抛物线专题复习讲义及练习

1、抛物线专题复习讲义及练习P；知识梳理1.抛物线的标准方程、类型及其几何性质（p 0）:标准方程2 c y 2 px2-y 2px2 cx 2 py2-x 2py图形yx Wx q .Jy k焦点p f(2，0)pF( £,0) 2pF(0，2)pF(0, 口2准线x fx卫 2y R2y三2范围x 0, y Rx 0, y Rx R, y 0x R, y 0对称轴x轴y轴顶点(0, 0)离心率e 12.抛物线的焦半径、焦点弦 y2 2Px(p 0)的焦半径 |pf x -P ； x2 2py(p 0)的焦半径 | pf 过焦点的所有弦中最短的弦，也被称做通径.其长度为2P.AB为抛物

2、线y2 2Px的焦点弦，则xAXB2p2 ，yAyBp ， 1ABi=xaxB4 10 / 11重难点突破重点：掌握抛物线的定义和标准方程，会运用定义和会求抛物线的标准方程，能通过方程研究抛物线的几何性质难点：与焦点有关的计算与论证重难点：围绕焦半径、焦点弦，运用数形结合和代数方法研究抛物线的性质1.要有用定义的意识21,则点M的纵坐标是（）A. 17 B.151616点拨：抛物线的标准方程为x281、，、一一y,准线方程为4问题1：抛物线y=4x上的一点M到焦点的距离为D. 01，一 一 ，一y ，由定义知，点M到准线的距离16为1,所以点M的纵坐标是162 .求标准方程要注意焦点位置和开口

3、方向问题2:顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点(3, 2)的抛物线的条数有 点拨：抛物线的类型一共有 4种，经过第一象限的抛物线有2种，故满足条件的抛物线有 2条3 .研究几何性质，要具备数形结合思想，"两条腿走路”问题3:证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨：设AB为抛物线的焦点弦，F为抛物线的焦点，点A'、B'分别是点A、B在准线上的 射影，弦AB的中点为M,则AB AF BF AA' BB',点M到准线的距离为1 1一(AA' BB') AB,以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线相切2 2热点考点题型探析考点1

4、抛物线的定义题型 利用定义，实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例1 已知点P在抛物线y2 = 4x上，那么点P到点Q (2, 1)的距离与点P到抛物线焦点 距离之和的最小值为【解题思路】将点 P到焦点的距离转化为点 P到准线的距离解析过点P作准线的垂线l交准线于点R,由抛物线的定义知， PQ PF PQ PR,当 P点为抛物线与垂线l的交点时，PQ PR取得最小值，最小值为点 Q到准线的距离，因准 线方程为x=-1，故最小值为3【名师指引】 灵活利用抛物线的定义， 就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离 之间的转换，一般来说，用定义问题都与焦半径问题相关【新题导练】2

5、1 .已知抛物线 y 2Px(p 0)的焦点为 F,点 P(x1，y1)，F2(x2, y) , F3(x,3, y3)在抛物线上，且|PF|、|P2F|、|BF|成等差数列，则有()A x1刈 x3 B. y y2 y C x1必 2x2 D. y1坐 2 y2解析 1C由抛物线定义，2(x2)(x1)(x3),即：x1x32x2.2 222.已知点A(3,4), F是抛物线y2 8x的焦点，m是抛物线上的动点，当|MA |mf|最小时， M点坐标是()A. (0, 0) B. (3, 2 6) C. (2, 4) D. (3,2 6)解析设M到准线的距离为 MK，则|MA| MF | MA

6、 MK ,当MA MK最小时,M点坐标是（2, 4）,选C考点2抛物线的标准方程题型：求抛物线的标准方程例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求对应抛物线的准线方程：过点（-3,2）（2）焦点在直线x 2y 4 0上【解题思路】以方程的观点看待问题，并注意开口方向的讨论解析（1）设所求的抛物线的方程为y22 Px或x2 2py（p 0）,过点（-3,2）42p（ 3）或9 2p 22_91 1 p 或 p 34抛物线方程为y29*或*29 y,3219刖者的傕线万程是 x-,后者的准线方程为y-38（2）令 x 0得 y 2,令 y 0得 x 4,抛物线的焦点为（4,0）或（0,-2）,当

