方程思想的应用

1、方程的转化与应用蒲阳镇中学刘丽霞课程立意：数学的思想方法是数学学科的灵魂。它并非只是在解题中巧妙的解题思路或技巧，而是解决现实中实 际问题的策略。我们在日常教学中对数学方法和数学思想的渗透总是感到学生学而不透，不能学而致用。 本节课想通过的与数学相关的实际问题为载体，来培养学生对于方程思想的转化与应用。进而使数学思想 方法 “内化”在学生的思维方式之中。教学目标：知识与技能：掌握一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程组和分式方程的应用技巧。体会并理解实际问题中如何转化为方程问题。过程与思考：通过列方程解实际问题的过程中，强化方程的模型思想，培养学生解决现实问题的意识和应用能力。通过学生解决问

2、题的深入探索。培养其归纳、概括的能力。情感态度与价值观：通过积极参与数学学习活动，培养学生独立思考、积极探索、团结合作的精神。在用方程模型解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，培养应用数学的意识，提高学习数学的兴趣。重点与难点：重点：学生经历和体验利用方程模型解决实际问题的过程。难点：体会并理解实际问题中如何转化为方程问题。教学设计：教师活动学生活动设计意图课堂 引入师：大家好，今天我们共同探讨学习一堂特殊的数 学课，也同时向前来听课的老师表示热烈的欢 迎。经过初中近三年的学习各位同学已掌握许 多的数学技巧和方法，今天我就来考T大家 能否顺利地解决这些实际问题。大家有没有信 心？好，我们开始

3、！生：学生积极回应。通过教师的语言提 高学习兴趣，让学 生积极参与教师的 活动。【例一】（2007年河北省）8.我国古代的“河图”是由 3X3的方格构成，每个方格内均有数目小同的点 图，每一行、每一列以及每一条对角线上的三个点 图的点数之和均相等.生：认真思考，呈现多样 的做法，最终学生会 发现题中的等量关系 （每一行、每一列以 及每一条对角线上的本题来源于生活为兀伙力也日勺反 用，学生比较熟悉 其中的等量关系很 轻易的运用计算和教学囹4给出 “河囹”时部分占图请你推管出三个点图的点数之和 均相等）。多种方法化 归为等量关系，如果方程的方法解决该 问题。活动P处所对应的点三nI IAzi O(

4、1)图是() * * Q图4 * * 发现不到教师加以引 导。利用一一次方 程可以解决。A.B.C.D.教学 活动 （1）师：请大家参加A个活动， 看你能否解决现实生 活中的“河图”问题，如果解决请归纳一下你的解 题思路。生：探讨问题，展现多种解题思路。师：点评三种做法并给于鼓励。师：好，各位同学静下心来， 我们思考一下我们采 用三种做法最终都是在求什么？生：都是求P处的数值。师：那么这个实际问题从问题的角度来观察你归纳这是什么问题？生：求值问题。师：求值问题可以采用什么方法来解决？生：方程、计算。师：你发现这些方法之间存在什么相同点。生：方程都是依据同一个等量关系。方法之间可以 互相转化如二

5、兀口以及为一X的。方法一：计算。方法二：设：P处对应的点为X。x+1 = 2 + 5解得：x=6，选C方法三：设二e-次方程。另外在学生解答的 过程中提炼将实际 问题中涉及求值的 问题可以采用方程 进行解决。必要时 可以点拨方程建立 的条件。教学 活动 【例二】图10是,个半圆形桥洞截囿不思图 直径AB是河底线，弦 CD是水 且 CD = 24 m , OEXCD 于点 E 于点F,已测得 OE=5m.求半径（ 二A 1O图师：完成A环节，将 OE=5m2 /、变。师：真棒！进入活动三，但是老师充 请你看到题目后，给出正确的结果， 生：迅速完成。,圆心为O,立线，CD/AB, .并交于半圆AB

6、 OD;F 袅: B） 10攵为EF=8 m.结论艮进一次比赛， 开始！解：OEXCD 于点 E,CD=24, ED =-CD =12. 2在RtADOE中OD2 = ED2 +OE2J. OD2 = 52 +122 =132二 OD =13m本题设有两个环 节，学生在完成第 一环节口以通过计 算，也可以列方程。 但是完成第一环节 时会发现当条件发 生变化时，计算的 方法不能解决该问 题，必须转化为方 程进行解决。利用 勾股定理列一元二教学 活动 师：统计表扬。现在老师改变一个条件其他不变，开始比赛！师：走卜讲台巡查统计结果。感慨只改变一个条件 就发生这样大的变化，看来我们必须要找到其中的 原

