第四章 假设检验(1)

1、第四章第四章 假设检验假设检验4.1关于总体未知分布或对已知分布总体中未知关于总体未知分布或对已知分布总体中未知参数的假设称为参数的假设称为统计假设，简称假设统计假设，简称假设；对样本进行考察，从而决定假设是否成立的对样本进行考察，从而决定假设是否成立的方法称为方法称为假设检验，简称检验假设检验，简称检验； 生产流水线上罐装可生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱乐不断地封装，然后装箱外运外运. 怎么知道这批罐装怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？可乐的容量是否合格呢？例例1:罐装可乐的标准容量是罐装可乐的标准容量是250毫升毫升通常的办法是每隔一段时间进行抽样检查通常的办法是每隔一段时间

2、进行抽样检查.例例2(医疗领域医疗领域)为了检验某种新疗法是否比传统为了检验某种新疗法是否比传统疗法更有效，对疗法更有效，对40名患者进行实验。把病人分名患者进行实验。把病人分成两组，每组成两组，每组20人，第一组采用新疗法，第二人，第一组采用新疗法，第二组采用传统疗法。从治疗结果表中，我们能否组采用传统疗法。从治疗结果表中，我们能否认为新疗法比传统疗法更有效？即第一组的康认为新疗法比传统疗法更有效？即第一组的康复人数比第二组多的原因是因为新疗法效果更复人数比第二组多的原因是因为新疗法效果更好，还是由随机因素引起的？好，还是由随机因素引起的？疗法疗法康复康复未康复未康复新疗法新疗法128传统疗

3、法传统疗法911例例3 从某校从某校2013年年550名应届毕业生的高考成绩名应届毕业生的高考成绩中随机抽取了中随机抽取了50个，问能否根据这个，问能否根据这50个成绩判个成绩判断该校在断该校在2013年高考成绩服从正态分布？年高考成绩服从正态分布？ 例例4 从福州市和厦门市从福州市和厦门市2013年售出的房屋中各年售出的房屋中各随机抽取随机抽取200套，根据每套的单价（元套，根据每套的单价（元/平方平方米），米），能否判断这两个城市在能否判断这两个城市在2013年的房价持年的房价持平？平？ 以上实际例子的解决都需要我们根据问以上实际例子的解决都需要我们根据问题本身提出假设，然后根据样本的信息

4、对假题本身提出假设，然后根据样本的信息对假设进行检验，最后作出设进行检验，最后作出“是是”与与“否否”的判的判断。断。 检验是否为真的假设称为检验是否为真的假设称为原假设原假设/零假设零假设,用用 H0表示表示 与与H0对立的假设称为对立的假设称为备择假设，备择假设，用用 H1表示表示定义：定义：原假设是关于总体参数的，则称之为原假设是关于总体参数的，则称之为参数参数假设假设;检验参数假设的问题，称为检验参数假设的问题，称为参数检验参数检验；原假设是关于总体分布类型的，则称之为原假设是关于总体分布类型的，则称之为分布假设分布假设；检验分布假设的问题，称之为检验分布假设的问题，称之为分布检验分布

5、检验,或称为或称为非参数检验非参数检验.假设检验的类型假设检验的类型假设检验的基本原理假设检验的基本原理提出提出H0在在H0成立时成立时构造构造统计量统计量W和和小概率事小概率事件件A进行进行1次试验或抽样次试验或抽样若若A发生发生拒绝拒绝H0 若若A没发生没发生接受接受H0“小概率事件小概率事件”原理：原理：概率很小的事件在一次概率很小的事件在一次试验中几乎不可能发生。试验中几乎不可能发生。基本思想：基本思想：为了描述一个小概率事件，需预先指定一个为了描述一个小概率事件，需预先指定一个很小的数很小的数 ，一般地，一般地， 取取=0.05或或0.01，并，并把把称为检验的称为检验的显著性水平显

