插值与拟合例题

1、1山区地貌：在某山区测得一些地点的高程如下表：（平面区域1200<=x<=4000,1200<=y<=3600），试作出该山区的地貌图和等高线图，并对几种插值方法进行比较。3600320028002400200016001200148015001550151014301300120098015001550160015501600160016001550150012001100155016001550138010701500120011001350145012001150101013901500150014009001100106095013201450142014001

2、30070090085011301250128012301040900500700Y/x1200 1600 2000 2400 2800 3200 3600 4000风4山区地貌：左堂ill IV Ml 建此柚 占虫 ififTV+st *仕木山 匹现1衣Bl PxJiyLzJ1200<=x<=4000J200y<=3600)试作出该山#的地貌匿和等局线图.并对几种总值方法讲代比较.OX12001600200024002800320036004000O12001130125012801230104090。500700160013201450142014001300700900

3、8502000139。1500150014009Q0110010609502400150012001100135014501200115010)02800150012001100155016001550138010703200150015501600155016001600160015503600148015001550151014301300120098。 通过此例对原始图、最近邻点插值、双线性插值方法和双。 三次样条插值方法的插值效果进行比较I n matiHTx= 1200:400 4000;y=1200:400:3600;尸1130 1320 1390 1500 L5QQ15QP 14

4、80: 1250 1450 1500 1200 俱 1550 1500:1280 1420 15001100 UQO 1600 1550; 1230 1400 lQO 1350 1550 1550 1510；1040 1300 900 1450 1600 姗 1430; 900 700 1100 1200 1550 1600 1300;500 900 1060 1150 1380 1600 1200: 700 850 950 1010 1070 1550980'xi=1200:50:4<X)0;yj=1200:50:3600;z 1 =inteip2(& yz z=xi;

5、 yi1/nearest')；;2=interp2(xzycte呷&xi, y); 双线性插值z3=interp2(x±乂temp妇项'spline'); %双三次样条插值z4=interp2(x,y,texiryi7cubic"); %双三次插值subpfot(2:2:l):mesh(xi=yi:zl):title(1 最邻近插值施舞域)subplot(2;2=2):mesh(xi=y£z2)ztitlef双线性插值 piecewise linear1) 如4>心(223)皿5侦药函工3)南4双三次样条曲1顾虑) subpl

6、ot(224), mesh(xi±y£ z4):titlef双三次插值 mbic1)2 用给定的多项式，如 y=x3-6x2+5x-3，产生一组数据(xi,yi, i=1,2, -，祁在yi上添加随 机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数，或用rands产生N(0,1)分布随机数)，然后用xi 和添加了随机干扰的 yi作的3次多项式拟合，与原系数比较。如果作2或4次多项式拟合， 结果如何？3 用电压 V=10 伏的电池给电容器充电，电容器上 t时刻的电压为，其中V0是电容器的初始电压，是充电常数。试由下面一组t, V数据确定V0 ,。2用给定的多项式，如y=x3-

7、6x2+5x-3 ,产生一组数据(xi,yi , i=1,2, ,rfj在 yi上添加随机干扰(可用rand产生(0,1)均匀分布随机数，或用rands产生N(0,1)分 布随机数)，然后用xi和添加了随机干扰的yi作的3次多项式拟合，与原系数比 较。分别作1、2、4、6次多项式拟合，比较结果，体会欠拟合、过拟合现象。解：程序如下：x=1:0.5:10;y=x.A3-6*x.A2+5*x-3;y0=y+rand;f1=polyfit(x,y0,1)%输出多项式系数y1=polyval(f1,x);% 计算各x点的拟合值plot(x,y,'+',x,y1)grid ontitle

