st简单的线性规划应用问题实用教案

1、(1)由由x，y 的不等式的不等式(或方程或方程)组成组成(z chn)的不的不等式组称为等式组称为x，y 的约束条件。的约束条件。(2)关于关于x，y 的一次不等式或方程组成的一次不等式或方程组成(z chn)的不的不等式组称为等式组称为x，y 的线性约束条件。的线性约束条件。(3)欲欲求求最大值或最小值所涉及的变量最大值或最小值所涉及的变量x，y 的解析式的解析式称为称为目标函数目标函数。关于变量。关于变量x，y 的一次解析式称为的一次解析式称为线性线性目标函数目标函数。求线性目标函数在线性约束条件下的最。求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题称为大值或最小值问题称为线性规划问

2、题线性规划问题。(4)满足线性约束条件的解满足线性约束条件的解（x，y）称为称为可行解可行解。所有可。所有可行解组成的集合称为行解组成的集合称为可行域可行域。(5)使目标函数取得最大值或最小值的可行解使目标函数取得最大值或最小值的可行解（x，y）称为称为最优解最优解。第1页/共24页第一页，共25页。结论结论(jiln):(jiln):1、线形目标函数的最大值、最小值一线形目标函数的最大值、最小值一般在可行域的顶点处取得；般在可行域的顶点处取得；2.2.把目标函数转化为某一直线把目标函数转化为某一直线(zhxin),(zhxin),其斜率与可行域边界所在其斜率与可行域边界所在直线直线(zhxi

3、n)(zhxin)斜率的大小关系一定要斜率的大小关系一定要弄清楚弄清楚第2页/共24页第二页，共25页。解线性规划解线性规划(xin xn u (xin xn u hu)hu)问题的步骤：问题的步骤： （2）移：在线性目标）移：在线性目标(mbio)函数所表示的一组函数所表示的一组平行线平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；距最大或最小的直线； （3）求：通过）求：通过(tnggu)解方程组求出最优解；解方程组求出最优解； （4）答：答：作出答案。作出答案。 （1）画：画：画出线性约束条件所表示的可行域；画出线性约束条

4、件所表示的可行域；归纳归纳第3页/共24页第三页，共25页。 例1 1、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少(zhsho)(zhsho) 提供0.075kg0.075kg的碳水化合物，0.06kg0.06kg的蛋白质，0.06kg0.06kg 的脂肪，1kg1kg食物A A含有0.105kg0.105kg碳水化合物，0.07kg0.07kg蛋 白质，0.14kg0.14kg脂肪，花费2828元；而1kg1kg食物B B含有0.1050.105 kg kg碳水化合物，0.14kg0.14kg蛋白质，0.07kg0.07kg脂肪，花费2121元。 为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费

5、 最低，需要同时食用食物A A和食物B B多少kgkg？分析：将已知数据(shj)列成表格食物食物kg碳水化合物碳水化合物kg蛋白质蛋白质/ /kg脂肪脂肪kgA0.1050.070.14B0.1050.140.07第4页/共24页第四页，共25页。解：设每天食用(shyng)xkg(shyng)xkg食物A A，ykgykg食物B B，总成本为Z Z，则 00671461475770006.007.014.006.014.007.0075.0105.0105.0yxyxyxyxyxyxyxyx目标目标(mbio)(mbio)函数为：函数为：Z Z28x28x21y21y作出二元一次不等式组所

6、表示作出二元一次不等式组所表示(biosh)的平面区域，即的平面区域，即可行域可行域第5页/共24页第五页，共25页。把目标(mbio)(mbio)函数Z Z28x28x21y 21y 变形为xyo5/75/76/73/73/76/74321zyx 它表示它表示(biosh)斜率为斜率为随随Z变化的一组平行直变化的一组平行直线系线系34 是直线(zhxin)在y轴上的截距，当截距最小时，Z的值最小。21zM 如图可见，当直线如图可见，当直线Z28x21y 经过可行域经过可行域上的点上的点M M时，截距最小，时，截距最小，即即Z最小。最小。第6页/共24页第六页，共25页。M点是两条直线(zhx

7、in)的交点，解方程组 6714577yxyx得得M M点的坐标点的坐标(zubio)(zubio)为：为： 7471yx所以所以(suy)Zmin(suy)Zmin28x28x21y21y1616 由此可知，每天食用食物由此可知，每天食用食物A约约143g，食物，食物B约约571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为低成本为16元。元。第7页/共24页第七页，共25页。解线性规划应用问题解线性规划应用问题(wnt)的一般的一般步骤：步骤：(2)设好变元并列设好变元并列(bngli)出不等式组和目出不等式组和目标函数标函数(3)由二元一次不等

8、式表示的平面由二元一次不等式表示的平面(pngmin)区域做出区域做出 可行域；可行域；(4)在可行域内求目标函数的最优解在可行域内求目标函数的最优解(1)理清题意，列出表格理清题意，列出表格.(5)还原成实际问题还原成实际问题( (准确作图，准确计算准确作图，准确计算) )第8页/共24页第八页，共25页。例例2.2.要将两种大小不同规格的钢板要将两种大小不同规格的钢板(gngbn)(gngbn)截成截成A A、B B、C C三种规格，每张钢板三种规格，每张钢板(gngbn)(gngbn)可同时截得三种规格可同时截得三种规格的小钢板的小钢板(gngbn)(gngbn)的块数如下表所示的块数如