6、著性水平。对于指定的显著性水平对于指定的显著性水平 ，在一定的统计思，在一定的统计思想下，构造一个区域想下，构造一个区域w （一般是一个区间或（一般是一个区间或两个区间的并集），使得如果由样本观测值两个区间的并集），使得如果由样本观测值计算出统计量计算出统计量W的值落在的值落在w内，则意味着小内，则意味着小概率事件概率事件A发生了。称发生了。称w为为检验拒绝域检验拒绝域。假设检验中的两类错误假设检验中的两类错误以真为假以真为假(弃真弃真)以假为真以假为真(取伪取伪)|(00为真拒绝HHP)|(00为假接受HHPH0为真为真决定决定拒绝拒绝H0接受接受H0H0不真不真第一类错误第一类错误正确正确

7、正确正确第二类错误第二类错误小概率事件不管多小都可能发生，再加上小概率事件不管多小都可能发生，再加上样本的随机性，它们可能会影响检验结果。样本的随机性，它们可能会影响检验结果。实际情况实际情况同时减少犯两类错误的概率的唯一办同时减少犯两类错误的概率的唯一办法是增大样本容量。法是增大样本容量。假设检验的一般步骤假设检验的一般步骤(1) 根据实际问题需要根据实际问题需要,提出提出H0与与H1 ; (2) 选择统计量选择统计量W,要求在要求在H0为真时为真时, W的的 分布已知分布已知;(3) 选取显著性水平选取显著性水平,查表确定对应查表确定对应 的临界值，从而得到检验的临界值，从而得到检验拒绝域

8、拒绝域w;(4) 利用样本观测值代入利用样本观测值代入W,计算出计算出W的值；的值；(5) 若若W落在拒绝域内落在拒绝域内,得出得出拒绝拒绝H0的结论；的结论； 若若W落在拒绝域外落在拒绝域外,得出得出接受接受H0的结论。的结论。4.2设总体设总体 X ，),(2 N关于总体参数关于总体参数2,讨论讨论4种假设检验：种假设检验：1. 方差已知，关于期望的假设检验方差已知，关于期望的假设检验2. 方差未知，关于期望的假设检验方差未知，关于期望的假设检验3. 期望已知，关于方差的假设检验期望已知，关于方差的假设检验4. 期望未知，关于方差的假设检验期望未知，关于方差的假设检验方差已知，关于期望的假

9、设检验方差已知，关于期望的假设检验3.4.由样本值计算出由样本值计算出U的值的值得拒绝域是得拒绝域是0100:HH),(),(2/2/uu5.若若U落在拒绝域内落在拒绝域内,则则拒绝拒绝H0；否则；否则 接受接受H0。|2/0unXP1.提出假设：提出假设：) 1 , 0(/0NnXU2.检验统计量检验统计量双侧检验：双侧检验：例例1 可乐容量总体可乐容量总体 (单位单位:毫升毫升),现现在抽取了在抽取了4罐，其容量分别为罐，其容量分别为248,246,252,242，问问封装封装系统是否正常工作？系统是否正常工作？ (取显著性水平取显著性水平=0.05 )01:250;:250HH查表得查表

10、得解：解：96. 1025. 0u由于由于96. 1025. 0uUU落在拒绝域内落在拒绝域内,应应拒绝拒绝H0；即认为系统不正常。；即认为系统不正常。00. 24/3250247/0nXU)3,250(2NX左侧检验：左侧检验：右侧检验：右侧检验：0100:HH0100:HH拒绝域为拒绝域为拒绝域为拒绝域为),(u),(u例例2 据统计资料，我国健康成年男子每分钟脉据统计资料，我国健康成年男子每分钟脉搏次数服从正态分布搏次数服从正态分布 ，现从某体院，现从某体院男生中随机抽取了男生中随机抽取了25人，测定他们的每分钟脉人，测定他们的每分钟脉搏次数后，计算出样本均值为搏次数后，计算出样本均值为

11、68.6，假定该体院，假定该体院男生的脉搏次数服从正态分布，且标准差不变。男生的脉搏次数服从正态分布，且标准差不变。问能否认为问能否认为该体院男生的平均脉搏次数明显低该体院男生的平均脉搏次数明显低于一般健康成年男子于一般健康成年男子？ (取显著性水平取显著性水平=0.05 )4 . 6,72(2N解：解：656. 225/4 . 6726 .68/0nXU查表得查表得64. 105. 0u由于由于 ，应，应拒绝拒绝64. 105. 0 uU即可以认为该体院男生的平均脉搏次数明显低即可以认为该体院男生的平均脉搏次数明显低于一般健康成年男子。于一般健康成年男子。0H72:72:10HH例例3 长期