7、因。面向不会的同学提问：师：请问你后答案了吗？（没有）师：在做题中你碰到什么样的困难？（没有思路、 没列出方程）师：表扬有方程思想的同学，上一活动中我们了解求值问题可以用方程的方法解决。鼓励！可是本问题应该顺利列方程来解决。（提醒方程产生的依据是等量关系）。寻求可以正确解答的同学，提炼其. OEXCD 于点 E ,CD=24.1. ED =-CD =12. 2在RtADOE中设 OD=x m OE=(x-8)mOD2 = ED2 +OE2J. x2 =122 +(x-8)2二 OD =13m次方程进行求解。想通过该设计凸现 转化为方程解决的 优势。中的等量关系。（勾股定理）师：非常棒！在这活动

8、中，条件的改变，问题/、变 的情况卜就产生这样不同的情况，这里一定有特殊之处。（把两幅图呈现出来比较-标上未知量，列出 相应的代数式。）你知道吗？生：计算解决/、了的问题，方程可以解决！师：如果学生不能指明两种情况的差异，教师可以讲解，另外体现出方程比计算优越，方程是一种解决实际问题的重要模型， 真心的希望大家可以将方 程的思想内化到心灵的深处。【例三】如图9,两根铁棒直立于桶底水平的木桶中，、，一一,，一，,、一、，1在桶中加入水后， 一根露出水面的长度是它的-,另一根露出水面的长度是它的-.两根铁棒长度2一.一 ，一5 一和为55 cm , 此时木桶中水的深度是 cm.解：设两根铁棒长怎为

9、 a cm 和 b cm。意可知：'a + b = 55<24-Ia = b135“2 230 父 一 =20cm3cl 4225 m = 20cm5答：木桶中的；20cm。解：木桶中的z)xcm。根据题总可知3 .5,x +一 x =24£分别根据题a = 30本题通过现实有趣 的数学情景，将方 程思想巧妙地蕴含 其中.此外，解法 的多样性也是本题 的一大特点，既可教学 活动 （3）师：完成本题归纳方法。要求未知量可以建立方程进行求解。提炼题目的等量关系：两根铁棒长度之和为 55 cm。 两根铁棒没入水中的长度相同。将等量关系再转化为方程。师：完成本题归纳方法。1叫P

10、图91b = 25或水深是K深为1：55以漱成兀伙力 程的模型（设水的 深度为未知数），又 可以形成二e-次 方程组的模型（设 两根木棒的长度为 未知数），还口以有 其他方法.这样使 学生单向封闭的思 路拓展成多维开放 的思路，有效地培 养了学生的创新思 维能力.解得：x=20cm答：木桶中的水深是20cm议一议谈一谈经过三个活动的探索方程的转化和应用。请你谈一谈你的心得和体会。我们接触形形色色的实际问题，我们发现在求 值的情况下，我们不能一下就求出未知量的值，我们可以探索其蕴含的等量关系（有的是隐含的等量 关系、有的是利用直角三角形的勾股定理、有的是利用平行四边形的性质、有的是利用相似的性质

11、 等）转化为方程，进而求值。学生畅谈归纳总结，提炼升 华的过程。【拓展】(2)如图 8,若 PQ/ DC,本题为2007年的如图16 ,在等 腰梯形 ABCD 中，AD / BC , AB=DC=50, AD=75, BC=135.点 P 从点 B 出发 沿折线段BA-AD-DC以每秒5个单位长的速度向又AD / BC ,则四边形PQCD为平行四边形，从中考26题运动类 型题目，题目的第 二问通过特定条件点C匀速运动；点 Q从点C出发沿线段CB方向而 PD=QC,由 QC=3t,PQ / DC.求 t 的以每秒3个单位长的速度匀速运动， 点P、BA+AP=5t值。通过化动为静Q同时开始运动，当点P与点C重合时停止运动，得 50 + 755t=3t,解得的原则形成符合题教学 活动点Q也随之停止.设点P、Q运动的时间是t秒(t >0).t=B.8经检验，当t=!25时，有8意的示意图。再将条件转化为PD=QCo进而形成含t的方程。(5)(2)当点P运动到