2024年全国高中数学联赛（四川预赛）试题(附答案)

2024年全国高中数学联赛（四川预赛）试题

（考试时间：2024年5月19日9:00-11:00）

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

1.设函数〃尤）=ln|x|+|x|-2的零点都在区间［a,6］（a,6eZ,”6）内,则b-a的最小值

2.已知a〉b〉l,若logab+logb。=3,则一--的最大值为__.

2（7+4

3.设aeR,若函数/（x）=ax—@—21nx在其定义域内为单调递增函数，则实数。的

x

最小值为.

4.用/（XJ）表示点X与曲线「上任意一点距离的最小值.已知。。：/+>2=1及

OQ：（X-4）2+/=4,设尸为。。上的动点，则/（尸的最大值为.

5.设A48c中，AC=2,ZABC=2ZBAC,则A48c面积的最大值为.

6.将边长为1的正方体ABCD-4月的上底面4月GD绕着其中心旋

转45。得到一个十面体（如图），则该十面体的体积为.

100

7.若T=^2"+i-31（）W,则T的末尾数字0的个数为.

左=1

8.记/={1,4,5,6},U={1,2,3,--1,25）,集合。的子集4={a”%%，的，%}，满足

|az-a7|^/（Vl<z<j<5）,则符合条件的集合幺的个数为.（用具体数字作答）

二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

9.（本题满分16分）已知/为正实数，若曲线了小©与椭圆C:］+y2=l交于/、B

两个不同的点，求证：直线N2的斜率发〈注.

2

10.（本题满分20分）设复数x,y,z满足：|x+2y+32|=l.

求+仁|2+|x2+/+z21的最小值.

11.（本题满分20分）给定正整数”22,数组（%,%，…M.）称为“好数组”是指：

卬吗，…，％均不为①%=1，且对任意的1W左W〃T,均有4+1+%）（&+1-。无一1）=0.

求“好数组”（%,%，…M.）的组数•

2024年全国高中数学联赛（四川预赛）试题

参考答案及评分标准

说明：

1、本试卷满分120,其中填空题64分，解答题56分.

2、评阅试卷时，请依据评分标准.填空题只设8分和0分两档；第9题4分一个档

次、第10题和第11题均为5分一个档次.请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不

要再增加其它中间档次.

3、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参

考本评分标准评分.

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分.

1、42、工3、14、35、,66-96、7、38、717.

43

二、解答题：本大题共3小题，满分56分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步

骤.

9、（本题满分16分）已知/为正实数，若曲线了=入、与椭圆C:]+/=l交于/、

2两个不同的点，求证：直线42的斜率左＜".

2

证明：设/（xQi）,B（x2,y2）,其中石＜%.

注意到对数不等式：若a/〉0,a#b,则1—＜生也.

]na-\nb2

2X1

-e^e+e"2

得^——<----------------------

X]-x22

2

.“_%一＞2一，（e甬—e、2）'（e*+e"）_y,+y2

再一再_%222

必+%〉2左.①4分

22

将近+）；=1和很+*=1相减，得

（X.+x2）（x.-X2）/、/、八

—--+（必+y2）（必一＞2）=0，

xi+x2=-lk{yi+y2）.②8分

2222

再将1+-=1和获+*=1相加，得土产+/+*=2.③

参考答案及评分标准（第1页，共5页）

注意到：X]W/时，由X；+X；〉2%1%2知/〉(*,

结合①、②、③，知

X；+X；22、(占+%>+了2>_4左2(%+%)2(必+%)2

乙-"rZ1十%7\1_-■1-

2124242

>4k4+2k2,……12分

2左4+左2一1<o,即Q左2一i)(左2+1)<(J,

解得k<上.……16分

2

10、（本题满分20分）设复数x,y,z满足：|x+2y+32|=l.

求IX0+|y「+目2+।+/+?2।的最小值.

113

解：一方面，x=一,y=—,z=一时，

14714

|x|2+|j|2+|z|2+|x2+/+z21=|；……5分

另一方面，下证：|12|+|「|+七2|+j2+/+222）.

由于X,%2旋转同一个角度，已知和结论不变.

因此，不妨设V+V+zZ为实数.

设％=玉+助，y=x2+iy2,z=x3+iy3,其中玉广2，%3，%，%，/，

则条件变为：(%1+2%2+3%3)2+(乂+2%+3%)2=1,且为弘+%2%+%3%=°•①

待证式变为：333-3方卜论亍1331

即2max{£x；,£K}2亍.

k=lk=lk=[k=l/k=\k=l'

331

因此，只需证明：max{£x；，Z黄}>—.②……10分

k=\k=[14

331

（反证法）假设结论不成立，即max{2工；,£»；}<一，

k=\.k=l14

3[3]

从而5>;<工，y^<—,

£14h14

在空间直角坐标系中，设。（0,0,0）,A（xl,x2,x3）,8（%,%,乃）,尸（1,2,3）,

参考答案及评分标准（第2页，共5页）

___31___31

则

k=\I"k=\I"

由西必+x2y2+x3y3=°知OA_LOB，

记P在面OAB上的投影为P',则|0尸'区|OP|=J值，

222

(%1+2X2+3X3)=(OP-OA)=(OP'-OA)=\0P'^-\0A^0

<(V14)2•—•cos26=cos20,...15分

14

这里。为向量方与声的夹角.

