有限差分方法概述

1、有限差分法（Finite Difference Method ，简称FDM是数值方 法中最经典的方法，也是计算机数值模拟最早采用的方法， 至今仍被 广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替 连续的求解域。有限差分法以 Taylor级数展开等方法，把控制方程 中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散，从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题 变为代数问题的近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较 早且比较成熟的数值方法。对于有限差分格式，从格式的精度来划分， 有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑，可分 为中心格式和

2、逆风格式。考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为 显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上 述几种形式的组合，不同的组合构成不同的差分格式。 差分方法主要 适用于有结构网格，网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定 条件来决定。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方 法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后 差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算 精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差 分格式的组合，可以组合成不同的差分计算格式。下面我们从有限差分方法的基本思想、技术要点、应用步骤三个方面来

3、深入了解一下有限差分方法。1. 基本思想有限差分算法的基本思想是把连续的定解区域用有限个离散点 构成的网格来代替，这些离散点称作网格的节点；把连续定解区域上 的连续变量的函数用在网格上定义的离散变量函数来近似；把原方程和定解条件中的微商用差商来近似， 积分用积分和来近似，于是原微 分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组，即有限差分方程组， 解此方程组就可以得到原问题在离散点上的近似解。然后再利用插值 方法便可以从离散解得到定解问题在整个区域上的近似解。在采用数值计算方法求解偏微分方程时，再将每一处导数由有限差分近似公式 替代，从而把求解偏微分方程的问题转换成求解代数方程的问题，即所谓的有限差

4、分法。2. 技术要点如何根据问题的特点将定解区域作网格剖分；如何把原微分方程离散化为差分方程组以及如何解此代数方程组。此外为了保 证计算过程的可行性和计算结果的正确性，还需从理论上分析差 分方程组的性态，包括解的唯一性、 存在性和差分格式的相容性、 收敛性和稳定性。对于一个微分方程建立的各种差分格式，为了 有实用意义，一个基本要求是它们能够任意逼近微分方程，这就 是相容性要求。另外，一个差分格式是否有用，最终要看差分方 程的精确解能否任意逼近微分方程的解，这就是收敛性的概念。 此外，还有一个重要的概念必须考虑，即差分格式的稳定性。因 为差分格式的计算过程是逐层推进的，在计算第n+1层的近似值时

5、要用到第n层的近似值，直到与初始值有关。 前面各层若有舍 入误差，必然影响到后面各层的值，如果误差的影响越来越大， 以致差分格式的精确解的面貌完全被掩盖，这种格式是不稳定的，相反如果误差的传播是可以控制的，就认为格式是稳定的。只有 在这种情形，差分格式在实际计算中的近似解才可能任意逼近差 分方程的精确解。关于差分格式的构造一般有以下3种方法。最常用的方法是数值微分法，比如用差商代替微商等。另一方法叫 积分插值法，因为在实际问题中得出的微分方程常常反映物理上 的某种守恒原理，一般可以通过积分形式来表示。此外还可以用 待定系数法构造一些精度较高的差分格式。3.基本步骤有限差分法求解偏微分方程的步骤

6、如下： 区域离散化，即把所给偏微分方程的求解区域细分成由有限个 格点组成的网格； 近似替代，即采用有限差分公式替代每一个格点的导数； 逼近求解。换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代替偏微分方程的解的过程。换而言之，这一过程可以看作是用一个插值多项式及其微分来代 替偏微分方程的解的过程。在第一步中，我们通过所谓的网络分割法， 将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。通常采用的是规则的 分割方式。 这样可以便于计算机白动实现和减少计算的复杂性。网 络线划分的交点称为节点。若与某个节点 P相邻的节点都是定义在 场域内的节点，则P点称为正则节点；反之，若节点 P有处在定义 域外的