12、统计资料表明，某市轻工产品月产值长期统计资料表明，某市轻工产品月产值占工业产品月总产值的百分比服从方差为占工业产品月总产值的百分比服从方差为1.21的正态分布。以下是随机抽查的正态分布。以下是随机抽查9个月份的数据个月份的数据（%）：）： 30.3 30.1 30.5 29.6 31.6 30.0 31.8 31.0 28.8能否认为过去该市轻工产品月产值占工业产品能否认为过去该市轻工产品月产值占工业产品月总产值的百分比平均大于月总产值的百分比平均大于30%？（取显著性？（取显著性水平水平=0.05 ）解：解：09. 19/1 . 1304 .30/0nXU查表得查表得64. 105. 0u由

13、于由于 ，应，应接受接受05. 0uU 即不能认为过去该市轻工产品月产值占工业即不能认为过去该市轻工产品月产值占工业产品月总产值的百分比平均大于产品月总产值的百分比平均大于30% 。0H30:30:10HH05. 0, 1 . 1, 4 .30, 9Xn方差未知，关于期望的假设检验方差未知，关于期望的假设检验3.4.由样本值计算出由样本值计算出T的值的值得拒绝域是得拒绝域是1.提出假设：提出假设：0100:HH),1()1(,(2/2/ntnt5.若若T落在拒绝域内落在拒绝域内,则则拒绝拒绝H0；否则；否则 接受接受H0。) 1(/0ntnSXT2.检验统计量检验统计量)1(|2/0ntnSX

14、P双侧检验：双侧检验：例例4 用传统工艺加工的某种水果罐头中，每瓶用传统工艺加工的某种水果罐头中，每瓶的平均维生素的平均维生素C的含量为的含量为19(mg).现改变了加工现改变了加工工艺，抽查了工艺，抽查了16瓶，测得维瓶，测得维C含量的平均值为含量的平均值为20.8，样本标准差为，样本标准差为1.617.假定水果罐头中维假定水果罐头中维C含量服从正态分布。问使用新工艺后维含量服从正态分布。问使用新工艺后维C的含的含量是否有显著变化（显著水平量是否有显著变化（显著水平=0.05 ）？）？19:19:10HH05. 0,617. 1, 8 .20,16SXn4527. 416/617. 1198

15、 .20/0nSXT解解:1315. 2)15(025. 0t，)15(025. 0tT 即认为使用新工艺后维即认为使用新工艺后维C的含量有显著变化的含量有显著变化.另外考虑含量是否显著增大另外考虑含量是否显著增大, 如何检验？如何检验？查表得查表得由于由于 应拒绝应拒绝 0H左侧检验：左侧检验：右侧检验：右侧检验：0100:HH0100:HH拒绝域为拒绝域为),1(nt拒绝域为拒绝域为)1(,(nt例例5 为考察某大学男教师的胆固醇水平，随机为考察某大学男教师的胆固醇水平，随机抽取了抽取了16名男教师，测定他们的胆固醇后，计名男教师，测定他们的胆固醇后，计算出样本均值为算出样本均值为4.8，

16、样本标准差为，样本标准差为0.4。假定该。假定该校男教师的胆固醇水平服从正态分布，是否可校男教师的胆固醇水平服从正态分布，是否可以认为该校男教师的平均胆固醇水平明显低于以认为该校男教师的平均胆固醇水平明显低于5个单位？（取显著性水平个单位？（取显著性水平=0.01 ）5:5:10HH01. 0, 4 . 0, 8 . 4,16SXn0 . 216/4 . 058 . 4/0nSXT解解:6025. 2)15(01. 0t，)15(01. 0tT即不能认为该校男教师的平均胆固醇水平明即不能认为该校男教师的平均胆固醇水平明显低于显低于5个单位个单位.查表得查表得由于由于 应接受应接受 0H例例6

