拉格朗日插值法理论及误差分析

1、浅析拉格朗日插值法目录：一、引言二、插值及多项式插值的介绍三、拉格朗日插值的理论及实验四、拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式五、参考文献一、引言插值在数学发展史上是个古老问题。插值是和拉格朗日(Lagrange)、牛顿 (Newton)、高斯(Gaus§等著名数学家的名字连在一起的。在科学研究和日常生活中，常常会遇到计算函数值等一类问题。插值法有很丰富的历史渊源，它 最初来源人们对天体研究一一有若干观测点(我们称为节点)计算任意时刻星球 的位置(插值点和插值)。现在，人们在诸如机械加工等工程技术和数据处理等 科研都有很好的应用，最常见的应用就是气象预报。插值理论和方法能解决在实

2、 际中当许多函数表达式未知或形式复杂，如何去构造近似表达式及求得在其他节 点处的值的问题。二、插值及多项式插值1、插值问题的描述设已知某函数关系y = f (x)在某些离散点上的函数值：X)xiXn i X nyn1 Vn插值问题：根据这些已知数据来构造函数 y = f (x)的一种简单的近似表达式, 以便丁计算点；尹为=0,1，n的函数值f(x),或计算函数的一阶、二阶导数 值。2、插值的几何意义插值的几何意义如图1所示:yk° -XQ 工 1工 HH图13、多项式插值3.1基本概念假设y=f(x)是定义在区间a,b上的未知或复杂函数，但一直该函数在点ax°<xi

3、<后壬b处的函数值y0,yi,yn。找一个简单的函数，例如函数P(x),使之满足条件P(x)= y ,丰 0, 1,2, n ,(3.1)通常把上述x0<x1<xn称为插值节点，把P(x)称为f (x)的插值多项 式，条件(3.1 )称为插值条件，并把求P(x)的过程称为插值法3.2插值多项式的存在性和唯一性 如果插值函数是如下m次的多项式:mm_J .Pm(x)=a°xaxam4x - am那么插值函数的构造就是要确定Pm(x)表达式中的m+1个系数a0，a1"am-1am。由丁插值条件包含n+1独立式，只要m=n就可证明插值函数多 项式是唯一存在。实际

4、上，由n+1个插值条件可得=y。=y1=Vnnn Ja0Xo司冷一an/annn Ja。aiX1.anjx1a。nn Ja°XnaXnanjXnan这是一个关丁 a。,*为的n+1阶线性方程组，且其系数矩阵对应的行列式是线性代数中著名的范德蒙（Vandemonde行列式。该行列式得值为n iVJX。,*，X。=口 口(X -Xj) i=1 j=0因为i#j时，Xi,Xj，所以Vn（Xo,Xi，Xn） #0。从而证明了上述线性方程组的阶是唯一存在的。既满足插值条件的多项式唯一存在。三、拉格朗日插值的理论及实验1、拉格朗日插值的理论拉格朗日（Lagrange）插值公式的基本思想是把PJx

5、）的构造问题转化为n+1个插值基函数"（X）（i =0,1，n）。首先我们利用节点直接构造如下多项式："（x）In（X）=:（X-x）"（Xi）其中%书（X）=（XX0）（X X）（XXn）, '兀 n +（X） =（Xi X0）（XiX）（X 一 X*）（XiXn）容易验证该多项式具有性质因此，n次多项式nLn(X) =l0(X)y0 L(X)y1 In(X)yn =、. Ik(X)Vkk =0定具有性质nLn(Xi) r ?, lk(x)yk =li(Xi)yi,i =0,1, n,k =0既满足插值条件。我们称Ln(x)为拉格朗日插值多项式，li(x

6、)称为拉格朗日插值及函数。一次拉格朗日插值多项式乂叫做线性插值多项式。二次拉格朗日插值多项式乂叫做抛物线插值多项式。2、拉格朗日插值实验经过学习掌握拉格朗日插值的理论，学以致用，使学到的知识运用到现实生活中，并运用计算机来解决我们在学习中遇到的一些问题。以下为运用MATLAB软件平台上计行拉格朗日插值问题：x0246810 1214 16 18 20 22 24 26 2830y0.00 0.45 0.75 1.52 2.12 3.40 3 .72 4.17 5.12 5.45 5.67 6.74 7.31 7.85 8 .45 8.97例：已知在0,30内对应的节点x以及函数值y如表所示，利