9、下表所示 ： 解：设需截第一种钢板解：设需截第一种钢板(gngbn)x张，第一种钢张，第一种钢板板(gngbn)y张，则张，则 规格类型规格类型钢板类型钢板类型第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板A规格规格B规格规格C规格规格2121312x+y15,x+2y18,x+3y27,x0y0 作出可行作出可行(kxng)域域（如图）（如图）目标函数为目标函数为 z=x+y今需要今需要A,B,C三种规格的成品分别为三种规格的成品分别为15，18，27块，问各块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少。钢板张数最少。X张张y

10、张张第9页/共24页第九页，共25页。例题(lt)分析x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xNy0 yN直线直线(zhxin)x+y=12(zhxin)x+y=12经过的整点是经过的整点是B(3,9)B(3,9)和和C(4,8)C(4,8)，它，它们是最优解们是最优解. . 作出一组平行作出一组平行(pngxng)(pngxng)直直线线z=x+yz=x+y，目标函数目标函数z= x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)当直线经过点当直线经过点A时时z=x+y=11.4,x+y=12解得交点解得交点B,C的

11、坐标的坐标B(3,9) )和和C(4,8)调整优值法调整优值法24 6181282724681015但它不是最优整数解但它不是最优整数解. .作直线作直线x+y=12答（略）第10页/共24页第十页，共25页。x0y2x+y=15x+3y=27x+2y=18x+y =02x+y15,x+2y18,x+3y27,x0, xN*y0 yN*经过经过(jnggu)(jnggu)可行域内的整点可行域内的整点B(3,9)B(3,9)和和C(4,8)C(4,8)时，时，t=x+y=12t=x+y=12是最优解是最优解. .答答:(:(略略) )作出一组平行作出一组平行(pngxng)(pngxng)直线直

12、线t = t = x+yx+y，目标目标(mbio)函数函数t = x+yB(3,9)C(4,8)A(18/5,39/5)打网格线法打网格线法在可行域内打出网格线，在可行域内打出网格线，当直线经过点当直线经过点A A时时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解但它不是最优整数解，将直线将直线x+y=11.4继续向上平移继续向上平移，1212182715978第11页/共24页第十一页，共25页。在可行域内找出最优解、线性规划整数(zhngsh)解问题的一般方法是：1.1.若区域“顶点”处恰好为整点，那么它就是(jish)(jish)最优解；（在包括边界的情况下）2.2.若区域“顶点”不是整点或

13、不包括边界时，应先求出该点坐标，并计算目标函数值Z Z，然后在可行域内适当放缩目标函数值，使它为整数，且与Z Z最接近，在这条对应的直线中，取可行域内整点，如果没有整点，继续放缩，直至取到整点为止。3.3.在可行域内找整数解，一般采用平移找解法，即打网络、找整点、平移直线、找出整数最优解第12页/共24页第十二页，共25页。不等式组 表示的平面(pngmin)区域内的整数点共有（ ）个 123400yxyx巩固巩固(gngg)(gngg)练习练习1:1: 1 2 3 44x+3y=12xy0123第13页/共24页第十三页，共25页。 例例3 3 咖啡咖啡(kfi)(kfi)馆配制两种饮料，甲

14、种饮料每杯馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉含奶粉9g9g、 咖啡咖啡(kfi)4g(kfi)4g、糖、糖3g,3g,乙种饮料每杯含奶乙种饮料每杯含奶粉粉4g 4g 、咖啡、咖啡(kfi)5g(kfi)5g、糖、糖 10g 10g已知每天原料的使已知每天原料的使用限额为奶粉用限额为奶粉3600g 3600g ，咖啡，咖啡(kfi) 2000g(kfi) 2000g糖糖3000g,3000g,如果甲种饮料每杯能获利如果甲种饮料每杯能获利0.70.7元，乙种饮料每杯能获利元，乙种饮料每杯能获利1.21.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，每天应配

15、制两种饮料各多少杯能获利最大？天应配制两种饮料各多少杯能获利最大？ 第14页/共24页第十四页，共25页。解：将已知数据解：将已知数据(shj)(shj)列为下表：列为下表： 消耗量消耗量 资源资源甲产品（甲产品（1 1 杯）杯）乙产品乙产品(1(1杯杯) )资源限额（资源限额（g g）奶粉（奶粉（g g）9 94 436003600咖啡咖啡(g)(g)4 45 520002000糖糖(g)(g)3 3101030003000利润（元）利润（元）0.70.71.21.2 产品产品第15页/共24页第十五页，共25页。解解: :设每天应配制甲种饮料设每天应配制甲种饮料(ynlio)x(ynlio

