三角函数知识点归纳名师制作优质教学资料

1、三角函数一、任意角、弧度制及任意角的三角函数1任意角(1)角的概念的推广按旋转方向不同分为正角、负角、零角正角 : 按逆时针方向旋转形成的角任意角 负角 : 按顺时针方向旋转形成的角零角 : 不作任何旋转形成的角按终边位置不同分为象限角和轴线角角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称为第几象限角第一象限角的集合为k360k 36090 , k第二象限角的集合为k36090k 360180 , k第三象限角的集合为k360180k 360270 , k第四象限角的集合为k360270k 360360 , k终边在 x 轴上的角的集合为k 180 , k终边在 y

2、 轴上的角的集合为k 180 90 ,k终边在坐标轴上的角的集合为k 90 , k(2)终边与角 相同的角可写成 k·360 °(k Z )终边与角 相同的角的集合为k 360, k(3)弧度制 1 弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度的角弧度与角度的换算：360° 2弧度； 180° 弧度 半径为 r 的圆的圆心角所对弧的长为 l ，则角的弧度数的绝对值是lr 若扇形的圆心角为为弧度制 ，半径为 r ，弧长为 l ，周长为 C ，面积为 S ，则 lr ，C2r l ，S1lr1r 2 222 任意角的三角函数定义设 是一个任意角，角

3、的终边上任意一点P(x， y)，它与原点的距离为r rx2 y2 ，那么角 的正弦、余弦、正切分别是： sin yr， cos xr， tan yx（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三正切、四余弦）3特殊角的三角函数值角度030456090120135150180270360函数角 a 的弧度0 /6/4 /3 /22 /33 /45/63 /22sina01/2 2/2 3/21 3/2 2/21/20-10cosa1 3/2 2/21/20-1/2- 2/2- 3/2-101tana0 3/31 3- 3-1- 3/300二、同角三角函数的基本关系与诱导公式A. 基础梳

4、理1同角三角函数的基本关系(1)平方关系： sin2 cos2 1；（ 在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号）sin （ 3）倒数关系： tancot1 tan .(2)商数关系： cos 2诱导公式公式一： sin( 2k)sin ， cos( 2k)cos_， tan(2k ) tan其中 kZ .公式二： sin( ) sin_， cos( ) cos_， tan( ) tan .公式三： sin( ) sin ， cos( ) cos_， tantan 公式四： sin( ) sin_， cos( ) cos_， tantan .公式五： sin cos_， co

5、s sin .22公式六： sin 2 cos_， cos2 sin_.口诀：奇变偶不变，符号看象限其中的奇、偶是指诱导公式可概括为 k· ±的各三角函数值的化简公式的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化若是奇数倍，则函数名称要变( 正弦变余弦，余弦变正弦 ) ；若是偶数倍，则函数名称不变，符号看象限是指：把看成锐角时，根据k· ±在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结2果符号B. 方法与要点一个口诀1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限2、四种方法在求值与化简时，常用方法有：sin (1)弦切互化法：主要利用公式tan 化成正

6、、余弦cos (2)和积转换法：利用(sin ±cos )21±2sin cos 的关系进行变形、转化（ sincos 、 sincos 、 sin cos三个式子知一可求二）(3)巧用 “1”的变换： 1 sin2 cos2= sintan24（4）齐次式化切法：已知 tank ，则 a sinbcosa tanbakbm sinn cosm tannmkn三、三角函数的图像与性质学习目标：1 会求三角函数的定义域、值域2 会求三角函数的周期：定义法，公式法，图像法（如ysin x 与 ycosx 的周期是）。3 会判断三角函数奇偶性4 会求三角函数单调区间5 知道三角函

7、数图像的对称中心，对称轴6 知道 yA sin(x) ， yA cos(x) ， yA tan(x) 的简单性质（一）知识要点梳理1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数ysin x 和余弦函数ycos x 图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为 0，, 3, 2的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。22y=sinxy-5-137222-4 -7 -32o53-2-3 -1242222y=cosxy-3-5- 213372o22-4-7-2-3-12542222xx2、正弦函数 ysin x(xR) 、余弦函数 ycos x( xR) 的性质 ：（

8、 1）定义域 ：都是 R。（ 2）值域 ：都是1,1，对 ysin x ，当 x2kkZ 时， y 取最大值 1；当 x2k3Z 时， y 取最小值 1；k22对 ycos x ，当 x2kk Z时， y 取最大值1，当 x2kkZ 时， y 取最小值 1。（ 3）周期性 ： ysin x ， ycos x 的最小正周期都是2；（ 4）奇偶性与对称性 ： 正弦函数 ysin x( xR) 是奇函数，对称中心是k,0kZ，对称轴是直线x kkZ；2 余弦函数 ycos x( x R) 是偶函数，对称中心是k,0kZ，对称轴是直线x kkZ ；（正(余)2弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于

9、x 轴的直线，对称中心为图象与x 轴的交点）。（5）单调性 ：ysin x在22k,2kkZ上单调递增，在22k, 32kk Z单调递减；22ycos x 在2k,2 kkZ上单调递增 ,在 2k ,2 kkZ上单调递减。 特别提醒 ，别忘了 kZ ！3、正切函数ytan x 的图象和性质 ：（ 1）定义域： x | xk, kZ 。2（ 2）值域是R，无最大值也无最小值；（ 3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是k,0kZ，特别提醒 ：正 ( 余)切型函数的对称中心有两类：一2类是图象与 x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。（ 4）单调性：正

10、切函数在开区间k ,kkZ 内都是增函数。 但要注意在整个定义域上不具有单调性。224、正弦、余弦、正切函数的图像和性质函性数ysin xycos xytan x质图象定义域值域最值周期性奇偶性单调性对称性R1,1当 x2kk时，2ymax1；当 x2k2k时， ymin12奇函数在2k,2 k22k 上是增函数；在32k,2 k22k 上是减函数对称中心 k ,0 k对称轴 xkk2Rx xk, k21,1R当 x2kk时，ymax1；当 x2k既无最大值也无最小值k时， ymin12偶函数奇函数在 2k,2 kk上是, k在 k2增函数；在 2k,2 k2k上是减函数k上是增函数对称中心

11、k,0 k对称中心k ,0 k22对称轴 x k k无对称轴5、研究函数yA sin(x) 性质的方法：类比于研究ysin x 的性质 ，只需将yAsin(x) 中的x看成 y sin x 中的 x 。函数 y Asin（x）（A 0， 0）的性质。（ 1）定义域： R（ 2）值域： -A, A（ 3）周期性： T2|f ( x)Asin(x) 和 f ( x) A cos(x) 的最小正周期都是2。T|f ( x)Atan(x) 的最小正周期都是 T|。|（ 4）单调性：函数yAsin （ x ）（ A 0， 0）的单调增区间可由2k x 2k， k z 解得；22单调减区间可由2k x 2k 3， k z 解得。22在求 yAsin(x) 的单调区间时，要特别注意A 和 的符号，通过诱导公式先将化正。如函数ysin(2x) 的递减区间是 _3（答：解 析 ： y=， 所 以 求y的 递 减 区 间 即 是 求的递增区间，由得，所以 y 的递减区间是四、函数 y Asinx的图像和三角函数模型的简单应用一、知识要点1、 几个物理量 ： 振幅：； 周期：21； 相位：x；初相：； 频率： f22、 函数 yA sin(x) 表达式的确定 ： A 由最值确定；由图象上的特殊点确定 .由周期确定；函 数 ysin x， 当 xx1 时 ， 取 得 最 小 值 为 ymin；