7、用拉格朗日 插值多项式求在区间x=2.035,x=9.771,x=17.815,x=26.907所对应的函数值。在已知数表函数的条件下，拉格朗日插值多项式可用来计算复杂函数或未 知函数的函数值，为此我们首先编写如下利用拉格朗日插值多项式方法计算函数 值的程序：function y=lagrange(x0,y0,x)n=length(x0);m=length(x);for i=1:mz=x(i);s=0.0;for k=1:np=1.0;for j=1:nif j=kp=p*(z-x0(j)/(x0(k)-x0(j);endends=p*y0(k)+s;endy(i)=s;end上述三重循环给出

8、了拉格朗日插值计算多项式计算任何点x处的函数值的过程,我们把它标记为lagrange.m文件，接下来我们在MATLABP台上进行上述例子中的数值试验。在Command WindoW输入的命令及结果如下所示：>> x=0:2:30;>> y=0.0 0.45 0.75 1.52 2.12 3.40 3.72 4.17 5.12 5.45 5.67 6.74 7.31 7.858.45 8.97;>> lagrange(x,y,2.035)ans =0.3290>> lagrange(x,y,9.771)ans =3.2975>> lag

9、range(x,y,17.815)ans =5.4483>> lagrange(x,y,26.907)ans =8.6519最后，我们根据拉格朗日插值结果，利用 plot命令画出未知函数的图像，命令程序如下：>> x0=0:2:30;>> y0=lagrange(x,y,x0);>> plot(x0,y0)得到的未知函数图像为：四、拉格朗日插值多项式的截断误差及实用估计式1、截断误差在a,b区间上用Ln(x)近似未知或复杂函数f(x),其截断误差是指Rn(X)= f (X)-Ln(X)(4.1)通常称Rn (x )为拉格朗日插值余额。注意到利用公

10、式(4.1)估计截断误差实际上非常困难。一是因为它要计算函数f (x)的高阶导数，当f (x)很复杂时，计算量很大，而当f (x)没有可用来计算的表达式时，导数无法准确计算；二是因为即使能得到高阶导数的解析式，但由丁 E的具体位置不知道，所以要估计高阶导数在插值区间上的界一般是非常困难的事情。因此，公式(4.1)并不实用。2、截断误差的实用估计式既然公式(4.1)估计误差时不实用，那么实际中如何估计截断误差呢？假设插值条件中包含n+2组数据f(x ) = y , i =0, T, n, n； 1那么利用n+1组数据我们可以构造一个n次拉格朗日插值多项式Ln(x),利用后n+1组数据我们可以构造

11、另一个n次拉格朗日插值多项式L*n(x)。利用公 式(4.1)知，他们各自的插值余项为-1- (n 1) f(x)-Ln(x)= f ( )(x -xo)(x -用(x fn),(n 1)!f(x)-Ln(x)=f(f(D(x-x1)(xx2 )(”用),两式相减得*1小5、1)!f n 1( )(x-x)(x -xn)(xn 1 -乂°),并可写成3(n1)()(xf)*(4.2)注意到上式中利用f n*(t) & f "(t ).该条件在很多情况下是成立的*Ln(x) - Ln(x)x。一 xn .1*Ln(x) -Ln(x)xn 1 x。(4.2)利用式(4.2)可得R(x)=f(x)-Ln(x)* *R(x)=f(x) Ln(x)式(4.3)给出了用Ln(x)或L；(x)作近似计算时的实用误差估计式，它不需要计 算高阶导数，也不用估计插值区间上高阶导数的界。总之，拉格朗日插值法的公式结构紧凑，在理论分析中十分方便，然而在计 算中，但插值点增加或减少时，所对应的基本多项式就得重新计算而且图像发生 很大变化。像逐次线性插值法、牛顿插值法等都是在拉格朗日插值多项