2022年初中数学《二次函数在面积最值问题中的应用2》精品教案

1、214二次函数的应用第1课时二次函数在面积最值问题中的应用1经历数学建模的根本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系；(重点)2会运用二次函数的性质，建立二次函数的数学模型求实际问题中的最大值或最小值(难点)一、情境导入孙大爷要围成一个矩形花圃花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成围成的花圃是如以下图的矩形ABCD.设AB边的长为x米矩形ABCD的面积为S平方米当x为何值时，S有最大值？并求出最大值二、合作探究探究点：利用二次函数求最大面积【类型一】利用二次函数求最大面积小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)

2、的变化而变化(1)求S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)当x是多少时，矩形场地面积S最大？最大面积是多少？解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数(1)矩形一边长为x，那么另一边长为，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标解：(1)根据题意，得S·xx230x.自变量x的取值范围是0x30；(2)Sx230x(x15)2225，因为a10，所以S有最大值，即当x15(米)时，S最大值是225(平方米)方法总结：二次函数与日常生活中的例子还有很多，表达了二次函数这一数学模型应用的广泛性解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量

3、间的二次函数关系【类型二】利用二次函数判断面积取值成立的条件用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米(1)求y关于x的函数关系式；(2)当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？(3)能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由解析：(1)先表示出矩形的另一边长，再利用矩形的面积公式表示出函数关系式；(2)矩形的面积，可以转化为解一元二次方程；(3)判断能否围成，其实就是利用根的判别式判断一元二次方程是否有实数根，也可用配方法判断解：(1)yx(16x)x216x(0x16)；(2)当y60时，x216x60，解得x110，

4、x26.所以当x10或6时，围成的养鸡场的面积为60平方米；(3)方法一：当y70时，x216x70，整理，得x216x700，由于256280240，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场方法二：当y70时，x216x70，整理，得x216x700，配方，得(x8)26，因此此方程无实数根，所以不能围成面积为70平方米的养鸡场方法总结：与面积有关的函数与方程问题，可通过面积公式列出函数关系式或方程【类型三】利用二次函数确定最大面积的条件现有一块矩形场地，如以下图，长为40m，宽为30m，要将这块地划分为四块分别种植：A.兰花；B.菊花；C.月季；D.牵牛花(1)求出这块场地

5、中种植B菊花的面积y与B场地的长x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；(2)当x是多少时，种植菊花的面积最大？最大面积是多少？解析：这是花草种植面积的最优化问题，先根据矩形的面积公式列出y与x之间的函数关系式，再利用配方法或公式法求得最大值解：(1)由题意知，B场地宽为(30x)m，yx(30x)x230x，自变量x的取值范围为0x30；(2)yx230x(x15)2225，当x15m时，种植菊花的面积最大，最大面积为225m2.【类型四】最大面积方案设计施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系(如以下图)(

6、1)直接写出点M及抛物线顶点P的坐标；(2)求出这条抛物线的函数关系式；(3)施工队方案在隧道门口搭建一个矩形“脚手架ABCD，使A、D点在抛物线上，B、C点在地面OM上为了筹备材料，需求出“脚手架三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少？请你帮施工队计算一下解：(1)M(12，0)，P(6，6)；(2)设这条抛物线的函数关系式为ya(x6)26，因为抛物线过O(0，0)，所以a(06)260，解得a，所以这条抛物线的函数关系式为y(x6)26，即yx22x；(3)设OBm，那么点A的坐标为(m，m22m)，所以ABDCm22m.根据抛物线的轴对称，可得OBCMm，所以BC122m，即

7、AD122m，所以lABADDCm22m122mm22mm22m12(m3)215.所以当m3，即OB3米时，三根木杆长度之和l的最大值为15米三、板书设计教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，经历将实际问题转化为函数问题，建立二次函数模型，解决实际问题本章复习【知识与技能】对本章的内容进行回忆和总结，熟练掌握数轴、相反数、绝对值、有理数等有关概念.掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算.【过程与方法】釆用讨论法、练习法、尝试指导法，反思有理数的概念和有理数的运算，培养学生应用数学知识的意识，训练和增强学生运用新知识解决实际问题的能力.【情感态度】通过本章知识的学习，渗透数形结合的

8、思想、辩证唯物主义思想，使学生学会如何归纳知识，反思自己的学习过程.【教学重点】回忆本章知识，构建知识体系.【教学难点】有理数的运算.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生回忆本章知识点，展示本章知识框图，使学生系统了解本章知识及它们之间的关系.教学时，边回忆边建立知识框图.二、释疑解惑，加深理解1.理解根本概念要注意的一些问题：1对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+号的数是正数，带“-号的数是负数.例如-a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，-a是0，当a是负数时，-a是正数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，除和与有关的数外，其他的数都是有理数.2数轴能形象地表

9、示数，所有的有理数都可用数轴上的点表示，但数轴上的点所表示的数并不都是有理数.右边的数总比左边的数大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数.故而可以用数轴来比拟数的大小.3求相反数的方法：直接在数字前加负号；如果是式子，先把整个式子括起来，再在括号前加负号；在数轴上表示互为相反数的两个数的点分别位于原点的两旁，且与原点的距离相等.0的相反数是0.4正数的绝对值是它本身；如果a0，那么a=a；一个负数的绝对值是它的相反数；如果a0，那么a=-a；0的绝对值是0，如果a=0，那么a=0.2.有理数的运算的说明：1进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法那么、运算律及运

