人教版八年级数学“17.1.1勾股定理”

1、人教版八年级数学（下）人教版八年级数学（下）武夷山三中数学组武夷山三中数学组baca2+b2=c220022002年在北京召开国际数学家大会年在北京召开国际数学家大会你听说过勾股定理吗？你听说过勾股定理吗？ 这个图案是我国汉代数学家这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的，赵爽在证明勾股定理时用到的，被称为被称为“赵爽弦图赵爽弦图”这就是本届大会这就是本届大会会徽的图案会徽的图案 在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦根据我国古算书勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦根据我国古算书周髀算经周髀算经记载，

2、在约公元前记载，在约公元前1100年，人们已经知道，年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，后来人们进一步发现如果勾是三，股是四，那么弦是五，后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边之间的关系：两条直角边的平方并证明了直角三角形三边之间的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方。这就是勾股定理。和等于斜边的平方。这就是勾股定理。 章前图中左下角的图案有什么意义？为什么选章前图中左下角的图案有什么意义？为什么选它作为它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会年在北京召开的国际数学家大会的会徽？徽？ 本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理，本章我们将探索并证明勾股定理及其逆定理，并运用

3、这两个定理去解决有关问题，由此可以加并运用这两个定理去解决有关问题，由此可以加深对直角三角形的认识。深对直角三角形的认识。 勾勾 股股 定定 理理读一读读一读 勾勾 股股 世世 界界 我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年我国是最早了解勾股定理的国家之一。早在三千多年前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三前，周朝数学家商高就提出，将一根直尺折成一个直角三角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即角形，如果勾等于三，股等于四，那么弦就等于五。即“勾三、股四、弦五勾三、股四、弦五”。故称之为故称之为“勾股定理勾股定理”或或“商高商高定理定理” 。图图1-11-1称为称为“

4、弦图弦图”，最早是由公元前，最早是由公元前3 3世纪我世纪我国汉代的数学家赵爽在为国汉代的数学家赵爽在为周髀算经周髀算经注解时给出的注解时给出的. . 赵赵爽利用它来证明勾股定理。在这本书中的另一处，还记载爽利用它来证明勾股定理。在这本书中的另一处，还记载了勾股定理的一般形式。了勾股定理的一般形式。弦弦股股勾勾图图1-1读一读读一读 勾勾 股股 世世 界界 19451945年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥年，人们在研究古巴比伦人遗留下的一块数学泥板时，惊讶地发现上面竟然刻有板时，惊讶地发现上面竟然刻有1515组能构成直角三角形三组能构成直角三角形三边的数，其年代远在商高之前。边的数，

5、其年代远在商高之前。 相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了相传二千多年前，希腊的毕达哥拉斯学派首先证明了勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为勾股定理，因此在国外人们通常称勾股定理为毕达哥拉斯毕达哥拉斯定理定理。 毕达哥拉斯（毕达哥拉斯（PythagorasPythagoras）是古希腊）是古希腊数学家，他是公元前五世纪的人，比商数学家，他是公元前五世纪的人，比商高晚出生五百多年。高晚出生五百多年。 相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定相传，毕达哥拉斯学派找到了勾股定理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛理的证明后，欣喜若狂，杀了一百头牛祭神，由此，又有祭神，由此，又有“百牛定理百牛定理”

6、之称。之称。 毕达哥拉斯是古希腊著名的毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相哲学家、数学家、天文学家，相传传25002500 年前，一次，毕达哥拉年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家作客在宴席上，其斯去朋友家作客在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来原来，家的方砖地而发起呆来原来，朋友家的地是用一块块直角三角朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方主人看到毕达哥非常美观大方主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去拉斯的样子非

7、常奇怪，就想过去问他谁知毕达哥拉斯突然恍然问他谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了。回家去了。 看似平淡无奇看似平淡无奇的现象有时却隐藏的现象有时却隐藏着深刻的道理。着深刻的道理。 同学们，我们也来观察同学们，我们也来观察下图地面，看看你能发现什下图地面，看看你能发现什么？是否也和大数学家有同么？是否也和大数学家有同样的发现呢？样的发现呢？ 原来古希腊著名数学原来古希腊著名数学家毕达哥拉斯从朋友家的家毕达哥拉斯从朋友家的地砖铺成的地面上发现了地砖铺成的地面上发现了: :直角三角形三边的数量关直角三角形三边的数量关系。系。ABCA、B、C的面积有

8、什么关系？的面积有什么关系？ 可以发现，以等腰三可以发现，以等腰三角形两直角边为边长的小角形两直角边为边长的小正方形的面积的和，等于正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的以斜边为边长的正方形的面积。面积。SA+SB=SC 即我们惊奇地发现，等腰即我们惊奇地发现，等腰三角形的三边之间有一种特三角形的三边之间有一种特殊的关系：殊的关系：两直边的平方和两直边的平方和等于斜边的平方。等于斜边的平方。cabABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系让我们一起再探究：等腰直角三角形三边关系A A的面积的面

