高等数学：深度思维训练讨论题16a三重积分与应用

1、品味数学（观察、发现，试探，整理，品味），提高思维讨论题181、求是柱面与平面围成的有界区域。解 2、计算解 用柱坐标3、求是球面及锥面所围成的圆锥面内的部分。解 用球坐标原式4、将分别化为直角坐标、柱面坐标、球面坐标下的三次积分。其中是球与内的公共部分，且解 联立与求简化的交线表达，解得与。在直角坐标系下，投影到面上的投影区域为于是或在柱坐标系下，于是在球坐标系下，曲面联立，得交线，上下分穿不同球面。5、求是围成的空间区域解 联立边界曲面方程得交线在平面上，该平面分区域为上下两部分，上部在轴上的投影区间为上部在轴上的投影区间为。于是6、计算是围成的空间区域解 7、计算是围成的正方形区域解 注

2、意 8、计算是围成的椭球形区域解 ，故 原式9、求双纽线所围图形的面积解 方程化为极坐标是10、求抛物柱面与椭圆抛物面所围成的空间区域的体积解 11、求锥面被抛物面所割下部分的面积解 12、平面薄片由曲线，直线围成，密度均匀即，试求该平面薄片的质量、重心坐标及它对直线的转动惯量。解 或13、已知立体由球面所围成，其上各点的密度与该点到原点的距离平方成正比，为比例系数。求此物体的重心。解 14、求质量为M的均匀圆柱体对位于点的质量为的质点的引力。解 设所受到的引力为，由对称性可知采用柱面坐标系，有故所求引力为16、求，其中为：（1）与围成的含点的部分；（2）与围成的含点的部分。解 1）与围成的含

3、点的部分，分为两部分处理，（2）与围成的含点的部分，分为两部分处理，。（注：）17、计算解 ，交换机分次序，得18、证明：证 19、设在上连续，证明：证 因为在上连续，所以存在原函数，使，于是 左边=右边20、（1）将三重积分化为关于变量的单积分；（2）将三重积分化为关于变量的单积分解 （1）交换积分次序是必须的，同二重积分一样，先根据上下限用不等式表达区域，求边界曲面的交点、交线，根据这些点线、投影区域作图，再用不等式重新表达积分区域。；（2）原式=21、用适当的方法计算下列三重积分（1），其中为曲面及围成的闭区域；解 因为区域关于坐标面对称，函数关于为奇函数，所以，故 原式=（2），其中为

4、曲面及围成的闭区域；解 用球坐标，原式（3），其中；解 用球坐标，原式（4），其中为曲面及围成的闭区域；解 采用先二后一方法，原式22、求，其中解 根据区域关于对称，被积函数为的偶函数，得23、求，其中为曲面及围成的闭区域；解 添加辅助曲面，设为球面与锥面围成的区域，为位于球面与锥面及平面之间的部分的区域。则原式24、求，其中为平面曲线绕轴旋转一周而成的旋转曲面围成的闭区域；解 旋转曲面方程为，令，则在坐标系下的区域为，故原式25、利用三重积分的换元法计算（1），其中为曲面及围成的闭区域；（2），其中为曲面及围成的闭区域解 （1）令，则在坐标系下的区域为，故原式=0（由对称性质）（2）令，则在坐标系下的区域为，故原式=26、证明：曲面上任一点处的切平面与曲面所围成的立体的体积为常数。解 设曲面上任一点为，该点处的切平面方程为，即切平面与曲面的交线的投影柱面为，所以体积为27、设是连续函数，其中，求解 从而28、计算下列各题（1）；（2）；（3）；（4）解 （1）由于直接积分困难，因此需要更换积分次序。先根据积分上下限作出积分域的图形，然后重新选择积分次序，进行积分。；（2）用极坐标；（3）要交换积分次序，；（4）转化用球坐标，29、选择适当的坐标系计算三重积分（1）为围成的第一卦限的部分区域；（2）