17、从某单位一年的发票存根中，随机抽取了从某单位一年的发票存根中，随机抽取了25张，分别记录下它们的金额（单位：元），张，分别记录下它们的金额（单位：元），计算出样本均值为计算出样本均值为81.5，样本标准差为，样本标准差为4.2。假。假定该单位一年内的发票金额服从正态分布，能定该单位一年内的发票金额服从正态分布，能否认为这一年内发票平均金额大于否认为这一年内发票平均金额大于80元？（取元？（取显著性水平显著性水平=0.05 ）80:80:10HH05. 0, 2 . 4, 5 .80,25SXn7857. 125/2 . 4805 .81/0nSXT解解:7109. 1)24(05. 0t，)2

18、4(05. 0tT 即可以认为这一年内发票平均金额大于即可以认为这一年内发票平均金额大于80元元.查表得查表得由于由于 应拒绝应拒绝 0H期望已知，关于方差的假设检验期望已知，关于方差的假设检验3.4.由样本值计算出由样本值计算出 的值的值得拒绝域是得拒绝域是1.提出假设：提出假设：5.若若 落在拒绝域内落在拒绝域内,则则拒绝拒绝H0；否则；否则接受接受H0。2.检验统计量检验统计量20212020:,:HH1)()(22/222/1nnP),()(, 0(22/22/1nn22)()(1212202nXnii双侧检验：双侧检验：左侧检验：左侧检验：右侧检验：右侧检验：拒绝域为拒绝域为拒绝域为

19、拒绝域为20212020:,:HH20212020:,:HH),(2n)(, 0(21n例例7 设维尼纶纤度在正常生产条件下服从正态分设维尼纶纤度在正常生产条件下服从正态分布布N(1.405, 0.0482),某日抽取某日抽取5根纤维，测得其纤根纤维，测得其纤度为：度为：1.32 1.36 1.55 1.44 1.40问：某天生产的维尼纶纤度的方差是否正常问：某天生产的维尼纶纤度的方差是否正常?（取显著性水平（取显著性水平 =0.05)解解:221220048. 0:,048. 0:HH05. 0,405. 1, 5n67.130315. 0048. 01)(1212202niiX0315.

20、0)(12niiX由于由于833.1267.132所以拒绝所以拒绝 , 即认为这一天生产的维尼即认为这一天生产的维尼纶纤度的方差不正常纶纤度的方差不正常.0H831. 0)5(,833.12)5(2975. 02025. 0查表得查表得期望未知，关于方差的假设检验期望未知，关于方差的假设检验3.4.由样本值计算出由样本值计算出 的值的值得拒绝域是得拒绝域是1.提出假设：提出假设：5.若若 落在拒绝域内落在拒绝域内,则则拒绝拒绝H0；否则；否则接受接受H0。2.检验统计量检验统计量20212020:,:HH1)1() 1(22/222/1nnP),1()1(, 0(22/22/1nn22) 1(

21、) 1(22022nSn双侧检验：双侧检验：左侧检验：左侧检验：右侧检验：右侧检验：拒绝域为拒绝域为拒绝域为拒绝域为20212020:,:HH20212020:,:HH),1(2n)1(, 0(21n例例8 某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量某炼铁厂在生产正常的情况下，铁水含碳量服从正态分布，其方差为服从正态分布，其方差为0.03。在某段时间抽测。在某段时间抽测了了10炉铁水，算得铁水含碳量的样本方差为炉铁水，算得铁水含碳量的样本方差为0.0375.问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常问这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差有无显著差异？情况下的方差有无显著差异？(显著水平显著水平

22、=0.05 )03. 0:,03. 0:2120HH解解:05. 0,0375. 0,102Sn25.1103. 00375. 09) 1(2022Sn由于由于023.1925.11700. 22所以接受所以接受 , 即认为这段时间生产的铁即认为这段时间生产的铁水含碳量方差与正常情况下的方差无显水含碳量方差与正常情况下的方差无显著差异著差异.0H700. 2)9(,023.19)9(2975. 02025. 0查表得查表得4.32102221:. 1H已知，检验假设和总体方差2102221:. 2H未知，检验假设总体方差2221021:. 4H未知，检验假设和总体期望，设),(),(22221

