专题：对勾函数

1、.基本不等式与对勾函数b一、 对勾函数yax(a0,b0) 的图像与性质x性质：1.定义域： (,0)(0,)2.值域： (, 2ab)(2ab ,)3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即f (x)f ( x)04. 图像在一、三象限当 x 0 时 ， 由 基 本 不 等 式 知b2ab （当且仅当xb即 f (x)b时，取最小值 2 aby ax取等号），在 x=xaa由奇函数性质知：当x<0 时， f ( x)在 x=b2 ab时，取最大值a5. 单调性：增区间为（b ,），（,b ）减区间是（ 0，b ），（b ,0）aaaa一、对

2、勾函数的变形形式类型一： 函数 y axb(a0, b 0) 的图像与性质x(b)此函数与对勾函数y(a) x关于原点对称，故函数图像为x性质：;.b类型二： 斜勾函数yax(ab0)x a 0,b 0 作图如下性质： a0,b0 作图如下：类型三： 函数 f (x)ax 2bxc (ac0)x此类函数可变形为f (x)cb ，则 f (x) 可由对勾函数 y axcax上下平移得到xx例 1 作函数 f (x)x2x1x的草图x2x1f ( x)x1解： f ( x)x1作图如下：x类型四： 函数 f (x)xa(a0, k0)xka )a 左右平移， 上下平移得到此类函数可变形为f (x)

3、(xkk ，则 f (x) 可由对勾函数 yx1xkx例 2 作函数 f (x)x的草图2x1f ( x) x212 作图如下：解： f ( x) x2xx2例3作函数x3x 的作图：f (x)2x;.x3f (x)x2 11x x 21解： f ( x)xx2x 11x2x 2x2练习： 1.求函数1在 (2,) 上的最低点坐标f ( x) x2x42.求函数f (x)xx的单调区间及对称中心x1ax(a0, b 0)类型五： 函数 f (x)x 2b此类函数定义域为 R ，且可变形为f ( x)aa2bbxxxxa. 若 a 0 ，则 f (x) 的单调性和对勾函数 yxb的单调性相反，图

4、像如下：x性质：1定义域：(,)2. 值域： ( a1, a1)2b2b3. 奇偶性：奇函数，函数图像整体呈两个倒着的“对勾”的形状，且函数图像关于原点呈中心对称，即f (x)f ( x)04. 图像在一、三象限当 x0 时，由基本不等式知aab 取等号），f ( x)（当且仅当 xb2 b2 xx;.a即 f ( x) 在 xb 时，取最大值2 b由奇函数性质知：当 x<0 时， f ( x) 在 x=b 时，取最小值a2 b5. 单调性：减区间为（b,），（, b ）增区间是 b , b 例4作函数f (x)x2的草图x1解： f ( x)xf ( x)11221x 1x1xxxb.

5、 若 a 0 ，作出函数图像：例5作函数f (x)2x的草图2x4类型六： 函数 f (x)ax 2bxc ( a0)xm此类函数可变形为f (x)a(xm) 2s( x m)tt0) ，xma(x m)s(atxm则 f (x) 可由对勾函数 yaxt左右平移，上下平移得到x例 6 说明函数 f (x)x 2x1由对勾函数 y x1x1如何变换而来x;.解：(x 1) 2(x 1) 1111f ( x)xxx11故 此函数 f ( x) 可由对勾函数 y1向（填“左”、“右”）平移单位，向（填xx“上”、“下”）平移单位 . 草图如下：练习 ： 1. 已知 x1 ，求函数x27 x 10f

6、( x)的最小值x 12. 已知 x1 ，求函数x29x 10f ( x)的最大值x 1类型七： 函数 f (x)xm(a0)bxax2c例 7 求函数 f ( x )x1) 上的最大值2x在区间 (1,x2解：当 x1时， f (1)0当x1时， f (x)x1111)2 3(x 1)4 (x1)23(x 1) 44(xx 1x13x 1问：若区间改为 4,) 则 f (x) 的最大值为练习 ： 1. 求函数x22x3) 上的最大值f ( x)2x在区间 0,x2类型八： 函数 f (x)xbxa;.此类函数可变形为标准形式：f (x)xab ax aba (b a 0)xaxa例 8 求函数 f (x)x3x的最小值1x 14x14解： f ( x)1x1x练习 ： 1 求函数x5f (x)的值域x12. 求函数x2f ( x)的值域x3类型九： 函数 f (x)x2b ( a0)x2a此类函数可变形为标准形式：f (x)(x2a) 2b ax2aba(b a o)x 2ax2a例 9 求函数 f (x)x 25x2的最小值425x2411解： f ( x)xx2f ( x)x2444x24x 2练习：1.求函数 f ( x)x 212的值域x17例 10 已知 a0,求