刚体角动量守恒

1、例、设有一均匀圆盘，质量为例、设有一均匀圆盘，质量为m m，半径为，半径为R R，可绕过盘心，可绕过盘心的光滑竖直轴在水平面上转动，圆盘与桌面间的滑动摩的光滑竖直轴在水平面上转动，圆盘与桌面间的滑动摩擦系数为擦系数为 。若用外力推动，使其具有角速试为。若用外力推动，使其具有角速试为 0 0，撤，撤去外力，求：去外力，求：此圆盘还能转动多少时间？此圆盘还能转动多少时间？rdrZ+解：规定轴的正向解：规定轴的正向Zdf分割成许多细圆环分割成许多细圆环rdrdsdm2drrggrdmdM22gRmMgRm32JM221/32mRgRmdrrgMR202Rg34t0/0tgR430M四、转动惯量的计算

2、四、转动惯量的计算对质量连续分布的刚体则应无限分割对质量连续分布的刚体则应无限分割niiinrmJ12limMdmr2注意注意：dm为质元质量，为质元质量，r为质元到转轴之间为质元到转轴之间的垂直距离。的垂直距离。imri例例2 求质量为求质量为m,长为长为L的均匀细棒对下面转轴的转动的均匀细棒对下面转轴的转动惯量：惯量：转轴通过棒的中心转轴通过棒的中心o并与棒垂直并与棒垂直转轴通过棒的一端转轴通过棒的一端B并与棒垂直并与棒垂直OBXdxxdm解解:以棒中心为原点建立坐标以棒中心为原点建立坐标OX,将棒分割将棒分割 成许多质元成许多质元dmdxdmLm/（线密度）（线密度）dmrJo22312

3、112mLLdmx22022LdxxdrrdmrJLB02223313mLLBr例例3 半径为半径为R的质量均匀分布的细圆环，质量为的质量均匀分布的细圆环，质量为m，试，试求通过环心并与环面垂直的转轴的转动惯量。求通过环心并与环面垂直的转轴的转动惯量。R解：细圆环解：细圆环dldmRJ22mR解解:薄圆盘薄圆盘rdrds2drrdmrdJ322rdrdsdm2R例例4 半径为半径为R的质量均匀分布的薄圆盘，质量为的质量均匀分布的薄圆盘，质量为m，试求通过盘心并与盘面垂直的转轴的转动惯量试求通过盘心并与盘面垂直的转轴的转动惯量。2Rm面密度面密度drrdJJRm302424R221mRRrdrm

4、讨论：决定转动惯量的讨论：决定转动惯量的因素因素OB3）：）：刚体转轴的位置。刚体转轴的位置。 （如例（如例1中长细棒对不中长细棒对不 同的轴的转动惯量）同的轴的转动惯量）1）：刚体的质量；）：刚体的质量；2）：）：刚体的质量分布；刚体的质量分布； （如例（如例2中的圆中的圆 环环 与圆盘的不同）；与圆盘的不同）；竿子长些还是短些较安全？竿子长些还是短些较安全？ 飞轮的质量为什么飞轮的质量为什么大都分布于外轮缘？大都分布于外轮缘？一）定轴转动的角动量定理积分形式一）定轴转动的角动量定理积分形式3-4 定轴转动的角动量定理、角动量守恒定轴转动的角动量定理、角动量守恒Theorem of Angu

5、lar Momentum. Law of Conservation of Angular Momentum1 刚体定轴转动的角动量刚体定轴转动的角动量OirimiviiiiiiirmrmL)(2vJL ) 1 (JddtMZ设设 时间内，刚体角时间内，刚体角速度由速度由21tt 21（1）式两边积分：）式两边积分：)2(1221JJtdMttZ （2）式称定轴转动的角量定理积分形式式称定轴转动的角量定理积分形式定轴转动的刚体对轴的角动量的增量等于对同一转轴合力定轴转动的刚体对轴的角动量的增量等于对同一转轴合力矩的冲量矩的冲量dtdJJMZ2.定轴转动的角动量定理积分形式定轴转动的角动量定理积分

6、形式二）定轴转动的角动量守恒二）定轴转动的角动量守恒若：若：定轴转动的角动量守恒定理：定轴转动的角动量守恒定理：若定轴转动的刚体所受对转轴的合外力矩若定轴转动的刚体所受对转轴的合外力矩恒为零，则刚体对该轴的角动量保持不变。恒为零，则刚体对该轴的角动量保持不变。) 0(ZMcJ0zM21JJ则则:1 1）角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对非刚）角动量守恒定理不仅对刚体成立而且对非刚体也成立。体也成立。一般有三种情况：一般有三种情况：A A：J J不变，不变， 也不变，保持匀速转动。也不变，保持匀速转动。B B：J J发生变化，但发生变化，但J J 不变，则不变，则 要发生改要发生改变。变。FFC

7、 C：开始不旋转的物体，当其一开始不旋转的物体，当其一部分旋转时，必引起另一部分部分旋转时，必引起另一部分朝另一反方向旋转。朝另一反方向旋转。D:D:实际中的一些现象实际中的一些现象、芭蕾舞演员的高难动作芭蕾舞演员的高难动作艺术美、人体美、物理美相互结合艺术美、人体美、物理美相互结合四四季季 星云具有盘形结构：星云具有盘形结构： pc 秒差距，秒差距，1pc = 3.086 1016m旋旋转转的的星星云云时间间隔时间间隔 ：1s脉冲星的精确周期性信号脉冲星的精确周期性信号周期约周期约1.19 s 脉冲星脉冲星星体不被惯性离心力甩散，必须满足条件：星体不被惯性离心力甩散，必须满足条件：)34(3

