级数1、定义：函数项级数un (x) ，收敛域，收敛半径，和函数；n12、幂级数：an x nn 01 ,03、收敛半径的求法：lim an 1，则收敛半径R0,n an,04、泰勒级数f (x)f ( n) (x0 ) (xx0 )nlim Rn (x)lim f ( n1) ( ) (x x0 ) n 10n 0n!nn(n1)!展开步骤：（直接展开法）名师推荐精心整理学习必备1）求出 f( n) (x),n 1,2,3,；2）求出 f( n ) ( x0 ),n0,1,2,；3）写出f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n ；n0n!4）验证 lim Rn ( x)limf ( n 1) () ( x x0 ) n 10 是否成立。nn(n 1)!间接展开法：（利用已知函数的展开式）1） ex1 xn ,x (, ) ；n 0 n !2） sin x( 1) n 11x 2n 1 , x ( , ) ；