8-Stability-in-the-Frequency-Domain2014频域稳定性汇总

1、第八章 频域稳定性 Stability in the Frequency DomainFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳2目录 8.1 引言 8.2 S平面上的围线映射 8.3 Nyquist稳定性判据 8.4 相对稳定性与Nyquist判据 8.5 利用频域方法确定系统的时域性能指标 8.6 系统带宽 8.7 包含延迟环节的控制系统的稳定性 8.8 设计实例：遥控侦察车 8.9 频域中的PID控制器 8.10 利用MATLAB分析频域稳定性 8.11 循序渐进设计示例：磁盘驱动读取系统 9.12 小结Fundamen

2、tals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳3提要 术语: 增益裕度 相位裕度 带宽 Nyquist 稳定性判据 Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳48.1 引言 第5章给出了系统稳定性的概念，介绍了几种判定绝对稳定性和估计相对稳定性的方法。 第6章又用根轨迹法讨论了系统的相对稳定性。 这两种方法都是基于复变量s=+j的复频域分析方法。 本章则要在实频率域中来研究系统的稳定性和相对稳定性。 Fundamentals for Control Engineering 控制工

3、程基础2021-12-9张秦艳58.2 s平面上的围线映射 围线映射围线映射(Contour map)：一：一个平面上的围线(闭合曲线)通过关系函数F(s)映射到另一个平面上。 闭环特征方程式 MkkniipszsKsF11)()()()(1)(sLsF)(/ )()(sDsNsLMkkniipszsKsDsNsLsF11)()()()(1)(1)()()()()()()()(sRsFPsRsPsRsTsYkkkkFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳6Cauchy 定理 如果闭合曲线 以顺时针方向为正方向，在s平面上包围

4、了F(s)的Z个零点和P个极点，但不经过任何一个零点和极点，那么，对应的映射曲线 也以顺时针方向为正向，且在F(s)平面上包围原点NZ P周。 clockwise and eyes right sFFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳71)F(s) = 2s + 1 u + jv = F(s) = 2s + 1 = (2 + 1 ) + j2 根据 Cauchy定理: Z=1 , P=0 So : N = Z P =1 Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-

5、9张秦艳82) Z=1 , P=0 N = Z P =1 222(2)2( )22(2)sjjF ssj Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳93)F(s) = s/ (s +1/2) 根据 Cauchy定理： Z=1 , P=1 所以 : N = Z P =0 Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳104) Z=1,P=0 因此 N=Z P=1)()()(2121pspszszssFpzF PZN222Fundamentals for Contro

6、l Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳115) N=3 1=+2 N=Z P= 1 Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳128.3 Nyquist稳定性判据 特征方程 N=Z-P. 如果 Z=0，它意味着 S 围线不包含F(s)的任何零点。0)()()(1)(11MkkniipszsKsLsF闭环特征方程的根 开环传递函数的极点Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳13 如果 S 围线包含s平面整个右半平面，并且 Z=0,

7、它意味着闭环系统的特征方程没有s右半平面的根(闭环系统是稳定的)。 因此,如果 Z=0, 它意味着F(s)平面的围线 F顺时针包含F(s)平面原点 N = P周。Z=0N = P N = P F(s) 1= L(s) Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳14 换句话说, F(s)平面围线 F 逆时针包围 F(s)平面原点 N = P周。 F(s) = 1 + L(s) F(s) = F(s) 1= L(s) 开环传函 如果 Z=0, L(s)平面围线 L 逆时针包围L(s)平面(-1,j0)点 N = P 周。Funda

8、mentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳15Nyquist 稳定性判据 一个闭环反馈控制系统稳定(Z=0)的充要条件是： L(s)在s平面上的围线 L 逆时针包围 ( 1, j0) 点的周数等于 L(s) 在s右半平面极点的个数 (N = P)。 当开环传递函数L(s)在s右平面内没有极点时，闭环反馈控制系统稳定的充要条件是：L（s）平面上的映射围线L不包围(-1,0)点。 Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳161 =1,2 =1/10, K =100 P =

9、 0,N=Z=0 当K0时，闭环系统总是稳定的。 例 9.1 有两个实极点的系统 ) 1)(1()(21ssKsGHFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳17例9.2 在原点处有1个极点的系统) 1()(ssKsGHFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳18两个一般性结论 1.当 和 时，它们对应的频率特性函数为共轭复变函数，而它们在GH（s）平面上的Nyquist映像曲线则关于实轴对称。利用这个结论，在考察系统稳定性在考察系统稳定性时，我们只需画出与

