2021届浙江省宁波市“十校”高三联考理科数学试卷

1、2021年浙江省宁波市“十校”高三联考理科数学试卷学校:姓名：班级：考号：一、单选题1 .设£/?，则是（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2 .已知集合 M=x|/+x 12<0, N = yy = 3x,x<l,则集合且x任N为（）A. （0,3B. -4,3C. -4,0）D. -4,03 .如图，某多面体的三视图中正视图、侧视图和俯视图的外轮廓分别为直角三角形、 直角梯形和直角三角形，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为（）正视图侧视图俯视图A. 272B,晒C. 273D.岳4 .已知抛物线犬=4>，过焦点厂的直线

2、/交抛物线于A , 6两点（点4在第一象限），若直线/的倾斜角为30 ,则总等于（）四IA. 3B. C. 2D.一225 .已知命题P：函数f（x）=|2cos2x l|的最小正周期为；r；命题q：若函数2）为奇函数，则/（x）关于（-2,0）对称，则下列命题是真命题的是（）A. p 人qB. p7 qc. Cp)人 Cq)6 .设Sn是公差为d(后0)的无穷等差数列an的前n项和，则下列命题错误的是A.若dvo,则数列Sn有最大项B.若数列Sn有最大项,则dvoC.若数列Sn是递增数列，则对任意的n£N3均有Sn>0D.若对任意的neN*,均有Sn>0,则数列Sn是递

3、增数列7 .已知0为三角形A6C内一点，且满足况+ /加+ (4-1)元=6,若。月台的面 枳与AOAC的面积比值为4，则4的值为()3311A. B. 2C-D.232、 4x,8 .已知函数/(x) = r -x(x<0), g(x) = r+/?x-2(x> 0), 若/(x)x-1图象上存在A, 5两个不同的点与g(x)图象上Al少两点关于y轴对称，则的取值范围为()A. (-472-5,+00)B. (4>/2-5,-kx) C. (4无一5,1)D. (4&-5,1)二、填空题9 .己知圆M:%2+y2 + 2x+2V5y 5 = 0,则圆心坐标为:此圆中

4、过原点的弦最 短时，该弦所在的直线方程为.10 .已知函数/(x) = "sinxcosx-cos?x-g, xeR,则函数/(x)的最小值 为，函数/(x)的递增区间为.mx+ny <29F11 .已知实数7，且点(1,1)在不等式组)-27式2表示的平面区域内，则HV > 1“1 + 2的取值范闱为, nr+n2的取值范围为.12.己知x, ye(0,),且有 2sliix 二遍smy2，tanx = &tan v，则 cosx =13 .已知双曲线二-二二1(。>0力>0)的左、右焦点分别是E,过F.的直线交 cr 夕双曲线的右支于P,。两点，若

5、|PFJ=|EI，且3|。心|=2|。区|,则该双曲线的离心率为.14 .如图，正四面体45C。的棱CO在平面。上，E为棱5。的中点.当正四面体(1)若8=0,。= 1, g(x) = |/(x)|是“可等域函数”，求函数g(x)的“可等域区间二(2)若区间1M + 1为“刈的“可等域区间”,求。，的值. 2219 .已知椭圆E:=+匚=1(。匕0)的左右顶点4,人，椭圆上不同于An4的 a b4点尸，A7, 4P两直线的斜率之积为APAA面积最大值为6.(2)若椭圆E的所有弦都不能被直线/：y = &(x-1)垂直平分，求女的取值范围.q 120 .设各项均为正数的数列an的前项和S

6、”满足- = -n + r.(1)若=2,求数列“的通项公式；(2)在(1)的条件下，设4=，(£"*),数列2的前项和为，求证: a2n-lTn. 3/7 +1参考答案1. B.【解析】试题分析：>0<=>0<«<1,故是必要不充分条件，故选B. a aa考点：1.解不等式；2.充分必要条件.2. D【详解】试题分析：由己知可得M=x<x<3=N=y< y < 3，则集合x | x e M且xN=-4fi，选 D.考点：集合的运算.3. C【详解】试题分析：由题意得，该多面体为如下几何体，最长的棱长为QE =

7、 J= = 2JJ，故选C.试题分析：根据抛物线的性质可得，d=l-c：s60 =3,故选a.1 +cos 60考点：抛物线的标准方程及其性质.5. D.【解析】试题分析：p： /(x)=|cos2x|,周期为工，故p是假命题；q： /(x2)的图象为了(X) 的图象向右平移2个单位得到，故的图象关于(-2,0)对称，故q是真命题，vq 是真命题，故选B.考点：L函数的性质；2.更合命题判断.6. C【解析】特殊值验证排除.选项C显然是错的，举出反例：一1, 0, 1, 2,满足数列£是递增 数列，但是£>0不恒成立选C.7. D【解析】S4 1 11 3试题分析：由

