2010-2019高考数学真题分类汇编第21讲不等式的综合应用

1、 专题七不等式 第二十一讲不等式的综合应用 2019 年 yn0, x+2/ =，则（x + 1皆皆+ + 的最小值 Jxy 2010-2018 年 一、选择题 1. （2018 北京）设集合 A 二（ x, y） | x - y 1,ax y 4, x - ay 2,则 A .对任意实数a , （2,1 A B 对任意实数a , （2,1pA 3 C.当且仅当a : 0时，（2,1） y A D .当且仅当a 时，（2,1），A x|+2,xc1, 2. （2017天津）已知函数f（x） = |- + a | x+,x 1. 2 L. x 在R上恒成立，则a的取值范围是 A. -2,2 B.

2、 -2.,3,2 C. -22一3 D. -23,2、,3 3 . （ 2015北京）设:an /是等差数列.下列结论中正确的是 A.若 a a2 0 ,则 a2 a3 0 B.若 a a3 ： 0，则 a1 a2 ： 0 C.若 0 a a,，则 a?玄他 D .若玄勺：0，贝U a? 1 -a 0 4. （2015 陕西）设 f （x） =1 n x , 0 ： a ： b，若 p 二 f （、ab） , q = f （旦 b）, 2 1 r （f（a） f（b），则下列关系式中正确的是 2 A. q=r：p B. q=r p C. p=r：q D. p = r q 5. （2014重庆）

3、若 log4（3a 4b）log2 ab,则a b的最小值是 1. （ 2019 天津理 13 ）设 X 0, 2 2 A. 6 2.3 B. 7 2,3 C. 6 4 .一 3 6. （2013福建）若2x 2y -1,则x y的取值范围是 A. 0,2 B. -2,0 C . -2, ：） D . （-：，-2 7. （2013山东）设正实数 x, y,z满足x2-3xy 4y2-z=：0.则当 翌 取得最大值时, z 2 1 2 的最大值为 x y z 9 A . 0 B . 1 C . D . 3 4 2 2 Z r . & （2013山东）设正实数 x, y, z满足x -

4、3xy 4y -z二0 ,则当 取得最大值时, xy x - 2y -z的最大值为 9 9 A . 0 B . C .2 D . 8 4 9. （ 2012 浙江） 若正数 x, y满足x 3y = 5xy , 则 3x 4y 的最小值是 24 28 A . B C . 5 D .6 5 5 10 . （2012浙江）若正数x,y满足x 3y =5xy，则3x 4y的最小值是 24 28 A . B . C . 5 D . 6 5 5 11 . （2012陕西）小王从甲地到乙地的时速分别为 a和b （ acb）,其全程的平均时速为 v , 则 A . a ： v ： 、 ab B . v =

5、. ab C . . ab v0）, h与函数y=|log2X的 2m +1 图像从左至右相交于点 AB , l2与函数y= log2x的图像从左至右相交于 C,D .记线 段AC和BD在x轴上的投影长度分别为 a,b，当m变化时，b的最小值为 a A . 16,2 B . 8.2 C . 83 4 D . 43 4 13 . （2011陕西）设0 ： a ： b，则下列不等式中正确的是 A . a ： b ： ab ： ab B . a ： ab ： - : bD. 74.3 C. a ： ab : b ： a_b 2 （2011上海）若a,bR，且ab 0，则下列不等式中，恒成立的是 A.

6、 a2 b2 2ab B. a b 亠 2. ab C.- a 填空题 （2018 天津）已知 a,b R，且 a -3b 6 = 0，则 2a （2018浙江）已知R，函数f（x）二X2_4，X x 4x + 3,xc 丸 2 2 （2017北京）已知xAO, y0，且x + y=1，则x +y的取值范围是 _ （2017江苏）某公司一年购买某种货物 600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年 的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费之和最小， 则x的值是 _ . 4 （2017浙江）已知a R，函数f（x） =|x a| a在区间1, 4上的最大值是5,则 x a的取值范围是