10、时，我们只需画出与 对应的映像曲对应的映像曲线。线。(注意，当s平面原点为GH(s)的极点时,应绕过原点）. 2.当 且 时,GH(s)的幅值通常趋于0或其他常数。00 0jres r Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳19例9.3 有三个极点的系统) 1)(1()(21sssKsGH212221222221422214222122122121)1 (1 ()()(1)1)(/1 ()() 1)(1()(KjKKjjjKjGHFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021

11、-12-9张秦艳20当 或时，系统是稳定的。 0)(1)1)(/1 (2221422212212Kv21/12121212221212121/1222142221221)()()(1)(112KKKu12121k2121KFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳21 考虑 l = 2 =1时, 那么 2) 1()()(ssKsHsGFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳22例9.6 在s右半平面有1个零点的系统当 K=1由乃氏判据：当开环传递函数L(s)

12、在s右平面内没有极点时，闭环反馈控制系统稳定的充要条件是：L（s）平面上的映射围线L不包围(-1,0)点。 所以0 时 , N=1， P =0，NP , 系统是不稳定的。 2) 1()2()(ssKsGHFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳23另一种 Nyquist 稳定判据 反馈系统稳定的充要条件 当 从0 变化到+时，开环传递函数 L(s) 在右半平面的每个极点使1+L(j )的相角增量 是180度。 当 从0 变化到+时，开环传递函数 L(s) 在原点处的每一个极点使1+L(j )的相角增量 是90度。 180)(

13、1argjL90)(1argjLFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳2490)90(0)(1argjL0)(1arg,jL当90)(1arg, 0jL当)(1jL)(jL1) 1)(1()(21sssKsGHFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳258.4 相对稳定性与 Nyquist判据 增益裕度（Gain margin）: 使系统达到临界稳定所需的系统增益的放大倍数，此时，GH( j)的相角为 180，Nyquist曲线将经过 1 + j 0 点

14、。 相角裕度（Phase margin）: GH( j)平面上的 Nyquist映射曲线绕原点旋转到使它的单位幅值点与 1 + j0点重合，导致系统变为临界稳定时所需的相角移动量。gKpmFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳26 在例9.3中,令 v=0 增益裕度为 : 增益裕度也可以用对数形式表示为 相角裕度为 :21/1gdKjGHKgg1)(1121212)(log20)(1log20dBdjGHKgg111)(2221KjGHccpm1800)(1)1)(/1 (2221422212212KvFundamenta

15、ls for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳27 在例9.3中, 乃氏曲线与 u axis相交在 令 得 当1 = 2 = 1, K= K2 = 0.5 1) 增益裕度为 或20 log 4 = 12 dB 2) 相角裕度为1u2121/ )(K1) 1(5 . 011)(22221KjGH424. 0c44424. 0tan2901801801cpm41)(1121212dKjGHKgg1/121g2121KuFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳28Nyquist图,Bod

16、e图和对数幅相图对比Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳29相对稳定性) 1)(1()(21jjjKjGH21) 1(5 . 0)(jjjGH) 12 . 0)(1(5 . 0)(2jjjjGHKg=12dB=44Kg=20dB=60Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳30阻尼比与相角裕度的关系 在图9.1中欠阻尼系统的开环传递函数为)2()(2nnsssGH)2()(2nnjjjGH1)4(2/12222nccn2214222) 14(nc212

17、2141212214112) 14(12tan2) 14(21tan90)2(tan90180oncpmFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳31由图5.8可得P.O.=22% 系统的开环传函 ) 12 . 0)(1(1)(jjjjGH43. 001. 0pm 43pmFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳328.5 利用频域方法确定系统的时域性能指标 闭环频率响应: 闭环传递函数闭环传递函数T( j) 的频率响应。 闭环系统的瞬态响应可由闭环频率响应

18、来估计（利用与阻尼比的关系）。 Nichols图（Nichols chart） 描述开环和闭环频率响应关系的曲线图。描述开环和闭环频率响应关系的曲线图。Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳33 在(u, v)平面上方程圆心半径为 |M/(1 M2). 当 0.707 G(j) = u + jv )(1)()()()(jGHjGjTjRjY12)12()(rpTMm2222222)1 ()1 (MuMvMuM22222222222211112MMMMMMMuMvu22222211MMvMMu21222122)1()(1)(

19、1)(vuvujvujvujGjGM0122vMMuFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳340.2=0.8时，B=1.6c Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳35 其中 N = tan = 常数 方程圆心为u = 0.5 ， v = +(1/2N)。 半径 1/2l + (1/N2)1/2 022Nvuvu222114121)5 . 0(NNvuFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-