类似可知，(%+2%+3%)2<COS2(9O0-0)=sin26,

*,•(X]+2%2+3X3)2+(必+2%+3%)2<cos?0+sin?9=1,

2

这与(M+2X2+3X3)+(乂+2y2+3%)2=1,矛盾！

331

所以，假设不成立，即有成立.

左=ik=114

综上所述，|刘2+|,2+仁|2+/2+/+22]的最小值为……20分

注：猜出答案g,并指出一组取到最小值的XJ,2,可以给5分.

11、（本题满分20分）给定正整数〃22,数组（%,%，…M.）称为“好数组”是指:

均不为0,%=1,且对任意的1W左W〃一1,均有（为+1+%）（久+]-%-1）=0.

求“好数组”…,4）的组数.

解：引理L对任意正整数左，若为＞0时，则为W左，且为和左同奇偶；若为＜0

时，则cik＞—k+1,且%.和左不同奇偶.

引理1的证明：对左进行归纳.

当左=1时，由q=l知结论成立；

当左=2时，注意到2=2或者%=一L从而结论也成立.

假设结论对左（左＞2）时成立，下面考虑4+1：

情形1：若为＞0.由归纳假设知，ak＜k,且外和左同奇偶，于是该和4+1不同奇

参考答案及评分标准（第3页，共5页）

偶.由ak+l=ak+\或者ak+1——ak,知0<ak+l<k+\,且和左+1同奇偶；或者

0＞。无+]＞—k=—(k+1)+1,且为+]和左+1不同奇偶.

情形2：若为＜0.由归纳假设知，ak＞-k+l,且%和左不同奇偶，于是该和上+1

同奇偶.由%+1=久+1或者%；+i=—%,知02a无+]22—左21—(左+1),且和女+1不同

奇偶；或者0＜久+1W左一1(上+1,且%和k+1同奇偶.

因此，结论对4+1也成立.

由归纳原理知，对任意的正整数左，结论均成立.

引理1得证.……5分

记为％,。2,…，4中a”=左的数组的个数，注意ke[l-n,»].

约定与。=O(1W/W〃)，由题可知%+球

(注意由引理1可知〃是偶数时X”,l=0,〃是奇数时X",_]=0,所以上式对左=1成

立.)

引理2：对任意的正整数〃22,有

x”,i=C：「C3,①这里左=0,1,2,…,[9

H—2

且x“,~+2i=C3-C3,②这里左=0,1,2,-、[丁],注意这里的1一〃+2左＜0.

补充定义C：=0.注意①蕴含着％丘,。=0,这和题意一致.

引理2的证明：对〃(“22)进行归纳，

当〃=2时，

对①：左=0或1,注意到：X2,2=1=C：—c「，X2,o=O=C；—C：；

对②：k=0,注意到：X2T=1=C：—C1.从而〃=2时，结论①、②成立.

当〃=3时，

对①：左=0或1,注意到：色3=1=《一C],x3J=l=C*-C®；

对②：k=0,注意到：色_2=1=《—C].从而〃=3时，结论①、②成立.

假设结论①、②对〃(“23)时成立，考察”+1的情形：

对于①，分情况讨论：对任意左=0,1,2,…,[三一],

(1-1)左=0.易知x"+"=1=C：“+I)T-,此时结论①成立.

参考答案及评分标准(第4页，共5页)

(1-2)对任意k=1,2,…,[(，注意此时左—le{0,1,2,…,[2?]},

“〃+2左=Xn,n-2k+Xn^-n+2(k-l)=(%-图)+©1-%)

(c3+c]；)—(c3+c：1)=c—CL

(1-3)k=[-^-]>[1],此时〃=2左—1,X“+I“+T=X2AO=O=C：-C『成立・

所以结论①对任意左=0,1,2,…，[下一]成立.……10分

Z7—1

对于②，分情况讨论：对任意左=0,1,2广、[;一],

(1T)若左=0.易知X"+-=1=C篇)—C—)_“,此时结论①成立.

勿—1勿—2

(1-2)对任意人=1,2,…,[;一],注意此时左—lw{0,1,2,

“〃+1,1—(〃+1)+2左=%〃,1一〃+2(左一1)+Xn,n-2k=(c3y；)+(C〃_ic〃_j

=&；+%）-；）=c：-c：

i/j—i

所以结论②对任意k=0,1,2,成立.

由归纳原理知，对任意的正整数〃22,结论①、②都成立.

引理2得证.……15分

回到原题：注意到：所求的组数为S“='