7、焦点为（4,0）时，2 4,2P 8,此时抛物线方程 y2 16x ;焦点为（0,-2）时K 22p 4 ,此时抛物线方程 x28y .22所求抛物线万程为 y 16x或x8y ,对应的准线方程分别是 x 4, y 2 .【名师指引】对开口方向要特别小心，考虑问题要全面【新题导练】2x223 .若抛物线y2 Px的焦点与双曲线 y 1的右焦点重合，则p的值解析艮 3T1p 424 .对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件：焦点在y轴上；焦点在x轴上；抛物线上横坐标为 1的点到焦点的距离等于6；抛物线的通径的长为 5;由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为（2, 1）能使这抛物线方程为 y2=

8、10x的条件是.（要求填写合适条件的序号）解析用排除法，由抛物线方程 y2=i0x可排除，从而满足条件 .5.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与Y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM| J17,|AF| 3,求此抛物线的方程解析设点A'是点A在准线上的射影，则|AA'| 3,由勾股定理知|MA'| 2J2 ,点A的 横坐标为（2V2,3 （，代入方程x2 2 py得P 2或4,抛物线的方程x2 4y或x2 8 y 考点3抛物线的几何性质题型：有关焦半径和焦点弦的计算与论证2例3 设A、B为抛物线y 2Px上的点，且 AOB 90 （O为原点，则直线AB

9、必过的定 点坐标为.【解题思路】由特殊入手，先探求定点位置y kx -2P 2d、解析1设直线 OA方程为y kx,由 。 解出A点坐标为（2D,2p）y2 2pxk2 k_2k(x 2pk )1 k21 y-x2k 解出B点坐标为(2pk , 2pk),直线AB万程为y 2 pk y2 2pxy 0得x 2p,直线AB必过的定点（2p, 0）【名师指引】（1）由于是填空题，可取两特殊直线AB,求交点即可；（2） B点坐标可由A1点坐标用一换k而得。k【新题导练】6 .若直线ax y 1 0经过抛物线y2 4x的焦点，则实数a 解析-17 .过抛物线焦点F的直线与抛物线交于两点A、B,若A、B

10、在抛物线准线上的射影为A1,B1,则 A1FB1（）A. 45 B. 60 C. 90 D. 120解析C基础巩固训练1 .过抛物线y2 4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A B两点，它们的横坐标之和等于a2 2a 4（a R）,则这样的直线（）A.有且仅有一条B. 有且仅有两条 C.1 条或2条 D. 不存在解析C|AB| xA xB p a2 2a 5 （a 1）2 4 4,而通径的长为 4.22 .在平面直角坐标系 xOy中，若抛物线x 4y上的点P到该抛物线焦点的距离为 5,则点P的纵坐标为()A. 3B. 4C. 5D. 6解析B利用抛物线的定义，点 P到准线y 1的距离为5,故点P

11、的纵坐标为4.3.两个正数a、b的等差中项是9, 一个等比中项是2J5,且a2b,则抛物线y2 (b a)x的焦点坐标为()1A- (0，4)iB .叼)iiC. ( 2,0) D- ( -,0)解析D. a 5,b 4,b a 14.如果R, P,2P8是抛物线y4x上的点，它们的横坐标依次为 Xi, X2,，,F是抛物线的焦点，若x1，x2, ,xn(nN )成等差数列且x-x2x9 45,则 |PsF| =A. 5B. 6解析B根据抛物线的定义，可知C. 7D. 9PF| x ” 1 " 1，2,x9 45,% 5,|BF|=6为？2， ,xn(n N )成等差数列且x x25

12、、抛物线y2 4x的焦点为F,准线为l, l与x轴相交于点E,过F且倾斜角等于60。的 直线与抛物线在 x轴上方的部分相交于点 A, AB ±1,垂足为B,则四边形ABEF的面积等 于()A. 3<3B, 46C, 63D, 873解析C.过A作x轴的垂线交x轴于点H,设A(m,n),则AF AB m 1, FH OH OF m 1 , m 1 2(m 1) m 3, n 2M3四边形 ABEF 的面积=12 (3 1) 2d3 6v13 22uuu6、设O是坐标原点，F是抛物线y 4x的焦点，A是抛物线上的一点，FA与x轴正向uuu的夹角为60°,则OA为.解析历.