7、 _ . 2 2 2 （2014浙江）已知实数 a,b,c满足a b 0 , a b c =1，则a的最大值是 2 2 （2014辽宁）对于c 0，当非零实数a, b满足4a - 2ab b -c =0，且使| 2a b | 1 2 4 最大时， 的最小值为 _ . a b c （2014辽宁）对于c 0 ,当非零实数a , b满足4a2 -2ab 4b2 - c = 0 ,且使| 2a b | 345 最大时， 的最小值为 _ a b c （2014湖北）某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某路段车流量 F （单位时间内 经过测量点的车辆数，单位：辆 /小时）与车流速度v （假设车辆以相同

8、速度 v行驶，单 位：米/秒）、平均车长I （单位：米）的值有关，其公式为 F = 2 76000v . v +18v + 20l 14. 、 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 4的最小值为 8b ,当，=2时，不等式f（x） ： 0 的解集是 .若函数f （x）恰有2个零点，则的取值范围是 （2017 天津）若 a, b R , ab 0，则 a4 4b4 1 ab 的最小值为 2 2 （I）如果不限定车型，1=6.05，则最大车流量为 _ 辆/小时； （n）如果限定车型，I =5，则最大车流量比（i）中的最大车流量增加 _辆/小时. 25. （

9、2013天津）设a + b = 2， b0，则当a = 时， 色1取得最小值 2|a| b a 26. （2013四川）已知函数 f （x） =4x + （x0,a 0）在x=3时取得最小值，则 a=_. x 27. （2011浙江）若实数x, y满足x2+y2+xy=1，则x + y的最大值是 _ . 2 1 1 2 28. _ （2011湖南） 设x, y R，则（x 2）（ 2 4y ）的最小值为 _ . y x 29. （2010安徽） 若a 0,b 0,a，b=2，则下列不等式对一切满足条件的 a,b恒成立的 是 _ （写出所有正确命题的编号 ）. ab _1; .亍.b _ . 2

10、 ； a2 b2 _ 2 ； 3 3 1 1 a b _3 ； 2 a b 专题七不等式 第二十一讲不等式的综合应用 答案部分 2019 年 1.1.解析 x 0, y 0, x，2y=5, f X = 2 x =3 1 ， 且 x +2y =5 时，即 或 3时，等号成立） 厂2 xy =3 x 1 2y 1 2xy x 2y 1 、xy 2xLU巫 xy 2.矽.2 2 xy 丄=4、3 （当且仅当 Jxy Y Jxy 2刃二一6时，即 Jxy 由基本不等式, 1. D【解析】点(2,1)在直线x - y =1上，ax y = 4表示过定点(0,4),斜率为-a的直线, （x+1My+1

11、）的最小值为 Jxy 2010-2018 年 1 当a=0时，xay =2表示过定点(2,0)，斜率为一的直线，不等式 xay w 2表示 a 的区域包含原点，不等式 ax y 4表示的区域不包含原点.直线 ax y = 4与直线 x-ay=2互相垂直，显然当直线ax y=4的斜率a 0时，不等式a y 4表示 的区域不包含点(2,1)，故排除A ;点(2,1)与点(0,4)连线的斜率为 3 3 当-a ，即a 时，ax y 4表示的区域包含点 (2,1)，此时x-ay：2表示 3 3 的区域也包含点(2,1)，故排除B；当直线ax y = 4的斜率-a ，即a 时， 2 2 ax y 4表示

12、的区域不包含点(2,1)，故排除C,故选D. (2a 亠 1 j 4 3 3 解法二 若(2,1/ A ,贝V ,解得a ,所以当且仅当a 时， 2-a|- a |恒成立，当 a w 0时，需满足-a w 2 ,即- 2 w a w 0 ,当a 0时，需满足a w 2 ,所以 -2 w a w 2 . 解法二 由题意x = 0时，f(x)的最小值2，所以不等式f(x) |- - a|等价于 2 x |x a| a1a3，所以C 2 2 正确. a + b 4. B【解析】 0 a ab，又 f (x) = In x在(0,+?)上单调递增， 故 f ( .ab) P， T r = =1( f

13、(a) + f (b) = 1(ln a + ln b) = In . ab = f (、ab) = p , p : =r 7 4 3 . a b xy 所以xy= 2 2 - z x -3xy 4y1 2 x 4 3 x 4y -3 y x =1，当且仅当x = 4y , y x 即x=2y时取等号此时z = 2y2 , ()max=1. 丄 2丄_2厶1厶1_丄）沁空 y x y 2y 2y y xy %2=1, 故选B. C【解析】由 x2 -3xy 4y2 _ z = 0 得 x2 4 y2 _ 3xy = z , =xL/_3_2L_3=4xy_3=1 , xy xy xy xy (

