数值分析最佳习题含答案

1、第一章绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误 差限的计算。1若误差限为0.5 10 5,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算）解：x* 0.3400 10 2, x x* 1 10 5 - 10 2 3 22故具有3位有效数字。23.14159具有4位有效数字的近似值是多少(有效数字的计算)解： 0.31415910,欲使其近似值*具有4位有效数字，必需*1 101 4 ,1 10 3*1 10 3 ,即 3.14109*3.142092223已知a 1.2031, b 0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问 a b, a b有几位有效数字(有

2、效数字的计算)解： a a*1 10 3 , b b*)10 2,而a b 2.1811, a b 1.176622*1_31_21_12(a b) (a b ) a a b b - 10- 10- 10222故a b至少具有2位有效数字。* *0.97831.2031211 2(ab) (a b ) ba a abb 10 100.0065 - 10222故a b至少具有2位有效数字。4设x 0, x的相对误差为，求lnx的误差和相对误差（误差的计算）解：已知则相对误差为*In x In x, *In x1.* ln x*In x lnx. * ln x*x x*x5测得某圆柱体高度h的值为

3、h* 20cm ,底面半径r的值为r* 5cm ,已知| h h* | 0.2cm , | r r* | 0.1cm,求圆柱体体积v r2h的绝对误差限与相对误差限。（误差限的计算）解：v(h,r) v(h*,r )v(h,r) v(20,5)相对误差限为v(h,r)5 20v(20,5)v(20,5)6设x的相对误差为a%,求y解:x*y y*y*n x0.1522552 20的相对误差。*x x*x7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为0.2120254%（函数误差的计算）(na)%1% ,问度量半径r时允许的相对误差限为多大（函数误差的计算）*3 r解：球体积为v(r) 4 r3, v

4、(r*) 433欲使|v(r) v(r )4*v(r )*2 r43*3 r* r r*r1%,必须* r r*r1-%o318 设 1n e I0 e 1 exdx e 1 (e0 xnexdx,求证:0(1) In 1 nIn1(n 0,1,2 )（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计算方法的比较选择）1解：I n e1 xndex01 n xe x e11,_ n 1 _ x0 n x e dx 10ne11 xo1exdx 1 nIn11) 1如果初始误差为I0,若是向前递推,*n I n I n (1 nI1) (1*2/nIn 1) n

5、 n 1( 1) n(n1)2( 1)nn! 0可见，初始误差°的绝对值被逐步地扩大了。如果是向后递推I n 1 1 11 n ,其误差为 n n1110(I1)(一1111 *12 1J, J E 石 21)nn!可见，初始误差的绝对值被逐步减少了第二章插值法姓名 学号 班级习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和 埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。1已知f( 1) 2, f(1) 1, f(2) 1,求f(x)的拉氏插值多项式。(拉格朗日插值)解法一(待定系数法)：设L(x)ax2 bx c,由插值条件，有a b c 2a b c 14a2bc1解得：a

6、 1/6, b 1/2, c 4/3。1214故 L(x) x x 0623解法二(基函数法)：由插值条件，有(x 1)(x 1) 1(2 1)(2 1)(x1)(x2)2 (x1)(x2)1(11)( 12)(11)(12)3(x1)(x1 x21 12 ) -(x 1)(x 2) -(x 1)(x 1)23432已知y Vx,xo 4,x 9,用线性插值求的近似值。(拉格朗日线性插值)解：由插值节点与被插函数，可知，V0 6 2, yi J9 3,其线性插值函数为L(x)1-x5V7的近似值为s 7 6 153 2.63 若xj(j0,1，n)为互异节点,且有lj(x)(x xo)(x x