23、1NYNXYX和分别是这两个样本的分别是这两个样本的且且X与与Y独立独立,X1,X2,1nX是取自是取自X的样本的样本,取自取自Y的样本的样本,分别是这两个样本的样本方差。分别是这两个样本的样本方差。均值均值,2221SS 和Y1,Y2,2nY是是样本样本2102221:. 3H未知，检验假设总体方差2221021:. 5H已知，检验假设和总体期望为简单起见，本节仅介绍双侧检验，为简单起见，本节仅介绍双侧检验，相应的单侧检验方法与一个正态总体相应的单侧检验方法与一个正态总体参数的假设检验情形完全类似。参数的假设检验情形完全类似。 2102221:H已知，检验假设和总体方差 3.4.由样本值计算

24、出由样本值计算出U的值的值得拒绝域是得拒绝域是1.提出假设：提出假设：),(),(2/2/uu5.若若U落在拒绝域内落在拒绝域内,则则拒绝拒绝H0；否则；否则接受接受H0。211210:HH) 1 , 0(222121NnnYXU2.检验统计量检验统计量|2/uUP例例1 从甲乙两厂生产的钢丝总体从甲乙两厂生产的钢丝总体X、Y中各取中各取50束作拉力强度试验，得束作拉力强度试验，得,1282,1208YX已知已知 分析两厂钢丝的平均抗拉分析两厂钢丝的平均抗拉强度是否有显著差别？强度是否有显著差别？ （注：（注：X,Y服从正态分服从正态分布，显著性水平布，显著性水平 =0.05 ）.94,802

25、1解解:4. 将统计量将统计量U的值，与临界值比较：的值，与临界值比较：5.下结论下结论:拒绝拒绝3.根据给定的显著性水平，查表得根据给定的显著性水平，查表得96. 1025. 0u 1.提出假设：提出假设：211210:HH2.计算出计算出23. 4509450801282120822222121nnYXU96. 1U210:H即认为两厂钢丝的抗拉强度有显著差别。即认为两厂钢丝的抗拉强度有显著差别。2102221:H未知，检验假设总体方差 3.4.由样本值计算出由样本值计算出T的值的值得拒绝域是得拒绝域是1.提出假设：提出假设：5.若若T落在拒绝域内落在拒绝域内,则则拒绝拒绝H0；否则；否则

26、 接受接受H0。2.检验统计量检验统计量211210:HH)2(2) 1() 1(21212121222211nntnnnnnnSnSnYXT),2()2(,(212/212/nntnnt)2(|212/nntTP例例2 某烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取样某烟厂生产两种香烟，独立地随机抽取样本容量相同的烟叶标本测其尼古丁含量，分别本容量相同的烟叶标本测其尼古丁含量，分别测得：测得：甲：甲：25, 28, 23, 26, 29, 22乙：乙：28, 23, 30, 25, 21, 27假定尼古丁含量都服从正态分布且假定尼古丁含量都服从正态分布且具有公共方具有公共方差差，在显著性水平，在显著性水

27、平=0.05 下，推断两种香烟的下，推断两种香烟的尼古丁含量有无显著差异？尼古丁含量有无显著差异？解：解：05. 0, 6, 621nn06.11,67.25,50. 7,50.252221SYSX0967. 02) 1() 1(212121222211nnnnnnSnSnYXT211210:HH2281. 2)10(025. 0t查表得，H，tT0025. 0)10(应接受由于即认为两种香烟的尼古丁含量无显著差异即认为两种香烟的尼古丁含量无显著差异. 2102221:H未知，检验假设总体方差)30,30(21nn3.4.由样本值计算出由样本值计算出U的值的值得拒绝域是得拒绝域是1.提出假设：提出假设：5.若若U落在拒绝域内落在拒绝域内,则则拒绝拒绝H0；否则；否则接受接受H0。211210:HH) 1 , 0(222121NnSnSYXU2.检验统计量检验统计量|2/uUP),(),(2/2/uu例例3 艾滋病治疗的目的是要有效地降低血液中艾滋病治疗的目的是要有效地降低血液中HIV的浓度（的浓度（nmol/L）。某医疗机构用甲、乙两）。某医疗机构用甲、乙两种疗法分别对种疗法分别对200和和150名艾滋病病人进行一个疗名艾滋病病人进行一个疗程的治疗后，测定这些病人血液中程的治疗后，测定这些病人血液中HI