2026年上海市杨浦区中考数学二模试卷（含解析）

2026年上海市杨浦区中考数学二模试卷一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）1．下列实数中，无理数的是（）A． B． C． D．2．下列运算中，正确的是（）A． B． C． D．3．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（）A． B． C． D．4．下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是（）A． B． C． D．5．在平面直角坐标系中，已知点，以为圆心，为半径的圆与轴相交，与轴相离，那么可以取的值是（）A．6 B．7 C．8 D．106．如图，在△中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（）A． B． C． D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：．8．解不等式组：的解集是．9．方程的解是．10．正八边形的中心角等于度．11．已知一斜坡的坡比为，坡角为，那么．12．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为．13．九年级（1）班羽毛球小组共有4名队员，其中两名男生，两名女生．从中随机选取两人，恰好能组成一组混双搭档的概率是．14．将直线向上平移个单位长度，如果平移后的直线经过第二象限，那么的值可以是．（写出一个即可）15．如果抛物线上的点和点关于它的对称轴对称，那么点的坐标是．16．在△中，点在边上，，设，，那么可用、表示为．17．已知正方形，，分别以点、为圆心画圆，如果点在圆外，且圆与圆外切，那么圆的半径长的取值范围是．18．如图，在平行四边形中，，点是边上一点，，如果点关于直线的对称点恰好在边上，那么的长是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．20．（10分）解方程：．21．（10分）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点，连接．（1）求、两点的坐标；（2）如果，求的值．22．（10分）某学校组织数学竞赛，对、两个班级各20名学生进行了测试，对测试成绩（百分制）进行了整理分析，下面给出了部分信息．班测试成绩的频数分布直方图如图：（数据分成4组：，，，班测试成绩如下：69，69，70，70，71，73，77，78，80，81，82，82，82，82，83，83，83，86，91，96．班、班测试成绩的平均数、众数、中位数如下：平均数众数中位数班79.677班79.4根据以上信息，回答下列问题：（1）的值为，（镇“”“”或“”；（2）如果两个班级都各去掉一个最高分和一个最低分，那么下列判断正确的是；（A）两个班测试成绩的方差都增大；（B）两个班测试成绩的方差都减小；（C）班测试成绩的方差增大，班测试成绩的方差减小；（D）班测试成绩的方差减小，班测试成绩的方差增大．（3）为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，如果平均数相同，那么方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下：测试1测试2测试3测试4测试5方差甲93909293921.2乙91929292920.16丙94909094如果丙的排序居中，那么表中为整数）的值为，．23．（12分）已知：如图，是半圆的直径，是半圆上一点（不与点、重合），点是弧的中点，过点作，垂足为点，连接与交于点．（1）求证：；（2）连接并延长与弦的延长线交于点，联结．求证：四边形是矩形．24．（12分）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点是对称轴右侧的抛物线上一点，过点作垂直抛物线的对称轴，垂足为点，连接，设点的横坐标为．①求的值（用含的代数式表示）．②过点作的平行线，交抛物线于点（点在对称轴右侧），求的值．25．（14分）综合与实践【问题背景】折纸是一门将数学、艺术与工程完美结合的学科．通过折纸不仅能够创造出非常奇妙的图形，还可以发现一些有趣的数学问题，下面我们就利用一张正方形纸片来开展“折纸与数学”探究活动．【操作探究】（1）小创小组将正方形纸片（如图按照图2至图3的方式操作，那么图3中，并写出求解过程；（2）小智小组将正方形纸片（如图按照图5至图7的方式操作，折痕、与折痕的交点分别是、，经过多次操作和测量，发现线段与的比值是一个定值，请你帮助小智小组求出的值；【尝试应用】（3）如图7，设正方形的边长为1，，求的值（用含的代数式表示）．