7、i)(x xj i)(x xj 1)(x xn)(xjxo)(xjxi)(xjxji)(xjxji)(xjxn)n试证明xklj(x) xk (k 0,i，n)。(拉格朗日插值基函数的性质)j 0n解：考虑辅助函数F(x)xklj(x) xk ,其中，0 k n, x (,)。j 0F(x)是次数不超过n的多项式，在节点x xi(0 i n)处，有n kk kk k kF(xJxjlj(xi) xixj(xi) xixi xi0j 0这表明，F(x)有n+i个互异实根。, n故F(x) 0,从而x：lj(x) xk对于任意的0 k n均成立。j 04 已知 sin 0.32 0.3i4567,

8、 sin 0.34 0.333487, sin 0.36 0.352274,用抛物线插值计算sin0.3367的值并估计截断误差。(拉格朗日二次插值)解：由插值条件，具抛物线插值函数为(x 0.34)(x 0.36)014567(0.32 0.34)(0.32 0.36)(x 0.32)(x 0.36) 0.333487(0.34 0.32)(0.34 0.36)(x 0.32)(x 0.34) 0.352274(0.36 0.32)(0.36 0.34)将 x 0.3367代入，计算可得：L(0.3367) 0.3304。其余项为：r(x)-si(x 0.32)(x 0.34)(x 0.36

9、) 其中，0.320.363!1r(x)| - (x 0.32)(x 0.34)(x 0.36)故误差的上界为：I 1I7r(0.3367)-(0.3367 0.32)(0.3367 0.34)(0.3367 0.36)2.14 10。65用余弦函数cosx在x0 0,用一，x2三个节点处的值，写出二42次拉格朗日插值多项式，并近似计算cos-及其绝对误差与相对误6差，且与误差余项估计值比较。(拉格朗日二次插值)(x 0)(x/4)0(/2 0)( /2/4)解：由插值条件，二次拉格朗日插值多项式为L(x)(x /4)(x/2) 1 (x 0)(x/2)1(0/4)(0/2)( /4 0)(

10、/4/2)28( x /4)(x/2)28 2x(x /2)2L(6)8( /6/4)( /6/2) 8 2 /6( /6/2)222 4 20.8508绝对误差为:cos- L3 2 9 血 4 8<2 0.0153 662918相对误差为:cos6 ”)9734 8<20.0179L(6)48&余项为:r(x)| snx(x/4)(x/2),其中，0/2其余项的上界为：|r(x)| |x(x/ 4)( x/ 2)|613r(-)-(-一 )( 一一)0.023966 6 64 6264比较可知，实际计算所得的绝对误差较余项公式所估计出的值要小一些。6 已知函数值 f (

11、0) 6, f (1) 10, f(3) 46, f (4) 82, f (6) 212 ,求函数的四阶均差f0,1,3,4,6和二阶均差f 4,1,3。(均差的计算)解：采用列表法来计算各阶均差，有xy一阶均差一阶均差三阶均差四阶均差0611043461814/34823661/362126529/311/151/15从表中可查得：f0,1,3, 4, 615Xy一阶均差一阶均差48211072/3346186故f4,1,3 6。其实，根据均差的对称性，f4,1,3 f 1,3,4 6 ,该值 在第一个表中就可以查到。Xp之值，其中p n 1 ,而7 设 fg (XX0)(XXi)(X Xn

12、)f X0,Xi节点Xi(i 0,1, n 1)互异。(均差的计算)解：由均差可以表示成为函数值的线性组合，有fXo,Xi Xpf(Xi)i 0 (xiXo)(XiXi)(XiXi i)(Xix 1) (Xi Xp i)(Xi Xp)而 f (Xi) 0 0 i p ,故 fx0,x1Xp 0 o8如下函数值表X0124f(X)19233建立不超过三次的牛顿插值多项式。（牛顿插值多项式的构造）解:先构造均差表Xf(X)一阶均差一阶均差三阶均差0119822314343-10-8-11/4a11 ，八、故 N(x) 1 8x 3x( x 1) 一x(x 1)(x 2)。49求一个次数小于等于三次