14、3x 4y) ( ) ( ) 2：环36 5 5 y x 5 y x 5 5 52 m 1 2 2 2 a 2 11. 12. 3)(丄 13 5 y x 5 y x A【解析】设从甲地到乙地所走路程为 2 2ab 1 1 一 +- a b a b 2ab X 2a2 a b 2a a : b,： v 二 a , a ： v ： 、ab .选 A. 则v 垄- S S a b 2ab 2、ab B【解析】在同一坐标系中作出 如下图, 8 2m 1， )2 .36 旦 5. 5 5 5 二.ab . y = m，y = 2i(m )， 2m +1 X1 8 21 由 log? x = m，得 8

15、 得 X3 =2时,X4 =2 8 依题意得a = 222mLfr ,b = _m - 2m + 2 2 b a J1 y = log2 x 图像 8 2m 1- = 2m2 =2 m丄 2m 1 2 4 1 1 1 b 3-，. (-)min =8.2 . 因为 a2 -（、ab）2 =a（a -b） ： 0，所以 a ： -、ab，同理由 b2-( ab)2 = b(b-a) 0得.ab ： b ；作差法： 0, 所以宁小，综上可得专小；故选B.13. B【解】（方法一） 已知 a ：b和-孙乎，比较a 与不， m - = m 2m +1 (方法二)取 a =2 , b = 8 , a ：

16、 ：； b a b , 则.ab 4, 5，所以 a ： . ab b . 2 2 14. D【解析】对于 A取a =b =1，此时a3 4 b2 = 2a 2，因此A不正确；对于 B取 a =b - -1，此时 a b 二 -2 ： 2ab =2，因此 B 不正确；对于 C 取a =b - -1 , 2： 2 =2，因此C不正确；对于 D,v ab 0 , Vab 所以 2a 土=23心占 2.严 lb =2 2 J , 8 2 12 4 1 当且仅当23b“二頁，即b =1时等号成立. 16. (1,4) ； (1,3U(4,：)【解析】若 =2，则当 x 2 时，令 x-4：0,得 2

17、x ： 4 ; 当 x : 2 时，令 x24x 3 ： 0 ,得 1 ： x ： 2 .综上可知 1 ： x ： 4 ,所以不等式 f (x) ： 0 的解集为(1,4).令x - 4 = 0，解得x = 4 ；令x2 -4x 3 =0，解得x = 1或x = 3.因 为函数f (x)恰有2个零点，结合函数的图象(图略)可知 1 b a =2, D 正确. a b a =2a -x 一彳 2a V x 4 = 2a -4 , x M x 9 所以f （x）的最大值2a - 4 =5，即a （舍去） 2 f (x) =x 3 -a x 4 5，此时命题成立. x x 当 4 : a : 5 时

18、，f (x)max = max| 4 -a | a,| 5 -a | a，则 |4-a| a|5-a| a亠|4-a| a ：|5-a| a i 或 ， |4 -a | a =5 |5 -a | a = 5 c2 =2 b2 c2，又 a2 b2 c2 =1，所以 3a2 4ab 4 , ab ab ab 19. 20. 当且仅当a2二2b2, 30【解析】总费用为 x =30时等号成立. （一：,9【解析】 2 且ab冷，即 a 时取等旦 2 号. 4x 型 6“(x x X 1,4, 型）_4 2俪=240，当且仅当，即 x x x 4 4,5 x 21. 综上可得，实数 9 a的取值范围是（T. 6【解析】由 3 a b c = 0 得，a = b -c，贝U a2 = (b -c)2 = b2 c2 2bc 因为荷 b2 “b b 5 时，f (x) = a -x x 当a 4时, b2 c2 b2 22. 代入式得 3 4 所以3 -4 a b 24. c，当2a * b取得最大值时， 5 当且仅当c 时等号成立. 2 1900 100【解析】(I) F 76000 / 76000 “ 2. F =11 4|a| .4|a| b 4|a| 4 4 当且仅当一回，a ： 0 ,即a = 2,b =4时取等号 4|a | b 故二 回取得最小