8、题意得，7=-=-=> = - 9故选A.AOAC 43,考点：平面向量的线性运算.8. D.【解析】 试题分析：设g(x)函数图象上任一点。，/+以-2),其关于y轴的对称点为(x, x + bx2)，4x,由题意可知方程x2 +bx-2 = x2 +x =>。-1)/ + (/? + 1)工一2 = 0 在(0,xo)上-x-lA = (/? + l)2+8(/?-l)>0有两个不等实根， 4/?-1<0=>4>/2-5</?<1,即实数/7的取值范围b + 1A>020-1)是(4&一5,1),故选 D.考点：函数与方程.9.

9、 (1,V3)x + yfy = 0.【解析】试题分析:因0+厅+0 +J5)2 =9,故圆心c(L回汉因为%5 =卡，所以卜=二,直线的方程为 二 =与工，即尤+ J3y = 0，故应填C (一 1扬，尤+ & = 0.考点：直线的方程及圆的标准方程.10. -2,-今 + 女,? + 人办 k eZ.【解析】 试题分析:/(x) = >/3 sin a cos x-cos2 x =衣.c l + cos2x 1.不、口总 siiizx= sm(2x)-1,故最小2226值是一2,令一2+ 2女才2X一242+ 2女乃二一2+攵乃工入2+攵不，k eZ ,故单调 26 263递

10、增区间是一菅+左耳弓+/幻,keZ ,故填:2,今+丘,?+女办 keZ.考点：1.三角恒等变形；2.三角函数的性质.3U. -,4, 1,4. 乙【解析】m + n 2试题分析：由题意得，-2?2,画出不等式所表示的平面区域，作直线/:?+2 = 0, /7113平移/,从而可知当7 = -一， = 1 时，(in + 2/?) =-,当7 = 0, = 2时，222考点：线性规划.(加+ 2)3K = 4，故7 + 2的取值范围是,4,而加2+ 2的几何意义为点。儿)与原点 距离的平方，故取值范围是1,4,故填：,4, 1,4 .2112 .2【解析】 试题分析：2sinx = >/

11、6siny ,/- smx _ r- sm y 遍 2班穴taiix = " tan y =>=- =>=> cos y = <2 cosx ,cosx cos y cosx cos y. sm2 y + cos2 y = - sin2 x+2 cos2x = - ) 332cos2 x+2 cos2 x = 1 => cos x = 9 故填:£*2考点：同角三角函数基本关系.713 .一5【解析】试题分析：由双曲线的性质可知，|P1|=2c, |尸FJ=2c 2。，|。尼|=3。3a,cos NFPF?=4c2 + 4(c-6/)2 -4c

12、2 4c2 + 25(c - a)2 - (3c - a)2， r， 八 =- -=>- 12讹 + 7。一 = 022c(2c-2a)22c5(c_)c 77(c - a)(5c - la) = 0 => e =一,故填：一 a 55考点：双曲线的标准方程及其性质.【分析】 试题分析：不妨设正四面体棱长为2,取CO中点尸，连AF , EF,从而/AE尸即为sm ZAEF =直线AE与a所成角的最大值，在/中，cosZAF=3 + JS3= ,:. 2-V3-16如楮 y/33,故填：-一66考点：立体几何中的最值问题.【详解】5 ”尸【解析】 试题分析：由题意得,2(% +析=/

13、+ %=>2(% + 2)+% = 28=>% = 8,81.生+ / = 20=>7 + 84 = 20=>4 =万或2 (舍)，通项公式a=%/T 填:g，（11V1093考点：等比数列的通项公式及其运算416. (1) -； (2)5【解析】试题分析：（1）根据条件中的向量共线得到4，3, C满足的一个式子，再进行三角恒等变形即可求解：（2）将已知条件中的式子变形，两边平方利用余弦定理求解.试题解析：（1）；卸=（4-5c,5b）与l= （cosC,cos6）共线，工5。- 4c cos C 5 sin A 4 sin C =,4b cosB4 sin 5 /.