13、多项式p(x),满足如下插值条件：p(1) 2 ,p(2) 4, p (2) 3, p(3) 12。(插值多项式的构造)解法一(待定系数法)： 设p(x) ax3 bx2 cx d ,则p (x) 3ax2 2bx c,由插值条件，有a b c d 28a 4b 2cd 412a 4b c 327a 9b 3cd 12解得：a 2,b9,c 15, d 6。故 p(x) 2x3 9x2 15x 6解法二(带重节点的均差法)： 据插值条件，造差商表xy一阶差二阶差三阶差商商商122422431312852故 p(x) 2 2(x 1) (x 1)(x 2) 2(x 1)(x 2)2 2x3 9x

14、2 15x 610构造一个三次多项式H(x),使它满足条件H(0) 1, H(1) 0,H (2) 1,H (1) 1 (埃尔米特插值)。解： 设 H (x) ax3 bx2 cx d, H (x) 3ax2 2bx c利用插值条件，有d 1a b c d 08a 4b 2cd 13a 2b c 1解得：a 1,b 4, c 4,d 1。32H (x) x 4x 4x 111 设 f(x) x2,x0 1/4,x1 1,x2 9/4。(1)试求 f(x)在 1/4,9/4 上的三 次埃尔米特插值多项式H(x),使得H(xj) f(xj), j 0,1,2,H(x1)f(xj, H(x)以升哥形

15、式给出。(2)写出余项R(x) f(x) H(x)的表达式。(埃 尔米特插值及其余项的计算)。解：心 8， f(1) 1，吟 27， f (x) 2 f (1) 3设 H(x) ax3 bx2 cx d, H (x) 3ax2 2bx c1 a 64116 b27，1， max | f (x) | 一 b a x b8a2max1f (x)1 (插值余项的应用)729819a b -c d641643a 2b c解得：14,263233,1a, b, c, d。22545045025一PWr. . z 、14 3263 22331故 H (x)xxxo225450450253212919R(x

16、)面 (x ；)(x1)(x其中，12 若 f(x) c2a,b, f(a) f(b) 0,试证明:解：以f(a) f(b) 0为插值条件，作线性插值多项式，有L(x)f(a)f(b)其余项为R(X) f(X) L(X) f(X) /(x a)(x b)故 maxf(x) ：maxf(x) (1 a)(b )1(b a)2maxf13 设 f(2)1, f(0) 1, f(2) 2,求 p(x)使 p(Xi) f(Xi)(i又设| f (x)| M ,则估计余项r(x) f(x) p(x)的大小。 的估计)解：由插值条件，有(x)。0,1,2);(插值误差4a 2b c 1c 14a 2b c

17、 2a 1/8解得：b 3/4c 1从而 p(x) 1x2 - x 1 84其余项为r(x) f(x) p(x) f;p(x 2)x(x 2) 3!(2,2)r(x)M / 3 ，、 M 16 G 8d3 0(x 4x)73 M66 927第三章函数逼近姓名学号班级习题主要考察点：最小二乘法，最佳平方逼近，正交多项式的构造。1设f(x) sin x,求f (x)于0,1上的线性最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近)解:span1, x(1,1)1dx01,12) xdx02，( 2,2)dx(f,1)1sin0xdx(f,1xsin xdx0x一 cos；sin法方程组为1213a1a2解得:a

18、1a20线性最佳平方逼近多项式为:2 令 f(x) ex , 1 x 1,且设 p(x) a0a1x ,求 a。，a1使得 p(x)为 f (x)于1,1上的最佳平方逼近多项式。(最佳平方逼近)解:span1, x(i, i) dx 2, ( 1. 2) 11(f, 1)exdx e e 1 , (f,1法方程组为2 2 a1e e103a22e 13解得：a1 1(e e 1) , a22线性最佳平方逼近多项式为2Lxdx 0, ( 2, 2)x dx 一11312)xexdx 2e111e e ep(x)x233证明：切比雪夫多项式序列Tk(x) cos(k arccosx)在区间1,1上