9、积( (单位长单位长度度) )B B的面积的面积( (单位长单位长度度) )C C的面积的面积( (单位长单位长度度) )图图1 1图图2 29944C的面积怎么求呢？的面积怎么求呢？ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2cS正方形143 3182 分分“割割”成若干个成若干个直角边为整数的三角形。直角边为整数的三角形。（单位面积）（单位面积）C的面积怎么求呢？的面积怎么求呢？ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2cS正方形216218（单位面积）（单位面积） 把把C“补补”

10、 成边长为成边长为6的正方形面积的一半。的正方形面积的一半。C的面积怎么求呢？的面积怎么求呢？ABCABC（图中每个小方格代表一个单位面积）（图中每个小方格代表一个单位面积）图图2-1图2-2 SA+SB=SCA A的面积的面积( (单位长单位长度度) )B B的面积的面积( (单位长单位长度度) )C C的面积的面积( (单位长单位长度度) )图图2-12-19 99 91818图图2-22-2A A、B B、C C面积面积关系关系直角三直角三角形三角形三边关系边关系4 44 48 8两直角边的平方和两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方baca2+b2=c2 对于等腰直角三角形有这对

11、于等腰直角三角形有这样的性质：样的性质：那么对于一般的直角三角形那么对于一般的直角三角形是否也有这样的性质呢？是否也有这样的性质呢？两直角边的平方和等于斜边的平方两直角边的平方和等于斜边的平方思思考考ABC图图1-2ABC图图1-32 2观察右边两个图观察右边两个图并填写下表：并填写下表：A的面积的面积B的面积的面积C的面积的面积图图1-2图图1-316949C的面积怎么的面积怎么求呢？求呢？做做 一一 做做ABC图图3-1ABC图图3-2分割成若干个直角边为整数的三角形。cS正方形25144 3 12 （面积单位）（面积单位）C的面积怎么求呢？的面积怎么求呢？探究二：探究二：ABC图图1-2

12、ABC图图1-3分割成若干个直角边为整数的三角形。cS正方形C的面积怎么求呢？的面积怎么求呢？探究二：探究二：（面积单位）（面积单位）=4 23+112=13ABC图图3-1ABC图图3-2把把C“C“补补”成边长为成边长为7 7的的正方形面积减去正方形面积减去4 4个直个直角三角形的面积。角三角形的面积。cS正方形25（面积单位）（面积单位）7 -4=24321C的面积怎么求呢？的面积怎么求呢？探究二：探究二：ABC图图1-2ABC图图1-3把把C“C“补补”成边长为成边长为5 5的的正方形面积减去正方形面积减去4 4个直个直角三角形的面积。角三角形的面积。cS正方形（面积单位）（面积单位）

13、=13C的面积怎么求呢？的面积怎么求呢？探究二：探究二：5 -4=22321ABC图图1-2ABC图图1-3A的面积的面积B的面积的面积C的面积的面积图图1-2图图1-31694925133三个正方形三个正方形A，B，C面积之间有什么关系？面积之间有什么关系？SA+SB=SC即：即：两条直角边上两条直角边上的正方形面积之和的正方形面积之和等于斜边上的正方等于斜边上的正方形的面积形的面积议议 一一 议议ABCA A的面积的面积( (单位面单位面积积) )B B的面积的面积( (单位面单位面积积) )C C的面积的面积( (单位面单位面积积) )图图2 2图图3 3A A、B B、C C面积关面积

14、关系系直角三直角三角形三角形三边关系边关系图图2图图3491392534sA+sB=sC两直角边的平方和两直角边的平方和等于斜边的平方等于斜边的平方探究与猜想ABCA AB BC Ca ac cb bS Sa a+S+Sb b=S=Sc c猜想猜想:两直角边两直角边a、b与斜边与斜边c 之间的关系？之间的关系？a a2 2+b+b2 2=c=c2 2两条直角边上的正方形面两条直角边上的正方形面积之和等于斜边上的正方积之和等于斜边上的正方形的面积形的面积a a2 2+b+b2 2=c=c2 2a ac cb b 如果如果直角三角形的两直角边直角三角形的两直角边长分别是长分别是a a、b b，斜边

15、长是，斜边长是c c，那么，那么a a2 2+b+b2 2=c=c2 2。勾勾股股弦弦 命题命题1 1： 是不是所有的直角三角形都具有这样是不是所有的直角三角形都具有这样的特点呢？这就需要我们对一般的直角三的特点呢？这就需要我们对一般的直角三角形进行证明到目前为止，对这个命题角形进行证明到目前为止，对这个命题的证明方法已有几百种之多下面我们就的证明方法已有几百种之多下面我们就来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个来看一看我国数学家赵爽是怎样证明这个命题的命题的cb a依据科学理论的证实：依据科学理论的证实： 直角三角形直角三角形两直角边的平方和等于两直角边的平方和等于斜边的平方斜边的平方. .a