13、过A作AD x轴于D,令FD m,则FA 2m即2 m 2m,解得m 2 .A(3,2 ,3) OA , 32 (2.3)221综合提高训练7.在抛物线y 4x2上求一点，使该点到直线 y 4x 5的距离为最短，求该点的坐标 解析解法1 ：设抛物线上的点 P(x,4x2),点p到直线的距离d 上一J4x 5|、171 2|4(x -)2 4|,171当且仅当x 时取等号，故所求的点为 2解法2:当平行于直线y 4x 5且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求，设该直线方程为y 4xb，代入抛物线方程得 4x2 4x b 0,由 16 16b0得 b 1,x1 /1 、 一,故所求的点为(一,

14、1) 229.设抛物线y22 Px ( p 0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点.点C在抛物线的准线上，且 BC/X轴.证明直线AC经过原点O.证明：因为抛物线y2 2 Px ( p 0)的焦点为F卫0 ,所以经过点F的直线AB的方程2，可设为x若记因为BC / X轴，且点C在准线x R上，所以点2C的坐标为,y2 ，故直线co的斜率为k 上 p22P 工y x即k也是直线OA的斜率，所以直线AC经过原点O2, 一 x10.椭圆W a2 y b21上有一点M (-4, 9)在抛物线y252px (p>0)的准线l上，抛物p2_2my -，代人抛物线方程得 y 2pmy p

15、0.2A xi,yi , B x2,y2 ,则y1，y2是该方程的两个根，所以线的焦点也是椭圆焦点(1)求椭圆方程;(2)若点N在抛物线上，过 N作准线l的垂线,垂足为Q距离，求|MN|+|NQ|的最小值.2 x 解：(1) 1a2y21上的点M在抛物线y2b22px(p>0)的准线上，抛物线的焦点也是椭圆焦点Nc=-4 , p=89，一. M (-4,-)在椭圆上5T三ia 25b2I 22办abc ，由解得：a=5、b=322.椭圆为y- 1259由p=8得抛物线为y216x 设椭圆焦点为F (4, 0),由椭圆定义得|NQ|二|NF|，|MN|+|NQ| >|MN|+|NF|

16、=|MF|(4 4)2 (9 0)2541 一 一一，即为所求的最小值5参考例题:h已知抛物线C的一个焦点为F ('。)'对应于这个焦点的准线方程为x=-2(1)写出抛物线C的方程；(2)过F点的直线与曲线 C交于A、B两点，。点为坐标原点，求 AOB重心G的轨 迹方程；解：(1)抛物线方程为：y2=2x.(4分)(2)当直线不垂直于 x轴时，设方程为丫二女仰1),代入y2=2x,2得：k2x2-(k2+2)x+ y 0.B(x2, y2),则x1 + x2=k2 22 , y1 +y2= k(x1 +x2-1)= x设 AOB的重心为 G (x, y)则y0 x1 x230

17、V1 V23k2 223k(6分)消去""2=2x 2为所求,(8分)当直线垂直于x轴时，A ( 1 , 1), B ( 1 , -1), 22 AOB的重心G ( 1 , 0)也满足上述方程.(9分)3综合得，所求的轨迹方程为 y2=-x -, 39抛物线专题练习、选择题(本大题共 10小题，每小题5分，共50分) 1.如果抛物线y 2=ax的准线是直线x=-1,那么它的焦点坐标为A. (1,0) B. (2, 0) C, (3, 0)D. ( 1,0)2.圆心在抛物线 y 2=2x上,且与x轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是A. x2+ y 2-x-2 y - 1