19、带权(x) 1/出x2正交。(正交多项式的证明)11(Tl , Tk)cos(l arccosx) cos(k arccosx) dx1 1 x20 1cosQt)cos(kt)( sint)dt cos(lt)cos(kt)dt .1 cos2t01一 cos(l k)t cos(l k)tdt2。111sin(l k)t sin(l2 l kl kk)to 0112.(Tk ,Tk)cos (karccosx)dx1 .1 x212八cos (kt)( sint)dt cos t2八 、cos (kt) dt021 O 011cos(2k)t dt t sin(2k)t022k故，序列Tk

20、(x)在-1 , 1上带权(x)正交,1 x24求矛盾方程组:x1 x23x1 2x2 4的最小二乘解。(最小二乘法)x1 x22解法一：求x1与x2,使得f(x1,x2) (x1 x2 3)2 (x1 2x2 4)2 (x1 x2 2)2达到最小。于是，令2(x1x23)2(x12x24) 2(x x2 2) 0x12(x1x23)2(x12x24) 2 2(x1 x2 2)(1)0x2即：3X16x： 9,其最小二乘解为:X12.5714x20.6429解法二:Xi34 ,记作AX b,该矛盾方程组的最小二乘解，应满足1 x22以下方程组ATAX ATb,3 2 %2 6 X2解之，得x1

21、X22.57140.64295已知一组试验数据Xk2345yk4689试用直线拟合这组数据.（计算过程保留3位小数）。（最小二乘线性逼近） 解：作矩阵12412.54.513614' y8158.515.59A法方程为(ATA)X(AT y)即622a4022 90.5 b161.25解得：a 1.2288, b 1.4831。其直线拟合函数为y 1.2288 1.4831X。6用最小二乘原理求一个形如y a bx2的经验公式，使与下列数据相 拟合.Xk1925313844yk1949（最小二乘二次逼近）解：等价于对数据表2Xk36162596114441936yk1949作线性拟合。

22、其法方程组为：55327 a 271.45327 7277699 b 369321.5解得：a 0.9726, b 0.0500故经验公式为y 0.9726 0.05x2。第四章数值积分姓名 学号 班级习题主要考察点：代数精度的计算，构造插值型求积公式(梯形，辛 甫生公式)，复化求积的计算，高斯公式的构造。1给定求积公式h f(x)dx af( h) bf(0) cf(h)试确定a,b,c使它的代数 h精度尽可能高。(代数精度的应用和计算)解：分别取f(x) 1,x,x2 ,使上述数值积分公式准确成立，有;a b c 2ha( h) c(h) 022_3a( h) c(h) 2h /3解得：a

23、 3，b故求积公式为hhf(x)dx 3f( h) 43hf(0)hf(h)。再取 f(x) x3 ,左边=hx3dx 0,右边=h( h)3 劲 0 &h)3 0 h333再取 f(x) x4 ,左边=h x4dx/右边=h(h)4h3h 42h50 3(h) T此求积公式的最高代数精度为3。12求积公式 °f(x)dxA0f (0)Af(1)B0f(0),试确 7E 系数A0,A 及B0,使该求积公式具有尽可能高的代数精确度，并给出代数精确度的次数。(代数精度的应用和计算)解：分别取f(x) 1,x,x2,使求积公式准确成立，有Ao A11A1 Bo 1/2A1 1/3解

24、得：Ao 2 , A1 1, Bo - o 336求积公式为 1f(x)dx 2 f(0) 1f (1) 1f (0)。0336再取 f(x) x解：令 f (x) 1 , dx 30,左边=1x3dx1-0 11 10 右边04336故该求积公式的最高代数精度为2。3数值积分公式3f(x)dx |f(1) f(2)，是否为插值型求积公式，为什 么又该公式的代数精确度为多少(插值型求积公式特征)3331 1 3f(1) f(2)f(x) x,3xdx033-1 2 3f(1) f(2)3f (x) x2 ,x2dx 901251122 3f f(2)故代数精度为1。由于求积节点个数为2,代数精