16、b你能用这个图试着你能用这个图试着证明勾股定理吗？证明勾股定理吗？赵爽弦图赵爽弦图 我国汉代的数学家赵爽指出：四个全等的直我国汉代的数学家赵爽指出：四个全等的直角三角形如下拼成一个中空的正方形，由大正方角三角形如下拼成一个中空的正方形，由大正方形的面积等于小正方形的面积与形的面积等于小正方形的面积与4个直角三角形个直角三角形的面积和得的面积和得： cba用赵爽弦图证明勾股定理用赵爽弦图证明勾股定理证法一：证法一：ba a2+b2=c2中黄实中黄实( (b - -a) )2 2赵爽弦图的证法赵爽弦图的证法化简得：化简得：c2cbabababacccS大正方形 S小正方形 4S直角三角形 c2(b

17、a)24 ab21=b2-2ab+a2 + 2aba2+b2=c2定理：定理：经过证明被确认为正确的命题叫做定理。经过证明被确认为正确的命题叫做定理。勾股定理：勾股定理： 如果直角三角形的两直角边长分别为如果直角三角形的两直角边长分别为 、，斜边为，那么、，斜边为，那么2+b2=c2。如图，在如图，在RtABC中，中，C= 90，则，则 2+b2=c2ABC股b勾 a弦c 读一读读一读 “赵爽弦图赵爽弦图表现了我国古代人队数学的钻表现了我国古代人队数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲，因此，这个图案被选为，因此，这个图案被选为2002年在北京

18、召开的年在北京召开的国际数学家大会的会徽。国际数学家大会的会徽。图1-1图1-2 目前世界上许多科学家正在试图寻找其它目前世界上许多科学家正在试图寻找其它星球的星球的“人人”, ,为此向宇宙发出了许多信号为此向宇宙发出了许多信号, ,如如地球上人类的语言地球上人类的语言, ,音乐音乐, ,各种图形等各种图形等. .我国数学我国数学家华罗庚建议家华罗庚建议, ,发射一种反映勾股定理的图形发射一种反映勾股定理的图形, ,如果宇宙人是如果宇宙人是“文明人文明人”, ,那么他们一定会识别那么他们一定会识别这种语言的这种语言的. . a2 + b2 = c2a2b2a2c2毕达哥拉斯证法毕达哥拉斯证法证

19、证 法法 4：cabcabcabcab (a+b)2 =a2+2ab+b2 = c2 +2aba2+b2=c2大正方形的面积可以表示为大正方形的面积可以表示为 ；也可以表示为也可以表示为(a+b)2c2 +4ab2c2 +4ab2 伽菲尔德经过反复伽菲尔德经过反复的思考与演算，终于弄的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方给出了简洁的证明方法法1876年年4月月1日，伽日，伽菲尔德在菲尔德在新英格兰教新英格兰教育日志育日志上发表了他对上发表了他对勾股定理的这一证法。勾股定理的这一证法。1881年，伽菲尔德就任年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后，美国第二十任

20、总统后，人们为了纪念他对勾股人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就称这一明了的证明，就称这一证法称为证法称为“总统总统”证法证法。茄菲尔德的证法茄菲尔德的证法bacbacccS三角形1 S三角形2 S三角形3S梯形化简得化简得:c2=a2+ b2(ab)(ab)21ab21ab21c22111欣赏欣赏美丽的勾股树美丽的勾股树abc 如果直角三角形两直角边分别为如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜，斜边为边为c，那么，那么a2 + b2 = c2勾股定理勾股定理结论变形结论变形c2=a2+b2a2=c2-b2b2=c2-a222ba c=a=22bc b

21、=22ac 练习：练习：1、求下列图中字母所表示的正方形的面积、求下列图中字母所表示的正方形的面积=625225400A22581B=144y=0范例范例. .求出下列直角三角形中未知边的长求出下列直角三角形中未知边的长度度68x5x13学以致用，做一做解：（解：（1）在）在RtABC中中,由由勾股定理得：勾股定理得：AB2=AC2+BC2X X2 2 =36+64=36+64x x2 2 =100 =100 x x2 2=6=62 2+8+82 2 x=10 x=10 x0 x0 x x2 2+5+52 2=13=132 2 x x2 2=13=132 2-5-52 2x x2 2=144=

22、144 x=12x=12（2）在在RtABC中中,由由勾股定理勾股定理:AB2+AC2=BC2x0 x0ACBACB2.2.求下列图中表示边的未知数求下列图中表示边的未知数x x、y y、z z的值的值. .8181144144x xy yz z625625576576144144169169比比一一比比看看看看谁谁算算得得快！快！课本课本P24 P24 练习练习1. 1.求下列直角三角形中未知边的长求下列直角三角形中未知边的长: :可用勾股定理建立方程可用勾股定理建立方程.方法小结方法小结:a=6a=6b bc=10c=10b=15b=15a ab=12b=12a=5a=5c cc=25c=25EDCBA (1)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三如图，所有的四边形都是正方形，所有的三