《实数》培优材料

1、七年级数学培优讲义（2）一、实数：（一）【内容解析】（1）概念：平方根、算术平方根、立方根、无理数、实数；要准确、深刻理解概念。如平方根的概念：文字概念：若一个数x 的平方是 a，那么 x 是 a 的平方根； 符号概念：若 x2a ，那么 xa ； 逆向理解：若 x 是 a 的平方根，那么 x 2a 。（2）性质：在平方根、算术平方根中，被开方数a 0式子有意义；在算术平方根中，其结果a 是非负数，即a 0；计算中的性质1：(a)2a （a0 ）；计算中的性质2：a2aa(a 0)a(a；0)在立方根中，3a3a （符号法则）计算中的性质 3： (3a )3a ； 3a3a（3）实数的分类：正

2、有理数正有理数有理数零正实数正无理数（二分法） 实数负无理数（三分法） 实数零无理数正无理数负有理数负无理数负实数负无理数（二）【典例分析】1、利用概念解题：例1. 已知：Mb 1 a8 是 a8 的算术数平方根， N2a b 4 b3 是 b3 立方根， 求M N 的平方根。练习： 1.已知x2y3 34x3y2，求 xy 的算术平方根与立方根。，2若 2a 1 的平方根为 ±3，a b 5 的平方根为 ±2，求 a+3b 的算术平方根。例 2、解方程（ x+1） 2=36.练习：（ 1） ( x 1)2913（ 2） （x1） 2552、利用性质解题：例 1 已知一个数

3、的平方根是2a 1 和 a 11，求这个数 变式： 已知 2a 1 和 a11 是一个数的平方根，则这个数是 若 2m 4 与 3m 1 是同一个数两个平方根，则m 为；。例 2若 y=3x x3 1，求（ x y） x 的值例 3 x 取何值时，下列各式在实数范围内有意义。例4已知 312 x 与 3 3y2 互为相反数，求1 2x 的值 .y练习： 1.若一个正数 a 的两个平方根分别为 x1 和 x 3，求 a 2005 的值。2.若（ x 3） 2 y1 =0，求 xy 的平方根；3.已知 y12 x4x22,求 xy的值 .4.当 x 满足下列条件时，求x 的范围。( 2 x) 2

4、=x 23 x =x 3 x =x5.若3a37，则 a 的值是83、利用取值范围解题：例 1.已知有理数a 满足 2004aa2005a ，求 a20042 的值。3、利用估算比较大小、计算：估算法的基本是思路是设 a，b 为任意两个正实数，先估算出 a，b 两数或两数中某部分的取值范围，再进行比较。例 1比较13-3与 1的大小87说明：比较大小的常用方法还有：差值比较法：如：比较 12与13 的大小。解 （12 ）（ 13） = 32 0， 121 3。商值比较法 （适用于两个正数）如：比较3-1 与 1 的大小。55解：3 - 1÷1= 3 -113-115555a，b，先分

5、别求出a 与 b 的倒数，再倒数法： 倒数法的基本思路是：对任意两个正实数根据当 1 1 时， ab。来比较 a 与 b 的大小。（以后介绍）ab取特值验证法： 比较两个实数的大小，有时取特殊值会更简单。如： 当 0<x<1 时， x 2 ， x ，1 的大小顺序是 _。x解：（特殊值法）取x = 1 ，则： x2 =1 ， 1=2。1 1 2， x 2 x 1 。24x42x例 2若 35 的小数部分是a，3 -5 的小数部分是b，求 a+b 的值。例3.计算： 6( 1 - 6) 3- 23-2- 2-16练习： 1.估计10 1 的值是（）（A）在 2和 3之间（B）在 3和

6、 4之间（C）在 4和 5之间（D）在 5和 6之间5 - 11； 312比较大小：2.1（填“ >”、“ <”）224、利用数形结合解题：例 1实数 a、 b 在数轴上的位置如图所示，那么化简|a+b|+ (ba) 2 的结果是（）A 、 2bB、 2aC、 2aD、 2ba0b例 2如图，数轴上表示1、2 的对应点为A 、 B，点 B 关于点 A 的对称点为C，则点 C所表示的数是（）AA、 21B、12CBC、2 2D、 22012（三）【常见错误诊断】1、混淆平方根和算术平方根： 由 -3 是 9 的平方根得：9 =-3。由 81 的平方根是±9 得81 =