10、算顺序.比拟复杂的混合运算，一般可先根据题中的加减运算，把算式分成几段，计算时，先从每段的乘方开始，按顺序运算，有括号先算括号里的，同时要注意灵活运用运算律简化运算.2进行有理数的混合运算时，应注意：一是要注意运算顺序，先算高一级的运算，再算低一级的运算；二是要注意观察，灵活运用运算律进行简便运算，以提高运算速度及运算能力.3.关于本章的数学方法：数形结合的思想是数学中一种常用思想方法，在有理数的混合运算中常常与数轴、绝对值的知识融合于一体，画出数轴、观察数轴，从中进行体验，有助于解决问题.三、典例精析，复习新知例1一只蜗牛从数轴上的原点出发，先向右移动2个单位，再向左移动5个单位，这时蜗牛与

11、数轴上的田螺相距1.5个单位，求田螺表示的数.【分析】先画出数轴，如以下图：蜗牛从原点O出发第一次向右移动2个单位，此时蜗牛表示的数为2，第二次向左移动5个单位，这时蜗牛表示的数为-3，又由于田螺与蜗牛相距1.5个单位，根据距离的概念和绝对值的知识，田螺在数轴上位置在点P或P1，即表示的数是-4.5或-1.5.例2假设数a在数轴上的对应点如以下图，请化简a+1和a-1.【分析】对于绝对值的化简，分析出a+1，a-1的正负是解题的关键.结合数轴很容易得出结论.观察数轴可知a的对应点在原点右侧，所以a为正数.所以a+1为正数，即a+1=a+1.因为a的对应点在0和1之间，所以a为小于1的正数.所以

12、a-10.解：因为a0，所以a+10.所以a+1=a+1.因为0a1，所以a-10.所以a-1=-a-1=1-a.例3计算：【分析】进行有理数的混合运算时，一定要准确地把握有理数的运算顺序和运算中的符号问题，恰当地运用运算律简化计算.例4下表是七年级1班第一组学生的体重.以体重50kg为标准超出局部为正，缺乏局部为负：求：1这组同学中，哪个同学的身体最重？哪个同学的身体最轻？2这组同学的平均体重是多少？【分析】1求哪个同学的身体最重，即求哪个同学的体重超出50kg的最多；2超出50kg局部的平均值与50kg的和即为这组同学的平均体重.解：1因为-6-41357所以小天同学的身体最重，小丽同学的

13、身体最轻.2这组同学的平均体重为：50+-6+(-4)+1+3+5+7÷6=50+6÷6=51(kg) 【分析】一般情况下，分数计算是先通分.此题通分计算将很繁琐，但我们观察到各个分数分母的后一个因数比前一个大1，且后一个分数的分母含有前一个分数分母的因数，每一个分母中因数之差等于分子，故可利用如下一个关系式：再把每一项拆成两项之差，然后再计算，这种方法叫做裂项法.【教学说明】这一环节是本节课重点所在，这5个例题层次递进，对本章重要知识点进行有效复习和稳固，强化学生对本章重点知识的理解与运用.四、复习训练，稳固提高1.在数轴上的点A、B位置如以下图，那么线段AB的长度为 3

14、.1的绝对值是_，绝对值是的是_，绝对值等于它本身的数是_.2绝对值小于3的整数有_个；绝对值不大于3的整数有_个，分别是_.4.粮库3天内进出库的吨数如下:“+表示进库,“-表示出库+26、-32、-15、+34、-38、-20.1经过这3天，库里的粮食是增多还是减少了.2经过这3天，仓库管理员结算发现库里还存480吨粮，那么3天前库里存粮多少吨？3如果进出的装卸费都是每吨5元，那么这3天要付多少装卸费？5.一个正方体木块粘合成如以下图形式，它们的棱长分别为1cm、2cm、4cm，要在模型外表涂油漆，如果除去局部不涂外，该油漆的本钱为5元/cm2，求模型涂漆共花费多少元钱？【教学说明】师生共

15、同回忆本章主要知识点，教师适时予以评讲，说明应用各知识点要注意的问题.对于所选例题，可根据需要适当增减.3. 257-3、-2、-1、0、1、2、34.解：(1)26+-32+-15+34+-38+-20=-45答：经过这3天，库里的粮食是减少了45吨.2480-45=525答：3天前库里存粮525吨.326+32+15+34+38+20×5=825答：这3天要付装卸费825元.5.解：大正方体的涂漆面积是:42×442-22641276cm2棱长为2cm的正方体的涂漆面积是:22×422-1216319cm2棱长为1cm的正方体涂漆面积是:12×55cm2所以，总涂漆的面积为:76195100cm2总费用为5×100500元答：模型的涂漆的总费用为500元.五、师生互动，课堂小结本堂课你能系统地回忆本章所学有关有理数的知识吗？你会用数轴来比拟数的大小吗？你能熟练地进行有理数的混合运算吗？【教学说明】教师引导学生回忆本章知识，尽可能让学生自主交流与反思