25、度达到1次，故它 是插值型的求积公式。4如果f (x) 0,证明用梯形公式计算积分abf(x)dx所得到的结果比准 确值大，并说明其几何意义。(梯形求积)解：梯形求积公式是由过点(a, f (a) , (b, f (b)的线性插值函数L(x)f(a)f(b)在a,b上的定积分注意到：在区间a,b上，f (X)。，而(x a)(x b)。，有f ： ) (x a)(x b)dx 0bbbI T f(x)dx L(x)dx f(x) L(x)dxaaa从而I T。其几何意义可作以下解释：在区间a,b上，f (x) 0,故曲线yf(x)下凹，直线y L(x)位b于曲线之上，因此，曲边梯形的面积I f

26、(x)dx小于梯形面积abL(x)dx。积）解:nO（复化梯形求取求积节点为xi01,4)21dx1 x3 xii 0 xi仙xi)""1)1 .h2 fJ。)1 f(x1) f(x2) f(x3) 2f(x4)42 4 5 671 411710.69702 81680因21dx ln2,则误差大约为:1 x6 设 f ( 1) 1, f ( 0.5) 4, f (0) 6,、r 21计算 1f (x)dx,若有常数M使|体截断误差限。I 1解：f (x)dxIS2ln2f(0.5)f(4) |（复化辛甫生公式）0f (x)dx11f (x)dx00.69709, f(1)

27、0.0039。2,则用复化辛甫生公式M ,则估计复化辛甫生公式的整11 f ( 1) 611 464 ,1 ,6 f(0.5)6 f(0)4 6 6 4 9 21 ,4,1,1 f(0) - f(0.5) - f (1)66667 11.166760f (4) ( )3(x 1)( x 0.5)2(x 0)dx14!1f(4)()(-(x 0)(x 0.5)2(x 1)dx 04!0(x11)(x0.5)2 (x 0)dx1(x 0)(x020.5)2(x 1) dxM 1行。(x0)(x0.5)2(x1) dx0.56 0t2(0.25t2)dtM0.004260.008M7已知高斯求积公式

28、1f (x)dx1f (0.57735)f ( 0.57735)将区间0,1二等分，用复化高斯求积法求定积分1<xdx的近似值。0(高斯公式)1解：xdx01/2xdx01xdx1/21/2对于Txdx作变量换x011 1 后一 一t，有4 41/2一 xdx0tdt1对于Vxdx作变量换1xdx1/2xdx 1 1 0.57735 81/21 -3 0.57735、3 0.57735.1 0.577353 0.577353 0.57735 0.66928试确定常数A, B, C和a,使得数值积分公式22 f(x)dx Af( a) Bf (0) Cf (a)有尽可能图的代数精度。试向所

29、得的数值积分公式代数精度是多少它是否为高斯型的(代数精度的应用和计算，高斯点的特征)解：分别取f(x) 1,x,x2,x3,x4,使上述数值积分公式准确成立，有;A B C 4A( a) C(a) 02216A(a)2C(a)23A(a)3C(a)304464A(a)4C(a)45整理得：A B C 4A Ca2(A C) 136a4(A C) 64 5解得：A C ?B ?,a . 12995数值求积公式为101216f(x)dx -f(5) 6 f(0)1012”5)再取f(x) x5,左边="0,右边=2部)530也(/)5 029 599 ； 5再取 f(x) x6, 左边