8、('一次拟合曲线');figure(2);f2=polyfit(x,y0,2)%2 次多项式拟合y2=polyval(f2,x);plot(x,y,'+',x,y2);grid ontitle('二次拟合曲线');figure(3);f4=polyfit(x,y0,4)%4 次多项式拟合y3=polyval(f4,x);plot(x,y,'+',x,y3)grid ontitle('四次拟合曲线');figure(4);f6=polyfit(x,y0,6)%6 次多项式拟合y4=polyval(f6,x);plot

9、(x,y,'+',x,y4)grid ontitle('六次拟合曲线');运行结果如下：依次为各个拟合曲线的系数(按降籍排列)f1 =43.2000 -149.0663f2 = 10.5000 -72.3000 89.8087f4 =0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000 -2.5913f6 = 0.0000 -0.0000 0.0000 1.0000 -6.0000 5.0000-2.4199运行后，比较拟合后多项式和原式的系数，发现四次多项式系数与原系数比较接 近，四次多项式的四次项系数很小。作图后，发现一次和二次多项式的图形与原 函数的差

10、别比较大，届丁欠拟合的情况，而四次多项式和六次多项式符合得比较 好。作图如下：一次拟合曲线rrhr1111I11H1Vtf111iHI1114ktiiIiitbbl1ag1*Vf1441kIII1i+,II1|01VVP1g1IHI11i41kfellT 14-二V9f1i4tpii4*1kIIi9R|H k kH11iiiid+i:； 4-*1I i；'"+a+ +十4Ikid II q尸一一千*.丫:-4Itfad匕HN114iLIII111Vff111IRI11a*1ikII1iii1i111115004003002001000-100-20012345678&

11、10四次拟合曲线六次拟合曲线450 p400 -5。eIIIII_I123456789103.解：据题意分析如下:电容器充电的数学模型已经建立。 v(t) =V-(V-V°)exp(-t/T)(已知V=10)可见，v(t)与i成指数变化关系，所以在 通过曲线拟合的时候，使用指数曲线 y = aie%x。(非线性拟合)。首先进行变量 代换在程序中用V1代替v(t) , t0代替T ,V2是拟合后的曲线方程：对 v(t) = 10 (10 Vo)exp( t / 丁)如后有ln(10 v(t) = ln(10 v。)+ (t")令 y=ln(10- v(t) ,f 1=ln(1

12、0- v0) ,f2= -1/t0, 则v0=10-exp(f(2) , t0= -1/ f(1)。编写程序如下：t=0.5 1 2 3 4 5 7 9;v1=6.36 6.48 7.26 8.22 8.66 8.99 9.43 9.63;y=log(10- v1);f=polyfit(t,y,1)t0=-1/f(1)v0=10-exp(f(2)v2=10-(10-v0)*exp(-t/t0);plot(t,v1,'rx',t,v2,'k:')grid onxlabel('时间 t(s)'),ylabel('充电电压(V)');t

13、itle('电容器充电电压与时间t的曲线')；程序运行输出结果如下：f =-0.2835 1.4766t0 = 3.5269 v0 =5.6221即电容器的初始电压为 v0 =5.6221 , r =3.5629。电容器充电电压与时间t的曲线"101IIIIII4.某年美国旧车价格的调查资料如下表其中xi表示轿车的使用年数，yi表示相应的平均价格。试分析用什么形式的曲线来拟合上述的数据，并预测使用4.5年后轿车的平均价格大致为多少?Xi12345678910V、2615 194314941087765538484290226204(1>,代妈：绘制鼠胃»

14、; xi= I» yi=26l 5 1943 1494 1087 765 538 W 290 226 204;» plottxiyJroLifi rn木；w汕2jqwi5wwoagI 23*5 e 740 vg分析国象诃用利教愧抑.用函数tlxalxpfaix）来批含-代跖tur; j J.i Ti lpuice (3 k);c'-j (-)(3)*>：i;»aO=|l,O;» xi=l; I: ID,» >i=Pfil5 1943 1494 I ON? 765 土哉 4$4 2知22&244;» |xtr