16、)x杯，乙种饮料杯，乙种饮料(ynlio)y(ynlio)y杯，每天能获利杯，每天能获利Z Z元，则元，则 0, 03000103200054360049yxyxyxyx把直线把直线l l向右平移，经过向右平移，经过(jnggu)(jnggu)可行域上的点可行域上的点C C时，时，Z Z =0.7x +1.2y=0.7x +1.2y取得最大值。取得最大值。_ 9 x + 4 y = 3600_C(200,240)_ 4 x + 5 y = 2000_ 3 x + 10 y = 3000_ 7 x + 12 y = 0_ 400_ 400_ 300_ 500_ 1000_ 900_Z =0.7x

17、 +1.2y作直线作直线(zhxin)l: 0.7x+1.2y=0，,3000103,200054yxyx由由 解得点解得点C的坐标为的坐标为(200，240)则每天应配制两种饮料各则每天应配制两种饮料各200和和240杯能获利最大杯能获利最大第16页/共24页第十六页，共25页。练习(linx)巩固1.某家具厂有方木材某家具厂有方木材90m3，木工板，木工板600m3，准备，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料要方木料0.1m3、木工板、木工板2m3；生产每个书橱需；生产每个书橱需要方木料要方木料0.2m3，木工板，木工板1m3，出售一

18、张书桌可，出售一张书桌可以获利以获利80元，出售一张书橱可以获利元，出售一张书橱可以获利120元；元；（1）怎样安排生产可以获利最大？怎样安排生产可以获利最大？（2）若只生产书桌可以获利多少若只生产书桌可以获利多少？（3）若只生产书橱可以获利多少？若只生产书橱可以获利多少？第17页/共24页第十七页，共25页。由上表可知由上表可知(k zh)(k zh)：（1 1）只生产书桌，用完木工板了，可生产书桌）只生产书桌，用完木工板了，可生产书桌 600 6002=3002=300张张, ,可获可获利润利润:80:80300=24000300=24000元元, ,但木料没有用完但木料没有用完 （2 2

19、）只生产书橱，用完方木料）只生产书橱，用完方木料(mlio)(mlio)，可生产书橱，可生产书橱90900.2=450 0.2=450 张张, ,可获利润可获利润120120450=54000450=54000元元, ,但木工板没有用完但木工板没有用完产品产品 资源资源 书桌（张）书桌（张） 书橱（张）书橱（张） 资源限额资源限额 m 3方木料方木料 m 3 0 01 1 0 02 2 9090 木工板木工板m 32 21 1600600利润利润 （元）（元）8080120120分析分析(fnx)：第18页/共24页第十八页，共25页。xy02x+y-600=0300600 x+2y-900=

20、0A(100,400)（1 1）设生产书桌）设生产书桌(shzhu)x(shzhu)x张，书橱张，书橱y y张，利润为张，利润为z z元，元， 则约则约束条件为束条件为 0.1x+0.2y900.1x+0.2y902x+y6002x+y600 x x，yNyN* *，Z=80 x+120yZ=80 x+120y作出不等式表示作出不等式表示(biosh)的平的平面区域，面区域，当生产当生产100100张书桌张书桌(shzhu)(shzhu)，400400张 书 橱 时 利 润 最 大 为张 书 橱 时 利 润 最 大 为z=80z=80100+120100+120400=56000400=560

21、00元元（2 2）若只生产书桌可以生产）若只生产书桌可以生产300300张，用完木张，用完木工板，可获利工板，可获利 2400024000元；元；（3 3）若只生产书橱可以生产）若只生产书橱可以生产450450张，用完方木料，可获利张，用完方木料，可获利5400054000元。元。将直线将直线z=80 x+120yz=80 x+120y平移可知：平移可知：900450解：解：第19页/共24页第十九页，共25页。 2. 2.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送送180180吨支援物资吨支援物资(wz)(wz)的任务，该公司有的任务，该公司有8 8辆

22、载重量辆载重量为为6 6吨的吨的A A型卡车和型卡车和4 4辆载重量为辆载重量为1010吨的吨的B B型卡车，有型卡车，有1010名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为A A型卡车型卡车4 4次，次，B B型卡车型卡车3 3次，每辆卡车每天往返的成本费次，每辆卡车每天往返的成本费A A型卡车为型卡车为320320元，元，B B型卡车为型卡车为504504元，问如何安排车辆才能使该元，问如何安排车辆才能使该公司所花的成本费最低，最低为多少元？公司所花的成本费最低，最低为多少元？( (要求每型要求每型卡车至少安排一辆）卡车至少安排一辆）第20页/共24页第二十页，共25页。Xy084x=8y=47654321321x+y=104x+5y=30320 x+504y=0解：设每天调出的解：设每天调出的A型车型车x辆，辆，B型车型车y辆，公司辆，公司(n s)所花的费用为所花的费用为z元，则元，则x8x8y4y4x+y10 x+y10 x,yNx,yN* *4x+5y304x+5y30Z=320 x+504y作出可行作出可行(kxng)域中域中的整点，的整点，可行可行(kxng)(kxng)域中的整点（域中的整点（5 5，2 2）使）使Z=32