30、二22x6dx爷，右边10(12)616 010( 12)67687( .5)70 7(15) 而可见，该数值求积公式的最高代数精度为5。由于该公式中的节点个数为3,其代数精度达到了 2 3 1 5次，故它是高斯型的。9设Pn(x)是0,1区间上带权(x) x的最高次哥项系数为1的正交 多项式系(1)求 P2(X)。1(2)构造如下的图斯型求积公式°xf(x)dx Aof(xo) Af(X1)。(局斯求积)解(1):采用施密特正交化方法，来构造带权 (x) x且在0, 1上正交的多项式序列取 Po(x) 1,设 P1(x) xoPo(x),且它与 Po(x)在0 , 1上带权(x)

31、x 正交，于是10 (P0,B) (x,P。)0(P0,P。)，(x. P0)(F0,P。)x2dx0213xdx022故 R(x) x - P0(x) x 一。33设 P2(x) x2FKx)°P0(x),且它与 P0(x)、R(x)在0, 1上带权(x) x正交，于是0 (Po，P2)(X2,Po)o(Po，Po),(x2,P°)(F0,P0)x3dx0 nxdx00 (Pl,P2)(x2,P1)1(儿 Pl),2(x2,P)(P,P)1x3 (x01x(x03)dxI)2dxP2 (x)x26P1(x)I12P0(x)I(x3)310解(2):P2(x)x2130的零

32、点为:X1,26 、,6o10设 Qxf (x)dx6A°f (一. 610)分别取f (x)1,x,使上述求积公式准确成立,A A11/21/3A0即A0AiAi1213.6解得:Ao自。高斯型求积公式为f(6,1xf (x)dx (4610)(14 616)f(6 . 6)10第五章非线性方程求根姓名 学号 班级习题主要考察点：二分法、迭代法、牛顿法和弦截法求根，迭代法求 根的收敛性和收敛速度的讨论。1用二分法求方程x2 X 1。的正根，要求误差小于。(二分法)解：f(x) X2 x 1 , f(0)1 0, f(2) 1 0, "*)在0, 2连续,故0, 2为函数的

33、有根区间。(1)计算f(1)10,故有根区间为1 , 2。计算f(3) (-)2 3 11 0,故有根区间为9,2。22242(3)计算f(7) (I)2 7 1 2 0,故有根区间为3,7。 444162 4计算f(里)(身)2 £ 1工0,故有根区间为W,必。 8886428(5)计算”马(国)2g1工0,故有根区间为?短。 88864282525225312513、(6)计算f()()1。，故有根区间为一,1。161616256168 计算f(51)(51)2511-5-。,故有根区间为51，13。3232321024328(8 )若取中点c10364作为取根的近似值，其误差小

34、于13 518321 0.03232取近似根X 103 1.6094,可满足精度要求。 642说明方程x2 lnx 4 0在区间1 , 2内有惟一根x*,并选用适当的迭代法求X （精确至3位有效数），并说明所用的迭代格式是收敛的。（迭代法） 解：f(x) X2 lnx 4 X 1, 2f(1)3 0, f(2) In 2 0, f (x) 2x - 2v2 0,故函数单调增加,x因此，该方程在(1,2)之间存在着惟一的实根。取迭代函数(x)4 lnx x 1,2显然 1 <3 J4 ln2 (x) J4 ln1 2 ,且/、111d(x)|-:亍 1xv4 ln xv14 ln e 弋3

35、故迭代xk1 ，4 lnxk(k 1,2,)对任意初始值x1 1,2收敛。对于初值x11.5,其迭代值分别为x2 1.8959, x3 1.8331, x4 1.8423, x51.8409由于M x50.0014 - 1013,故x5 1.8409作为近似值，已精确到了 32位有效数字。3设有解方程12 3x 2cosx 0的迭代法xn 1 4 - cosxn （1）证明 3x。R均有lim xnx* （x*为方程的根）。（2）此迭代法的收敛阶是多少，n证明你的结论。(3)取刈4用此迭代法求方程根的近似值，误差不超过10 3 ,列出各次迭代值。(和收敛性讨论)解(1) :(x) 4 -cos

