专题一：特殊的平行四边形

1、.专题一：特殊的平行四边形矩形菱形正方形一、学法指引矩形 菱形 正方形是特殊的平行四边形，因此它们既具有平行四边形的一般性质，又具有自己的特殊性质，要求掌握各自的性质，判定，并能运用性质、判定解决相关问题同时注意它们的包含与被包含的关系。二、探究与思考1 ）探究矩形的定义，性质，判定矩形的定义矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形矩形的特殊性质因为平行四边形的对角相等， 邻角互补，而矩形有一个角是直角， 所以矩形的四个角都是直角矩形性质 1矩形的四个角都是直角如图，在矩形 ABCD中， AC、BD相交于点 O，显然ABC DCB,所以 AC=BD,矩形性质 2矩形的对角线相等直角三角形的

2、性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半11由性质 2 有 AO=BO=CO=DO=AC= BD因此可以得到直角三角形的一个性质：直角三角形22斜边上的中线等于斜边的一半例 1、已知：如图，矩形 ABCD的两条对角线相交于点 O， AOB=60°， AB=4cm，求矩形对角线的长例 2、已知：如图 ，矩形 ABCD中， AB长 8 cm ，对角线比 AD边长 4 cm求 AD的长及点 A 到 BD的距离 AE的长例 3、如图，四边形 ABCD中， ACBD于点 O， EFAC HG，EHBD FG，点 E、F、G、H 分别在四边形的边上。AHDNM求证： FH=EGEOGBFC;.

3、讲中练1填空：（1）矩形的定义中有两个条件：一是，二是（ 2）已知矩形的一条对角线与一边的夹角为30°，则矩形两条对角线相交所得的四个角的度数分别为、2下列说法错误的是（）A 、矩形的对角线互相平分B、矩形的对角线相等C、有一个角是直角的四边形是矩形D、有一个角是直角的平行四边形叫做矩形3. 矩形的对角线把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（）A、2对B 、4对 C、6对 D、8对4已知矩形的一条对角线长为10cm，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为_cm，cm，cm，cm5、如图，矩形 ABCD中，AEBD，垂足为 E，DAE=3BAE，则 BAE=， E

4、AC=。ADOEBC6、已知如图， O是矩形 ABCD对角线的交点， AE平分 BAD， AOD=120°，求 AEO的度数7、如图（a），在矩形 ABCD中，两条对角线交于点O, AOD 120 °， AB 4 求：（1）矩形对角线长；（2）BC边的长 ; （3）若过 O垂直于 BD的直线交 AD于 E，交 BC于 F（图 4-31 （ b）求证： EFBF， OF=CF；（ 4）如图 4-31 （ c），若将矩形沿直线 MN折叠，使顶点 B 与 D 重合， M，N交 AD于 M，交 BC于 N求折痕 MN长;.矩形的判定：判定一：有一个角是90°的平行四边形判

5、定二：有三个内角是直角的四边形判定三：对角线相等的平行四边形由判定一、三可知要证明一个四边形是矩形，一般先证明它是平行四边形，再证明有一个角是直角。例 4、如图，在 ABC中，点 D 在 AB 上，且 AD=CD=BD，DE、DF分别是 BDC、 ADC的平分线。四边形 FDEC是矩形吗？为什么？例 5、如图， ABCD的 4 个内角平分线围成的四边形PQRS是矩形吗？为什么？例 6、如图，矩形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O，E、F、G、H 分别是 OA、OB、 OC、OD的中点。四边形 EFGH是矩形吗？为什么？讲中练1、正确的打“”，错误的打“×”（1）四个角相等的四

6、边形是矩形（）。（2）对角线相等的四边形是矩形（）。;.（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形（）。（4）一组对边平行另一组对相等且对角线相等的四边形是矩形（）。2、四边形 ABCD的对角线 AC、 BD 相交于点 O，下列条件中能识别它为矩形的是 ( ) A、 AOCO， BODO， ABBCB、AO CO， BODO， ABDCC、 ABCD， ADBC， AOCOD、AO BOCO DO3、【问题一】如图，四边形 ABCD中， AB6，BC 53 ，CD 6，且 ABC1350 ， BCD1200，你知道 AD的长吗？EEB CFADAGBC问题一图D问题二图【问题二】把矩形 ABCD