18、 =0B.x2+ y 2+x-2 y +1=0C. x2+ y 2-x-2 y +1=0D.221x2+ y 2-x-2 y + =043.抛物线yx2上一点到直线2xy 4 0的距离最短的点的坐标是/、, 1 1、A. (1 , 1)B.( 一，一)2 4C.3 9、(-,-) D. (2, 4)2 44.一抛物线形拱桥，当水面离桥顶2m时，水面宽4m,若水面下降1m,则水面宽为()4.5m D . 9m5 .平面内过点 A (-2, 0),且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是()A . y 2= 2x B . y 2= 4x C. y 2= 8xD. y 2=16x6 .抛物线的顶点在

19、原点，对称轴是 x轴，抛物线上点(-5, m)到焦点距离是6,则抛物线的方程是()A . y 2=-2xB . y 2=-4xC. y 2=2xD . y 2=-4x 或 y 2=-36x7 .过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于A(xi, y 1), B(x2, y 2)两点，如果xi+ x2=6,那么 |AB|=()A. 8 B. 10 C. 6 D. 48 .把与抛物线y 2=4x关于原点对称的曲线按向量a (2, 3)平移，所得的曲线的方程是()A. (y 3)24(x 2) B. (y 3)24(x 2)C. (y 3)24(x 2) D. (y 3)24(x 2)9 .过点

20、M (2, 4)作与抛物线y 2=8x只有一个公共点的直线 l有A. 0条B. 1条C. 2条D. 3条10 .过抛物线y =ax2(a>0)的焦点F作一直线交抛物线于 P、Q两点，若线段 PF与FQ的长11分别是p、q,则一 一等于()A. 2aB.C. 4a2a二、填空题11 .抛物线 y2=4x的弦AB垂直于x轴，若 AB的长为4 <3 ,则焦点到 AB的距离 为.12 .抛物线y =2x2的一组斜率为k的平行弦的中点的轨迹方程是 .13 . P是抛物线y 2=4x上一动点，以P为圆心，作与抛物线准线相切的圆，则这个圆一定经 过一个定点 Q, 点 Q 的坐标是 .x y14

21、.抛物线的焦点为椭圆 1的左焦点，顶点在椭圆 中心，则抛物线 万程 94为.一.选择题(本大题共 10小题，每小题5分，共50分)题号12345678910答案ADABCBACCC.填空题(本大题共 4小题，每小题6分，共24分)11. 212. x13. (1, 0)14.4 5x三、解答题2215 .已知动圆 M与直线y =2相切，且与定圆 C: x (y 3)1外切，求动圆圆心 M的轨迹方程.解析:设动圆圆心为M(x,y),半径为r,则由题意可得 M到C(0,-3)的距离与到直线y=3的距离相等，由抛物线的定义可知：动圆圆心的轨迹是以C (0,-3)为焦点，以y=3为准线的一条抛物线，其

22、方程为x212y.16 .已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点 M (3, m)到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和 m的值.(12分). 2. .P一 、 一解析:设抛物线方程为 x 2py(p 0),则焦点F ( -,0),由题意可得 22m 6 P1 ,解之得m2 (3 P)2 5m 276或m 2灰P 4 p 42故所求的抛物线方程为X28y , m的值为 2n214/11217.动直线y =a,与抛物线y点M的轨迹的方程.(12分)1X相父于A点，动点B的坐标是(0,3a),求线段AB中 222x a解析:设M的坐标为(x, y), A ( 2a , a),又B(0,3a)得y 2a2消去a,得轨迹方程为x 2，即y2 4x419.如图，直线11和12相交于点M, ll2,点NC11.以A、B为端点的曲线段 C上的任一点到l2的距离与到点 N的距离相等.若 AMN为锐角三角形，|AM|=17 , |AN|=3,且|BN|=6 .建立适当的坐标系，求曲线段C的方程.(14分)解析:如图建立坐标系，以1i为x轴，MN的垂直平分线为y轴，点O为坐标原点.由题意可知：曲线 C是以点N为焦点，以l2为准线的抛物线的一段，其中 A、B分别为C 的端点.设曲线段C的方程为y2 2px(p 0)