36、x, | (x)-sinx -1(x(,),故该迭333代对任意初值均收敛于方程的根x*。解(2)：由 x* 4 2cosx*,故有 1°4 -x* 4 -2 -o333333(x*)2sinx* 0,故该迭代的收敛速度是1阶的。3解(3)：取x0 4,代入迭代式，可计算出以下结果：x13.5642 , x23.3920 , x33.3541 , x43.3483, xs 3.3475由于x5 x4 0.0008 10 3,取x* 3.3475可满足精度要求。4 设x (x ) , max (x)1,试证明：由 xn 1 (xn) n 0,1,得到的序列xn收敛于x。(收敛性证明)证

37、明：由x (x )知，方程x (x)有根*Xn 1 x(xn)*2*xnx xn 1 xx0由01 ,当n 时，有xn 1 x*0 ,即序列xn收敛于x5 设方程 3 3x 2sinx 0 在0,1内的根为x* ,若采用迭代公式xn 1 1 2sin xn ,试证明：x0R均有lim xnx*(x*为方程的根)；此迭3n代的收敛阶是多少，证明你的结论(迭代法和收敛性讨论)解：迭代函数(X) 1 2 sin x 3(x)2 cosx3故迭代在区间)上整体收敛。设 lim xn10万s- sin x 314y21 sin x3故(x*)2一c0sx3故该迭代的收敛速度为1阶的。6方程x 1r j

38、/ . 3 _ r r.i-t * f (1)1 0，, f () - 0,故方程在1 , 一上有根 x。 282 x2 1 0在x0 1.5附近有根，把方程写成3种不同的等价形式：(1) x 1 2，对应迭代格式：xn 1 1 2 xxn(2) x3 1 x2 ,对应迭代格式：xn 1 3；1 x2f(3) x2,对应迭代格式：xn 1 J1-x 1x xn 1讨论这些迭代格式在x0 1.5时的收敛性。若迭代收敛，试估计其收敛 速度，选一种收敛格式计算出x0 1.5附近的根到4位有效数字。(收 敛速度的计算和比较)解：f (x) x3 x2 1 , x 1 ,2吗）*(x )而（x*）396

39、40,故方程在：,3上有根*。90,5122*3x故方程在U, 3上有根x*。8 2(8)31024 1111331-4 0,故该迭代局部收敛, x对于迭代式（2）：在x 1,2上，（x）(x) 3泰在x 1,2上整体收敛,(x) 1(x)且收敛速度为(1*(x )2 1/3x ),(x)*2 x3(1 x*2)2/3且收敛速度为一阶的。1阶的2、2/33(1 x )0,故该迭代对于迭代式（3） : （x） j.在1 , 2上的值域为1,），该迭代式 不收敛。取迭代式41/x2 , x01.5进行计算，其结果如下:x11.4812, x2 1.4727, x3 1.4688, x4 1.467

40、0x5 1.4662 , x61.4659 , x7 1.4657 , x8 1.4656x8 x70.0001 - 1014 ,取x8 1.4656为近似值具有4位有效数字。2 设 f(x) (x3 a)2 写出解f(x) 0的牛顿迭代格式;(2)证明此迭代格式是线性收敛的。(牛顿迭代的构造与收敛速度)解：牛顿迭代式为Xm 5Xn 刍，6 6x2方程的根为 x* Va ,(x) -xay ,(x) -a-3,(3a)-066x63x2因(Va) - 1,故迭代局部收敛。又因(Va) 1 0,故迭代收敛22速度为1阶。8设计一个计算、的牛顿迭代法，且不用除法(其中a 0)。(牛顿 a迭代法)解