7、沿 BD折叠至如上图所示的情形，请你猜想四边形ABDE是什么图形，并证明你的猜想。4、如图，以 ABC的三边为边在BC 的同一侧分别作三个等边三角形，即ABD、 BCE、ACF。请回答下列问题（不要求证明） ：（ 1）四边形 ADEF是什么四边形？（ 2）当 ABC满足什么条件时，四边形 ADEF是矩形？（ 3）当 ABC满足什么条件时，以 A、 D、E、F 为顶点的四边形不存在2）菱形，正方形菱形，正方形的定义、性质菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形正方形定义：一组邻边相等的矩形叫正方形菱形的性质： 1、四边都相等2 、对角线互相垂直平分正方形性质： 1、四边都相等AB D;.C.

8、2 、对角线相等且互相垂直平分例 7、如图在菱形 ABCD中， BAD=2B，求 B 的度数，并说明 ABC是等边三角形。例 8、如图所示，正方形 ABCD中，P 是对角线 BD上一点， PEBC于 E，PFCD于 F。请猜想EF与 PA的数量关系、位置关系，并说明理由。ADPFBEC菱形，正方形的判定例 9、如图，矩形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O，作 CF BC交 AD的延长线于 F，E 是 CF 的中点，试说明四边形 OCED是菱形。CBEOFDA例 10、如图所示，在RtABC中， C90°， A、 B 的平分线交于点D，DEBC于 E，DFAC于 F，试说明四边

9、形CEDF为正方形。AFDCEB拓展练习一、填空题1、一个菱形的周长等于20cm，菱形的一条对角线长为5cm，则菱形的四个内角分别是。2、如图所示，在边长为8 的菱形 ABCD中， DAB60°， E 为 AB的中点， F 是 AC上一个动点，则 EFBF的最小值是。GFDADDDFCHCCAOGAEAEBBB MCB（2 题图）（5 题图）（7 题图）（9 题图）3、正方形的对称轴有条，它的对称中心是。4、正方形的边长为4cm，则周长为，面积为。;.5、如图，正方形 ABCD和正方形 OEFG的边长均为 4，O是正方形 ABCD的旋转对称中心，则图中阴影部分的面积是6、已知：矩形

10、ABCD中， AB 2CB，点 E 中 DC上，且 AE AB，则 EBC。7、如图所示，在正方形ABCD中， M是 BC上一点，连结 AM，作 AM的垂直平分线 GH交 AB于G，交 CD于 H，若 AM 10cm，则 GH。8、菱形的一个内角为120°，较短的对角线长为10cm，那么菱形的周长为cm。9、如图所示，把25 个边长为 1 的小正方形拼成一个大正方形，A、B、C、D都是小正方形的顶点，则四边形ABCD的面积为。10、正方形 ABCD中，对角线的长是 10cm，点 P 是 AB上任意一点，则点 P 到 AC、 BD的距离之和是二、选择题1、同学们玩过万花筒，它是三块等宽

11、、等长的玻璃片围成的。如图所示的是看到的万花筒的一个图案，图中所有的小三角形均是全等的等边三角形，其中的菱形( 四边相等 )AEFG可以看成是把菱形 ABCD以 A 为中心得到的。A、顺时针旋转 60°B、逆时针旋转 60°C、顺时针旋转 120°D、逆时针旋转 120°GFABAAEBDEBEFDCCDC（1 题图）（6 题图）（7 题图）2、在四边形 ABCD中， O是对角线的交点，下列条件能判定这个四边形是正方形的是。A、AC BD，AB CD，ABCDB、ADBC， A CC、AO BOCO DO，ACBDD、ACCO，BODO， ABBC3、正

