排列组合基础知识

1、排列组合基础知识一、两大原理1. 加法原理(1) 定义：做一件事，完成它有 n类方法，在第一类方法中有 ni中不同的方法， 第二类方法中有F种不同的方法.第n类方法中儿种不同的方法，那么完成这件 事共有N =n1 +n2 + .+ nn种不同的方法。(2) 本质：每一类方法均能独立完成该任务。(3) 特点：分成几类，就有几项相加。例1.从甲地到乙地，可以乘动车，也可以乘汽车；一天中动车有3班，汽车有2班，那么一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有多少种方法？如上图，从甲地到乙地共有3+2种方法。2. 乘法原理(1) 定义做一件事，完成它需要 n个步骤，做第一个步骤有 中不同的方法，做 第二个

2、步骤有m2种不同的方法.做第n个步骤有mn种不同的方法，那么完成这件 事共有N =mlm2.mn种不同的方法。(2) 本质：缺少任何一步均无法完成任务，每一步是不可缺少的环节。(3) 特点：分成几步，就有几项相乘。例2.从甲地到乙地，要先从甲地先乘火车到丙地，再丁次日从丙地乘汽车到乙地，一天中火车2班，汽车3班。那么两天中，从甲地到乙地共有多少种不同的方 法？解：由上图可知共有的可能路线为：火车 1一汽车1,火车2一汽车1 火车1一汽车2,火车2一汽车2 火车1一汽车3,火车2一汽车3 所以共有24=8种方式。二、排列组合1. 排列(1) 排列的定义：从n个不同的元素中，任取m个(mn)元素，

3、按照一定的顺 序排成一列，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的一个排列。(2) 使用排列的三条件 n个不同元素； 任取m个； 讲究顺序。2. 组合(1) 组合的定义：从n个不同的元素中，任取m个(m壬n )元素并为一组，叫做 从n个不同的元素中取出m个元素的一个组合。(2) 使用三条件 n个不同元素； 任取m个； 并为一组，不讲顺序。排列与组合的共同点：都是“从n个不同元素中任取m个元素”；排列与组合的不同点：排列与元素的顺序有关系，而组合与元素的顺序无关。也就是说：组合是选择的结果，而排列是选择后再排列的结果。3排列数的定义：从n个不同的元素中，任取 m个(m'n )元素所有排列的个

4、 数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的排列数，记为例1.从甲、乙、丙三个中任取 2个人分别参加明天上午和下午的比赛。问共有多 少种方式？解：由上图可知，共有6种方式。需要注意：此题相当丁从3个不同的元素中任取2个元素，并按一定的顺序排列， 所有共有的排歹0数为 a3，即a3=6 = 3x 2,其中上标2是相乘的项数，下标是相 乘中的最大那一项3,而且之后的每项总是比前一项少1。例2.从a, b, c, d四个元素中任取2个排成一列共有多少种可能？解 所以的可能排歹0为：ab, ba, ac, ca, ad, da,bc, cb, bd, db, cd,dc.共有 12 种，即A2 =12=

5、43,其中上标2是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项4,而且之后的每项总是比前一项少1。例3.从a, b, c, d四个元素中任取3个排成一列共有多少种可能？解 所以的可能排列为： abc, acb,bac,bca,cab, cba, abd, adb, bad, bda, dab,dba, acd, adc, cad, cda, dac,dca. bcd,bdc,cbd,cdb,dbc,dcb共有24种，即A3 =24=4x3x2,其中上标3是相乘的项数，下标是相乘中的最大那一项4,而且之后的每项总是比前一项少1由上面的规律可以得出下面排列数的计算公式n!A" =n(n -1)(

6、n -2).(n -m+1)=，其中上标 m表小相乘的项数，(n -m)!其中 n!=n(n -1)乂乂2勺。尤其： A； =1, A1 = n, A1 = n!。5组合数的定义：从n个不同的元素中，任取 m个(m三n )元素所有组合的个 数，叫做从n个不同的元素中取出m个元素的组合数，记为cm。例4.从甲、乙、丙三个中任取2个人参加某项比赛。问共有多少种方式？解：可能的组合为：甲乙，甲丙，乙丙。所以共有 3种需要注意：此题相当丁从3个不同的元素中任取2个元素并成一组，所有共有的组 合数为C；,即C； =3。这个结果与例1比较发现例2.从a, b, c, d四个元素中任取2个并成一组，共有多少

7、种可能？解 所以的可能排列为：ab, ac, ad, bc, bd, cd.共有6种，即C： = 6。这个结果与例2比较发现 223 _ A4C 4 6 q o2 1A；例6.从a, b, c, d四个元素中任取3个并成一组，共有多少种可能？解所以的可能排列为：abc, abd, acd, bcd。共有4种，即c：=4。这个结果与 例3比较发现"4=釜=§由上面的规律可以得出下面组合数的计算公式Cm _ K _ n(n -1).(n -m 1) n A m(m -1).2 1尤其：C° =1,Cn =n,C； =1,质二况小我们这本书用(m宸示Cm。下面3题要求学解题过程1. 甲、乙、丙、丁 4支足球队举行单循环赛，(1)列出所有各场比赛的上方；(2)列出所有冠军的可能情况。2. 由0,1,2,3,