15、iiinrrii jesidiLjlllHiTputJ-Iqcun c 111( 'prier'.aO.a.K)：» xn=lii«paceui I”. Il，、» yii=pricei» hold an» pkrirxii.yH).» phn(xi.yi.'r<f),» yiabelf美国1日车价杵Ka湖日美国hi车价格变化图*» grid;» y-i-pncc(a, 4|y4 =10713» y5=pricc(a1 5 jy5 =7943382分虬伯用4邓年打V

16、ME平均断碍人钉为W713, 794.5382.5汽车制造厂生产的某种轿车的外形数据如下表所示L 16L2L41.5L82.02.223| Z.62.83. 03. 13. 2-0. 910, 951.091.1619JL 20M91. 17L 14L 080. 990. 930, 84试找出最佳的拟合曲线拟合以上数据例 对下面一组数据作二次多项式拟合丽0.10.20.40.50.60.70.80.91Ri1.97E3J86.167347.669.589.4893011.2即要求出二次多项式：f (x) = ayX2 + a2x + 3 中的/=(如s%)使得：11X /(呵)-最小2 = 1

17、例5今有数据如下=xO=O 0.4 0.8 1.2 L6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0;y0=0 0.1 0.85 L05 3.08 3.50 6.07 7.90 9.7 13.96 14.68;丧在区间0,4上选用合适的多项式进行拟合口解：因有11个数据，故可用10次多项式拟合，这样可保证曲线通过每个数据点，程序如下，x0=0 0.4 0.8 1.2 L6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0;y0=0 0.1 0.85 L05 3.08 3.50 6.07 7.9。9.7 13.96 14.68;plot(x0?y0/*')p 10=po lyfi t(

18、x0,y0,10)x=0:0.05:4;y 10=poiyval(p 10,x);plot(x0,y0,1 koT xy 10,' m-')解法用多项式拟合的命令1)输入以下命令: x=0:0.1:l;>=-0.447 1.978 3.28 6.16 7.08 7.34 7.66 9.56 9.48 9.30 11.2;A=polyfit(x,j2)pIq奴y,：K士按0,r)%作出数据点和拟合曲线的图形vpa(poly2sym(A),5)%显示多项式形式，系数精度5位2)计算结果：A = -9.8108 20.1293 -0.0317/(x) = -9.8108 x2

19、+ 20.1293 x- 0.0317例5今有数据如下：x0=0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0;y0=0 0.1 0.85 1.05 3.08 3.50 6.07 7.90 9.7 13.96 14.68;盘在区间0,4上选用合适的多项式进行拟合。解：因有11个数据，故可用10次多项式拟合，这样可保证曲线通过每个数据点，程序如下：x0=0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0 2.4 2.8 3.2 3.6 4.0;y0=0 0.1 0.85 1.05 3.08 3.50 6.07 7.90 9.7 13.96 14.68;plot(x0,y

20、0/*f)p 10=polyfit(x0,y0,10)x=0:0.05:4;y 10=polyval(p 10,x);plot(x0,y0/kof jyl 0,' m-f)pl = 3.9109 2.2864p2= 0.8957 03282 -0J367p3= 0,1119 L5671 0.6960从图上看出，虽然曲线 通过了每个数据点,但 在两个端点附近引起了 较大的振荡，看来高次 的拟合并不理想，应改 用低次的拟合。pio =L0e+003 0.0008 -0.0168 0.1472 -0.7202 2-1632 -4.1067 4.8841 -3.4682 1.3142 01974 -0.0000即plO =0.8*1。_ "nF + 147.2 x8 -720.2x7+2163.2x6 - 41。6.7系+ 4884.1x4 -3468.24- 1314.2x:97.4x - 0.0000可看出 一次拟合误差较 大，二次或三次拟合则误 差较小.且可以接受了。pl = 3.910奴-2.2864p2 = 0.8957x-+ 03282x 0.13670,1211 p3 = 0ail9+L5671x2 0.6960x+ 0