12、方形具有而菱形没有的性质是。A、对角线互相平分B 、每条对角线平分一组对角C、对角线相等D、对边相等4、在正方形 ABCD所在平面内找一点P，使 P 点与 A、B、C、D中两点都连在一个等边三角形，那么这样的 P 点有。A、5个B 、12个C 、9个D、15个;.5、能判定一个四边形是菱形的条件是。A、对角线互相平分且相等B、对角线互相垂直且相等C、对角线互相垂直且两组对角相等D、对角线互相垂直且一条对角线平分一组对角6、如图所示，菱形ABCD的边长与正三角形AEF的边长相等，且E、 F 分别在 BC、 CD上，则BAD的度数是。A、 80°B 、 90°C 、100

13、76;D 、120°7、如图所示，以正方形ABCD中 AD边为一边向外作等边ADE，则 AEB。A、10°B、15°C、20°D、12.5 °8、如图所示，在平行四边形ABCD中， AD 2DC， M、N 分别在 AB 两边的延长线上，且有MAAB BN，则 MC与 DN的关系是。A、相等B、垂直C、垂直且相等D、不能确定DCADGHEGMABNBCH（8 题图）（9 题图）9、如图所示，在正方形ABCD中，H 是 BC延长线上一点，使CE CH，连结 DH，延长 BE交 DH于 G，则下面结论错误的是。A、 BEDH B、 H BEC 90&

14、#176;C、 BGDH D、 HDC ABE90°能力升级1、已知：如图所示，在正方形 ABCD和正方形 AEFG有一具公共顶点 A，把正方形 AEFG绕 A 点旋转到如图所示位置，连结 DG、 BE。试说明： DGBE。DCGFABE2、已知：如图所示，在正方形 ABCD中， E、F 分别是 AD、DC的交点， AF、BE交于点 G，连结 CG，试说明： CGB是等腰三角形。AEDGFBC;.3、已知：如图所示， E、F 分别是正方形的边 BC、 DC上的点，且 EAF45°，求证： BEDF EFADFBEC4、如图所示，在正方形 ABCD中， M为 AB上任意一点，

15、 MNDM， BN平分 CBE，试说明： MDMN。DCNAMBE5、已知：如图所示， ABCD是正方形，过 B 作 BFAC，E 是 BF上一点，四边形 AEFC是菱形，试说明： FCA5F。FDCEAB6、如图所示， ABCD是正方形， AEDB，BEBD，BE交 AD于 F，试说明：DEF是腰三角形。BAFECD7、如图所示，已知正方形ABCD的对角线 AC、 BD相交于点 O，E 是 AC上一点，过 A 作 AGEB，垂足为 G， AG交 BD于 F，请说明 OEOFADOF GEBC;.对于上述命题，若点 E 在 AC的延长线上， AG EB交 EB的延长线于点 G，AG的延长线交D

16、B的延长线于点 F，其他条件不变，如图所示，请你想一想，结论“ OEOF”还成立吗？如果成立，请给予说明；如果不成立，请说明理由。ADOGCBFE8、如图所示，点 M是矩形 ABCD的边 AD的中点，点 P 是 BC边上一动点， PEMC，PF BM，垂足分别为 E、F。当矩形 ABCD的长与宽满足什么条件时，四边形 PEMF为矩形，请猜想并说明理由。在中，当点 P 运动到什么位置时，矩形 PEMF变为正方形？为什么？AMDEFBPC9、如图所示，在矩形 ABCD中，AB 24cm，BC12cm，点 P 沿 AB边从点 A 开始向点 B 以 2cm/s 的速度移动，点 Q沿 DA边从点 D 开

17、始向点 A 以 1cm/s 的速度移动。如果 P、Q同时出发，用 t(s) 表示移动时间 (0 t 12) ，那么：当 t 为何值时，QAP为等腰直角三角形；求出此时四边形QAPC的面积，并提出一个与计算结果有关的结论。DCQAPB10、如图所示，在 ABCD中，对角线 AC的垂直平分线与AD、BC、AC分别交于 E、F、O，试说明四边形 AFCE是菱形。AEDOBFC;.11、如图所示，菱形 ABCD中，E 是 AB的中点， DE AB，ABa，BEh。求： ABC的度数；AC的长；菱形 ABCD的面积。DCOAEB12、如图所示， O是菱形 ABCD对角线的交点，作 DE AC，CE BD，DE、CE交于点 E，四边形 OCED是矩形吗？说说你的理由。ADOBEC如图所示， O是