8、22 RMRRGM , G 432 如此推算，脉冲星的如此推算，脉冲星的 超过了白矮星密度。超过了白矮星密度。这说明，脉冲星是高速旋转的中子星。这说明，脉冲星是高速旋转的中子星。 被被 中中 香香 炉炉滑冰运动员的旋转滑冰运动员的旋转猫的下落（猫的下落（A）猫的下落（猫的下落（B）例例）质量为）质量为M M、半径为、半径为R R的转台，可绕通过中心的转台，可绕通过中心的竖直轴转动。质量为的竖直轴转动。质量为m m的人站在边沿上，人和转的人站在边沿上，人和转台原来都静止。如果人沿台台原来都静止。如果人沿台边缘奔跑一周边缘奔跑一周，求对，求对地而言，人和转台各转动了多少角度？地而言，人和转台各转动

9、了多少角度？已知已知：0,RmM求求：台人,解解：以：以M。m为研究对象为研究对象 0外力矩M故角动量守恒故角动量守恒以地面为参照，建立轴以地面为参照，建立轴的正方向如图：的正方向如图：+MXm) 1 (0台台人人JJ02122台人MRmR)2(2台人mMttdtmMdt002台人因人和台原来都静止故因人和台原来都静止故角动量角动量台人,（2）式）式dt积分：积分：+MXm若人和转台的角速度分别为若人和转台的角速度分别为人台ttdtmMdt002台人) 3(2台人mM)4(2 台人mMm4台mMM2人+MX人台mAAm人台子弹射入之前子弹射入之前子弹射入之后子弹射入之后MmvMM+mgNOM+

10、NOmg已知已知：vmlM,求求：?解解：例题例题2 2）一木杆长）一木杆长 可绕光滑端轴可绕光滑端轴O O旋转。设旋转。设这时有一质量为这时有一质量为m m的子弹以水平速度的子弹以水平速度 射入杆射入杆端并箝端并箝 入杆内，求杆偏转的角速度。入杆内，求杆偏转的角速度。vl射入前后的过程射入前后的过程角角 动动 量量 守守 恒！恒！在此过程中在此过程中N和和mg的力矩的冲量矩可视为零的力矩的冲量矩可视为零m1ZL2ZL动量动量是否是否守恒守恒mlvL 1)31(222mlMlJL系统在子弹射入之后的角动量系统在子弹射入之后的角动量：系统在子弹射入之前的角动量系统在子弹射入之前的角动量：) 1

11、()31(lmMmv)31(22mlMlmlv依角动量守恒定理：依角动量守恒定理：子弹射入之前子弹射入之前mvMM+O1ZL以以M、m为研究对象，建立轴的正方向。为研究对象，建立轴的正方向。子弹射入之后子弹射入之后O2ZL22)(31lmMJL 例例3 质量很小长度为质量很小长度为l 的均匀细杆的均匀细杆,可绕过其中心可绕过其中心 O并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动并与纸面垂直的轴在竖直平面内转动.当细杆静止于水平当细杆静止于水平位置时位置时, 有一只小虫以速率有一只小虫以速率 垂直落在距点垂直落在距点O为 l/4 处处, 并并背离点背离点O 向细杆的端点向细杆的端点A 爬行爬行.设小虫与细杆

12、的质量均为设小虫与细杆的质量均为m.问问:欲使细杆以恒定的角速度转动欲使细杆以恒定的角速度转动, 小虫应以多大速率小虫应以多大速率向细杆端点爬行向细杆端点爬行?0v220)4(1214lmmllmvl0712 v 解解 小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞小虫与细杆的碰撞视为完全非弹性碰撞，碰撞前后系统角动量守恒前后系统角动量守恒l0712 v由角动量定理由角动量定理tJtJtLMddd)(dddtrmrmrmltmgrdd2)121(ddcos22即即考虑到考虑到t旋进：旋进： 旋进旋进（进动，（进动，precession）如玩具陀螺的运动：如玩具陀螺的运动：轴转动的现象。轴转动的现象。

13、高速旋转的物体，其自转轴绕另一个高速旋转的物体，其自转轴绕另一个进动进动 回转效应产生附加力矩：回转效应产生附加力矩： 轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。左转左转dLMM dt =dL附加力附加力附加力附加力轴承轴承 附加力可能附加力可能造成轴承的损造成轴承的损坏，附加力矩坏，附加力矩也可能造成翻也可能造成翻船事故。船事故。M左转弯的力矩左转弯的力矩 三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。L 地球转轴的旋进，岁差地球转轴的旋进，岁差 随着地球自转轴随着地球自转轴的旋进，北天极方的旋进，北天极方向不断改变。向不断改变。北极星

14、北极星3000年前年前 小熊座小熊座 现在现在 小熊座小熊座 12000年后年后 天琴座天琴座 （织女）（织女）T = 25800年年 C1C2F1F2太阳太阳赤道平面赤道平面黄道平面黄道平面7223o 地球地球北北天天极极地轴地轴L地球自转角动量地球自转角动量（F1F2 ） M地球自转轴旋进地球自转轴旋进地轴地轴旋进旋进旋进周期旋进周期25800年年 秋分点秋分点春分点春分点西西分点每年在黄分点每年在黄道上道上西移西移50.2 太阳年（回归年）：太阳年（回归年）：太阳由春分太阳由春分秋分秋分春分春分恒星年（时间长）：恒星年（时间长）： 地球绕太阳一周的时间地球绕太阳一周的时间岁差岁差（precession）岁差岁差 = 恒星年恒星年 太阳年太阳年 = 20分分23秒秒北半球北半球南半球南半球