7、77;9 -5 是 5 的平方根的相反数2、混淆文字表示和符号表示：16 的算术平方根是4；64 的立方根是43、概念理解不透彻：（1）平方根、算术平方根的概念不清：6 是 6 的平方根； 6 的平方根是6 ；6 与6 互为相反数； a 的算术平方根是a（ 2）无理数的概念不清：开方开不尽的数是无理数； 无理数就是开方开不尽的数；无理数是无限小数；无限小数是无理数；无理数包括正无理数、零、负无理数；两个无理数的和还是无理数；两个无理数的积还是无理数；填空：在 -1.414，2 ， ， 3.14 ， 2+3 ， 3.212212221， 22 ，3 ， 0.303003.这些72数中，无理数的个

8、数有个；4、计算错误： (13) 2=13； 1 251 511119若 x2=16，则 x= 16 =4.14412162545205、确定取值范围错误（漏解或考虑不全面）若代数式x1 有意义，则 x 的取值范围是x1且 x2x2若代数式x1 有意义，则 x 的取值范围是 x2x26、公式用错：（- 626； （3.14 -22(c 3) ，则 c=-3） =3.14- ；若 c 满足 （ c3）（四）【巩固练习】1 .3 64的平方根（）A. 8B. 8C.2D.22如果 y0.25 ，那么 y的值是（）A. 0.0625B. 0.5C.0.5D.±0.53下列说法中正确的是（）

9、A.81 的平方根是 ±3B.1 的立方根是 ±1C.1 =±1D. -5 是 5 的平方根的相反数4若a2a ，则实数 a 在数轴上的对应点一定在（）A 原点左侧B原点右侧C原点或原点左侧D原点或原点右侧5若a =3.136，则a=（）100A 、 0.03136B、 0.3136C、 ±0.03136D 、 ±0.31366数 a、b 在数轴上的位置如图，那么化简baa 2的结果是（）A 2abB bC bD 2abb0a7下列说法正确的是（）A. 0.25 是 0.5的一个平方根B .正数有两个平方根，且这两个平方根之和等于0C. 72的

10、平方根是7D. 负数有一个平方根若(a 3) 2a-3，则a的取值范围是().8A.a 3B. a 3C. a 3D.a 39若 a、 b 为实数，且满足 a 2+b2=0，则 ba 的值为（）A 2B 0C 2D以上都不对10. 在 22 ， 3.1415926，7 ， 32 ，36， 0.1 这 6 个数中，无理数有（）7A1 个B2 个C3 个D4 个11若一个数的立方根等于它的算术平方根，则这个数是。12若2b 1 5和 3a1都是 5 的立方根，则 34a3b =.13观察下列各式：1121 , 213 1 ,3 141，根据你发现的规律，334455若式子 a181（ a、 b 为

11、正整数）符合以上规律，则ab .bb14由下列等式：3 22232， 3 3333 3， 3 44434 所揭示的规律，可得7726266363出一般的结论是（用字母 n 表示， n 是正整数且 n>1）。15比较下列实数的大小：14012510.5；216一个正方形的面积变为原来的m 倍，则边长变为原来的倍；一个立方体的体积变为原来的n 倍，则棱长变为原来的倍。17计算：4274)2|25|62213613(64318已知一个 2a-1 的立方根是3，3a+b+5 的平方根是± 7，c 是13 的整数部分，求 a 2b c 2的平方根。19ab满足2a 8 b3 0 ，解关于x的方程a 2 x b2a 1已知、20若 a5 ，b 27 ， abba ，求 a+b 的值21.设2+ 6的整数部分和小数部分分别是x、，求（）2+(y6+8)2的平方根。yx-122已知点 A、B 在数轴上对应的数