14、4 sill B cos C+4 cos sill C = 5 sill A cos B， /. 4 sin( + Q = 4 sill A = 5 sin A cos B ,414sm A 0 , A cos B = - x (2) b = y/10 , c = 5, a <c 9 且 cos5 = 一, 554/ a2 +c2 -laccosB = b2,即/+ 25-2。5一 =10,解得。=3或4 = 5 (舍), 5 1 9 14 I 7 - V AD = 2DC , ：. BD = -BA + -BC, ：. BD =-BA +-BC +2 BABC 33993 3= -c2

15、 + -«2 + 2-ccos,将4 = 3和c = 5 代入得：BD =,993 39加-阿 du-.3考点：1.三角恒等变形；2.正余弦定理解三角形.17. （1）详见解析；（2） 4【解析】试题分析：（1）建立空间直角坐标系，求出平面A8C法向量而，证明砺_1而即可：（2）求出两个平面的法向量，利用空间向量的数量积即可求解.试题解析：AO_LCG，且。为中点，AA = AlD = 2, A A.C = AC,又 BC = 1, AB = 6A = 2, CB1 BA,又T 54。5% = 6 , J。3_1平取中点/，则6F，AA即5C, BF ,两两互相垂直, 以5为原点，B

16、BrBF, 5c分别为x, y, z轴，建立空间直角坐标系如图, 4(2,0,0), C(0,0,l), A(1,6、0), AQ,Go), G(2,0,l)，。,0,1)，M(p,0),（1）设平面A5c的法向量为? = （x,y,z），则/小64 = -x +J?y = 0,? 6弓=z = 0,取7 = (>/J,LO), *.* MD = (-,-,1)= - - + 0 = 0 ,2244:.而J_丽，又平面A5C,工直线M。/平面A5C； （2）设平面AC41的法向量为二(七,1，4), AC = (l,->/T,l),例二(2,0,0),相4(7 =±一向+

17、 .=0, m- AA1 = % = 0 ,取 =(0,1, J?), 又由(1)知平面ABC的法向量为m=(JJ/,O), 设二面角6 AC 4为8,二面角 6 -AC 4 为锐角，A cos6>=|=- = -> J二面角 5 AC 4 的| m | -1771 2-2 4余弦值为L.4考点：空间向量解立体几何题.3+小. a =。=1218. (1) 0,1, 0,3; (2) L 。或,3=29+3V5b =2【解析】试题分析：(1)对？，的取值情况分类讨论，利用二次函数的性质可建立相关方程组， 从而求解：(2)根据对称轴的位置对。，b的取值情况分类讨论，建立相关方程组，从

18、而求 解.试题解析：b = 0, « = 1,8。)=一2耳是“可等域函数”，：(x) = |x2-2x|=|(x-l)2-l|>0 , ：,n>tn>0,结合图象，由 g(x)=工得1=0 , 1, 3,函数g(x)的“可等域区间”为PM, 0,3,当IV叱<2时，gW<l,不符合要求；(2 ) /(X)= X2 - 2" + =(X 。尸 + 区间1,4 + 1为 /(X)的“可等域区间，。+ 1>1 即 4>0/=1(4 = 1f(Cl) = 1当0<a«l时，则乙八 得< 十 当1<。42时，则

19、八 无解；f(a + l) = a + l b = 2f(a + l) = a + l当a>2时,则/= 4 + 1考点：1.二次函数的性质；2.分类讨论的数学思想.厂 V"19. (1) + - = 1 ； (2) k £ (co,-2U2,+oo) 94【解析】试题分析：（1）根据题意可列出关于，b, c的方程，从而求解；（2）联立直线CO与椭 圆的方程，首先求得能够垂直平分时k的取值范围，再取补集即可求解.试题解析：（1）由已知得4（。,0）,4（凡0）, P（x,y）, 4，人尸两直线的斜率之积4为，9v vb241A k“Kp=-=-，又APA4的面积最大值

20、为±2ab = 6, x-a x+aa"92a = 3x2 y2,，椭圆石的方程为：一 + = 1； （2）假设存在曲线E的弦 8能被直线b = 294 /:），= k（x 1）垂直平分，当 =0显然符合题，当k W 0时，设C*c, yc） , DQd, %），CD厂 v->0 =4k2 m4k2+9中点为T（x°,%）可设CD： > = 一7x + 7与曲线£： + = 1联立得: k94 di(4 + )x2-18-X+9nr-36 = 0, Kk工A>0得4左2一届 + 9>0(1)式,“口18km 9km 小、1 ,口由

21、韦达定理得：XC + %D = = 2x，：. X =一，代入丁 二 一7工+ 7得4K+ 94k-+9kr（/，）'o）在直线/：y = k（xI）上，得独 7 = 4二+9（2）式,将（2）式代入（1）式得：4二+9<25,得公<4,即一2<<2且 综上所述，k的取值范围为ke（-8,2U2,+s）.考点：1.椭圆的标准方程及其性质；2.直线与椭圆的位置关系；3.分类讨论的数学思想.20. （1） an=rr+n； （2）详见解析.【解析】试题分析：（1）首先根据题意求出，的值，再利用之2时，氏 = S -St，将条件中的式子等价转化为数列%的一个递推公式，即可求解；（2）首先由（1）可求得4的通项公 式，再对T“进行等价变形为什 /11、/11、z