41、：考虑方程f(x)11%；a 0 , f (x)二，(x) xx.a 1/ x1/x22xax2xn 12xn- ax：,。，该迭代局部收敛。a9用牛顿法求布5的近似值，取x。10或11为初始值，计算过程保留4位小数。(牛顿迭代的构造)解：考虑方程 f(x) x2 115 0 , f (x) 2x,(x)x2 115x 2xi(x115xn1,115、1 T (Xn )2Xn取X。10为初始值,计算其迭代值如下:Xi10.7500X210.7238 X310.7238取X。11为初始值,计算其迭代值如下:Xi10.7272X210.7238X310.723810设X*是非线性方程f(x)0的m

42、重根，试证明：迭代法Xn 1 Xn mfx f (Xn)具有至少2阶的收敛速度。(收敛速度证明)解：设X*是非线性方程f(x)0的m重根,则_* mf(X) (X X ) g(X),且 g(X*)0及m 2 ,其牛顿迭代函数为f (X)(x) x m xf'(x)(X X*)mg(x)m(x x*)m1g(x) (x x*)mg (x) x*m(X x )g(X)*mg(x) (x x )g (x)牛顿迭代式Xn 1 Xn，mg(Xn) (Xn x)g(Xn)、m(Xn X )g(Xn)*.、en 1xn 1 x(Xn)*、x(XnX )，*、m(Xn x)g(Xn)*、mg(Xn)

43、(Xn X )g (Xn)/*、2(Xn X ) g (Xn)g (Xn)mg(Xn) (Xn X)g(Xn)mg(Xn) (Xn X )g (Xn)lim en31limnQ2neng (Xn)*g (X )mg(Xn) (Xn X )g (Xn) mg(X )故该迭代的收敛速度至少是2阶的。11设X*是非线性方程f(x) 0的m重根，证明：用牛顿迭代法求X*只是线性收敛。(收敛速度证明)解：设X*是非线性方程f(X) 0的m重根，则f(X) (XX*)mg(x),且g(x*) 0及m 2,其牛顿迭代函数为(X) Xf(x)f'(x)(X X*)mg(x)m(X X*)m1g(X)

44、(x X*)mg (x)，*、(X X )g(x)*、mg(x) (x x )g (x)牛顿迭代式XnXn*(Xn X )g(Xn)mg(Xn)，*、(Xn X )g (Xn)*en 1Xn 1 X(xn )g(Xn)mg(Xn) (Xn* 一X )g (X一en )lim en- lim1n en ng(Xn)*mg(Xn) (Xn X )g (Xn)*g(X )*、mg(x )故收敛速度为1阶的。12设a(x)在a附近有直到p阶的连续导数，且(a)(p1)(a)0,0,试证：迭代法Xn 1 (Xn)在a附近是P阶收敛的。(收敛速度证明)解：将(x)在a点附近作泰勒展式，有(x)(p 1)/

45、一回(x a)p1 (p 1)!(p)( )Jx a)p于是:() axa)p其中，在x与a之间。en 1Xna (Xn) a(p)()n a)P(P)()Ten"其中'n在Xn与a之间。由于lim xnnn a,从而en i11m - n elimn(p)( )(P)(a) op!p!因此，迭代的收敛速度为p第六章常微分方程数值解姓名 学号 班级习题主要考察点：欧拉方法的构造，单步法的收敛性和稳定性的讨论， 线性多步法中亚当姆斯方法的构造和讨论。1用改进的欧拉公式，求以下微分方程2xy yy x 0,1y(0) 1的数值解(取步长h 0.2),并与精确解作比较。(改进的尤拉公式的 应用)解：原方程可转化为yy y2 2x,令z 11,有生2z 2x 2 dx解此一阶线性微分方程，可得y *须1。利用以下公式2xiyp y 0.2 (yi )yi2xiyc y 0.2 (yp 4 (i 0,1,2, 3, 4)yp1 , yi 12(yp yc)求在节点xi 0.2i (I 1,2,3,4,5)处的数值解yi ,其中，初值为 x0 0 , y01 oMATLABg序如