参考答案一、选择题（共6题，每题4分，满分24分）.1．下列实数中，无理数的是（）A． B． C． D．解：是有理数，故不符合题意；是分数，是有理数，故不符合题意；是无理数，是无理数，故符合题意；是有理数，故不符合题意．故选：．2．下列运算中，正确的是（）A． B． C． D．【分析】．根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可；．根据合并同类项法则进行计算，然后判断即可；．根据同底数幂相乘法则进行计算，然后判断即可；．根据幂的乘方法则进行计算，然后判断即可．解：．，此选项的计算正确，故此选项不符合题意；．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；．，此选项的计算错误，故此选项不符合题意；故选：．3．下列一元二次方程中，有两个不相等的实数根的是（）A． B． C． D．【分析】利用一元二次方程根的判别式进行计算即可．解：由题知，因为关于的方程为，则△，所以此方程没有实数根．故选项不符合题意；因为关于的方程为，则△，所以此方程有两个相等的实数根．故选项不符合题意；因为关于的方程为，则△，所以此方程没有实数根．故选项不符合题意；因为关于的方程为，则△，所以此方程有两个不相等的实数根．故选项符合题意；故选：．4．下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是（）A． B． C． D．【分析】分别根据反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质解答即可．解：、，此函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每一象限内随的增大而增大，不符合题意；、，此函数图象的两个分支分别位于第一、三象限，且在每一象限内随的增大而减小，不符合题意；、，抛物线开口向上，在对称轴左侧随的增大而减小，不符合题意；、，函数值随自变量的值增大而增大，符合题意．故选：．5．在平面直角坐标系中，已知点，以为圆心，为半径的圆与轴相交，与轴相离，那么可以取的值是（）A．6 B．7 C．8 D．10【分析】先求出点到轴、轴的距离，再根据直线和圆的位置关系得出即可．解：点的坐标是，点到轴的距离是6，到轴的距离是8，点，以为圆心，为半径的圆与轴相交，与轴相离，的取值范围是，故选：．6．如图，在△中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（）A． B． C． D．【分析】过点作、、所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而判定平分，建立与的数量关系即可求解．解：如图，过点作交的延长线于点，交于点，交的延长线于点，平分，，，，平分，，、、共线），，，，，平分．，只要求出的度数，只需知道的度数．故选：．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．计算：．【分析】根据平方差公式求出即可．解：，故答案为：．8．解不等式组：的解集是．【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．解：解不等式得；解不等式得；不等式组的解集为，故答案为：．9．方程的解是．【分析】将原方程两边同时平方并解得的值，然后检验即可．解：原方程两边同时平方得：，解得：，经检验，是原方程的解，故答案为：．10．正八边形的中心角等于45度．【分析】根据中心角是正多边形相邻的两个半径的夹角来解答．解：正八边形的中心角等于；故答案为45．11．已知一斜坡的坡比为，坡角为，那么．【分析】坡比坡角的正切值，设竖直直角边为，水平直角边为，由勾股定理求出斜边，进而可求出的正弦值．解：如图所示：由题意，得：，设竖直直角边为，水平直角边为，则斜边，则．故答案为．12．中国邮政于2026年1月5日发行《丙午年》特种邮票共计2668万套，将数据“2668万”用科学记数法表示为．【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正整数，当原数绝对值小于1时是负整数，由此进行求解即可得到答案．解：2668万．故答案为：．13．九年级（1）班羽毛球小组共有4名队员，其中两名男生，两名女生．从中随机选取两人，恰好能组成一组混双搭档的概率是．【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可计算出从中随机选取两人，恰好能组成一组混双搭档的概率．解：树状图如下所示，，由上可得，一共有12种等可能性，其中从中随机选取两人，恰好能组成一组混双搭档的可能性有8种，从中随机选取两人，恰好能组成一组混双搭档的概率为，故答案为：．14．将直线向上平移个单位长度，如果平移后的直线经过第二象限，那么的值可以是．（写出一个即可）【分析】先根据一次函数平移规律写出平移后的直线解析式，再结合第二象限的特征，分析直线与轴交点的位置，确定的取值范围．解：直线向上平移个单位长度，根据“上加下减”的平移规律，得到新直线解析式：，一次函数的图象，当时，直线会经过第二象限，本题中，因此只需满足，即，因此只要即可，例如（答案不唯一），故答案为：．15．如果抛物线上的点和点关于它的对称轴对称，那么点的坐标是．【分析】先求出点的坐标，再根据，两点关于抛物线的对称轴对称，求出点坐标即可．解：由题知，将点代入得，，所以点坐标为．因为抛物线的对称轴为直线，则，所以点的坐标为．故答案为：．16．