20、9张秦艳36例9.7 利用Nichols图估计相对稳定性 20 log Mp = +2.5 dBr = 0.8. Closed-loop(0.8) = -72 B = 1.33 Closed-loop（1.33） = -142 ) 12 . 0)(1(1)(jjjjGFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳37例9.8 3阶系统1)(, 5 . 0 1)(64. 0)(2jHjjjjGloopopen1)(jG 30pm30. 001. 0,pmloopclosed12)12()(rpTMm175. 0?20 log Mp

21、= 9 dB or MP = 2.8. Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳38原因：原因：G( j)频率特性曲线从0 dB 线迅速滑向了 180等N曲线。0)826. 0225. 0)(77. 0()(2ssssq= 0.124, 其中共轭复根不是闭环系统的主导极点， s= - 0.77 不能被忽略。is902. 01125. 0,77. 0?通常，当由相角裕度估计出的阻尼系数比较小时，或只将MP 等指标用于控制系统初始分析与设计时，这种方法还是足够准确和安全的。30. 001. 0pm12)12()(rpTMm175

22、. 0ppppMMMM22242Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳39Nichols 图用于设计 4.9-2.2dBK = 0.64/antilog(2.2/20)=0.5 1)(64. 0)(2jjjjGloopopen30. 0设计要求12)12(mpMMP 1.75(4.9 dB) Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳408.6 系统带宽 闭环控制系统的带宽是重要的系统参数，它度量了系统具有一定信号复现能力的频率变化范围。 对低频段增益为0

23、 dB的系统，其带宽定义为幅值增益降低 3dB时的对应频率。 在通常情况下，系统的阶跃响应速度与B 成正比，调节时间与B 成反比。Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳4111)(1ssT151)(2ssTFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳4210010100)(23sssT90030900)(24sssT 两个系统 = 0.5 两个系统 MP= 15% n3= 10 n4 = 30 B3= 15 B4= 40 Ts3= 0.9s Ts4 = 0.

24、37 sFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳438.7 时延系统的稳定性 时延因子 e-jT 导致的相移为sTdesG)(T)(Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳44例9.9 液面控制系统 在调节阀门和液体流出之间，存在时延T = d/v. 因此，如果流速为5 m3/s, 管子截面积为1 m2, 距离d为 5 m, 则系统时延T=1 s. Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦

25、艳458.8 设计实例：遥控侦察车 设计要求是：侦察车速度控制系统的单位阶跃响应有较低的稳态误差和超调量。Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳46 选择K= 20 , 则ess=9%|r(t)|.表 9.4 设计实例的频率响应数据2/11)(11)(1)(lim)(lim00KsGGsGGsRssEecCssss210(1/2)( )(1)(1/2/4)KsGssssFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳47 假定限制 Mpt 0.7. jjKGnn

26、c)/()/2(1 )(22Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳528.10 利用 MATLAB分析频域稳定性 Nyquist: 产生 Nyquist图 Nichols: 产生 Nichols图 Margin: 计算增益裕度和相角裕度 Pade: 产生e sT 的近似值 Ngrid: 在已存在的图上画Nichols图网格Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳53Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础20

27、21-12-9张秦艳54 Fig9_39.mFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳55Magin(sys)Margin(num,den)Fig9_41.mFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳56 sysfig9_42.mFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳57Fig9_43.mFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-

28、9张秦艳58Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳59 Fig9_45.mFundamentals for Control Engineering 控制工程基础例9.10 液面高度控制系统2021-12-9张秦艳60) 13/9/)(130)(1(5 .31)(2ssssesGHsTFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳61T=1s, n=212612622ssssesPade(1,2)Pade(1,15)Fundamentals for Contro

29、l Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳62)126)(13/9/)(130)(1()126(5 .31)(222sssssssssGHFig9_47.mK=31.5,系统不稳定.Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳63K=16系统是稳定的Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳64例9.11 遥控侦察车 设计目标是，使阶跃响应具有较小的稳态误差和超调量。Fundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳65 1) 如果 K = 20, 误差是输入幅值的 9% ; 如果 K=10, 误差是输入幅值的 17%。 2) 假设我们要求超调量小于50%，于是有 50exp100.21/OP2/11Kess215. 0MP2.45 21)(21)rMpGFundamentals for Control Engineering 控制工程基础2021-12-9张秦艳66Mp 2.45 for K = 4.44, 10 Mp 2.45 for K = 20 Fig9_48.mFundame