在△中，点在边上，，设，，那么可用、表示为．【分析】根据平面向量的三角形减法运算法则求解．解：在△中，点在边上，，，，故答案为：．17．已知正方形，，分别以点、为圆心画圆，如果点在圆外，且圆与圆外切，那么圆的半径长的取值范围是．【分析】首先根据题意求得对角线的长，设圆的半径为，根据点在圆外，得出，则，再根据圆与圆外切可得，利用不等式的性质即可求出的取值范围．解：正方形中，，，设圆的半径为，点在圆外，，，．以、为圆心的两圆外切，两圆的半径的和为，，，．故答案为：．18．如图，在平行四边形中，，点是边上一点，，如果点关于直线的对称点恰好在边上，那么的长是．【分析】过点作于点，连接，，，过点作于点，先求得，证明，设，则，，证明△△，得出，，，在△，△中，根据勾股定理求得，即可求解．解：如图，过点作于点，连接，，，过点作于点，，，，，，，，设，，四边形是平行四边形，，，，，，设，则，，点关于直线的对称点恰好在边上，，又，，设，交于点，，，，△△，，，，在△中，，在△中，，，解得，．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．（10分）计算：．【分析】用实数的运算、分数指数幂和负整数指数幂法则计算即可．解：原式．20．（10分）解方程：．【分析】去分母，把分式方程化成整式方程，解这个整式方程，检验即可；解：去分母，方程两边都乘以得：，整理得：．．经检验是原分式方程的根．原方程的解为：．21．（10分）如图，一次函数的图象与轴、轴分别交于、两点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴的平行线与该反比例函数的图象交于点，连接．（1）求、两点的坐标；（2）如果，求的值．【分析】（1）利用待定系数法求出、坐标即可；（2）作，垂足为，利用相似得到点的参数坐标，继而得到带点的参数坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征求出参数，继而可得值．解：（1）在一次函数中，当，，，当时，，；（2）如图，作，垂足为，，，△△，，设点，则，，，，即，（舍去）或，，．22．（10分）某学校组织数学竞赛，对、两个班级各20名学生进行了测试，对测试成绩（百分制）进行了整理分析，下面给出了部分信息．班测试成绩的频数分布直方图如图：（数据分成4组：，，，班测试成绩如下：69，69，70，70，71，73，77，78，80，81，82，82，82，82，83，83，83，86，91，96．班、班测试成绩的平均数、众数、中位数如下：平均数众数中位数班79.677班79.4根据以上信息，回答下列问题：（1）的值为82，（镇“”“”或“”；（2）如果两个班级都各去掉一个最高分和一个最低分，那么下列判断正确的是；（A）两个班测试成绩的方差都增大；（B）两个班测试成绩的方差都减小；（C）班测试成绩的方差增大，班测试成绩的方差减小；（D）班测试成绩的方差减小，班测试成绩的方差增大．（3）为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，如果平均数相同，那么方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下：测试1测试2测试3测试4测试5方差甲93909293921.2乙91929292920.16丙94909094如果丙的排序居中，那么表中为整数）的值为，．【分析】（1）根据众数以及中位数的定义解答即可；（2）根据方差的定义意义求解即可；（3）根据方差的定义和平均数的意义求解即可．解：（1）由题意得，乙队成绩中82出现的次数最多，故众数，甲队成绩的中位数位于“”，乙队成绩的中位数为，；故答案为：82，；（2）若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则两队成绩的方差都减小；故答案为：；（3）甲选手的平均数为：，乙选手的平均数为，丙选手的平均数为，若，无整数；则丙的平均数甲的平均数，，解得，丙成绩：94、90、90、94、92，平均数为92，，综上：，丙，故答案为：92；3.2．23．（12分）已知：如图，是半圆的直径，是半圆上一点（不与点、重合），点是弧的中点，过点作，垂足为点，连接与交于点．（1）求证：；（2）连接并延长与弦的延长线交于点，联结．求证：四边形是矩形．【分析】（1）通过推导△△，得出，根据三角形的中位线定理得出结论；（2）根据有一个角是直角且一组对边平行且相等是矩形得到证明．【解答】证明：（1）连接，，点是弧的中点，，，，是的中点，，，，，，△△，，是△的中位线，，；（2）是直径，，，，，，，，，，，，设，圆的半径为，，，，，，，，四边形是矩形．24．（12分）已知在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，顶点为点．（1）求该抛物线的表达式；（2）点是对称轴右侧的抛物线上一点，过点作垂直抛物线的对称轴，垂足为点，连接，设点的横坐标为．①求的值（用含的代数式表示）．②过点作的平行线，交抛物线于点（点在对称轴右侧），求的值．【分析】（1）将、两点代入即可得解；（2）①先求出顶点坐标和对称轴，进而