7、相邻节点，贝 P点称为非正则节点。在第三步中，数值求解 的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在所有这些节点上 的离散近似值。差分方程，又叫做差分格式，从格式的精度来划分，有一阶格式、 二阶格式和高阶格式；从差分的空间形式来考虑，可分为中心格式和 逆风格式；考虑时间因子的影响，差分格式还可以分为显格式、隐格 式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式，主要是上述几种形式的 组合，不同的组合构成不同的差分格式。向前差分 (forword difference):. M'% 1 - ixXi 1 - X向后差分(backword difference)：i - i1 普 -XXi - X

8、i -1中心差分(cential difference)：1:-: i , 1 - I -1普 XXi 1 - Xi -1下面以一个例子解释其他差分格式：设求解区域内一个节点 A ,坐标(Xj,tn )。根据微商定义和中值定理， 把偏微分方程写成差分格式。对流方程：uuca = 0 tX(2-1)或u" a ux = 0可以将其化为三种不同的差分方程：1)时间前差、空间中心差n Tnnnuj - ujuj 1 - uj_1a=0t2 x-r u 2n-Uj_i2）时间前差、空间前差n 1 nn nUj - Uj Uj i-Uj a0txn 1 nn nUj = Uj - r Uj 1

9、 _ Uj3）时间前差、空间后差Uj - Uj或n 1 nn nUj = Uj - r Uj - Uj差分方程的时间微商采用前差，称为显式差分格式；时间微商采 用后差，称为隐式差分格式。显式差分方程可以直接求解，隐式差分 方程需要迭代求解。除此之外，它还可以构造其他形式的差分格式。 不同的差分格式具有不同的计算精度。用差分方程代替偏微分方程时必然有误差，称为截断误差，用Rn表示。差分方程的截断误差等于各项差商逼近微商时所产生误差的总 和。用差分方程的定解条件来代替偏微分方程的定解条件也会产生误 差，称为定解条件的截断误差，用r；1来表示。心曲如丫十二Ex j差分方程的截断误差可以用Taylor

10、展开法得到。如上述例子中时 间前差、空间中心差分格式，通过 Taylor展开可得： n 1 nnn - nUj -Uj +a Uj+ -Uj4_ 色 j 十二：t2 x彳驾j ofW它的截断误差为：Rj =O（At,Ax2 ），即时间上是一节精度，空间 上是二阶精度。构造差分的方法有多种形式，直接差分逼近法、Taylor 级数展开法、控制体积元法和积分方法等。目前主要采用的是泰勒级 数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、 一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为 一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几 种不同差分格式的组合，可以组

11、合成不同的差分计算格式。首先讨论 Taylor级数展开法：给定任意连续方程u（x）,对于h。J： hn : nu奇次一 n=o切Wu（x+Ax）,令步长Ax = h,可写出Taylor级数展开式:uh2 ：2uh3 ：3uu x h )= u x h x2! ；x23! ；x3给出有限差分表达式是反过来：对有限的Ax = h给出久的近似表；x记uj十 1 =u（x+*）,由Taylor级数表达式可得 史表达式；:xu u x h - u x h f 2u h2 : 3u”，, ， ，u ，xh 2! x23! :x3对于上述提到的对流方程 2-1 , Taylor展开法是将uj*在uj点上进行

12、展开，再利用方程把、疽-3 :-u.3 1变换为>:t3-3:-u 3 !,并把 方3'-：x23 J用差冏表示，就可以得到各种不同 :x(2-2)的差分方程。对式2-1首先将uj*在uj点上进行Taylor展开，可得:n 1 nUj =Uju=t2O t3j利用原方程关系:将上式代入式-u:u=a -tx2-2,得到:其中，r =a,这就是著名的x直接差分逼近法由微商定义:-：ut:2uft22,2 ： u afx222 u；1n n -2ujuj_1Lax-Wendroff 差分方程。 U=lim-xn曲n山一山lim Ljo；tn nuj 1 - uj£，x J0

13、: x和中值定理得到:nFn 1uj - u tn1：x¥2 顼"：x2 j 12/口 、n丝nn nuj 1 - 2uj uj-其中，e为os <1之间的常数。把这些表达式代入到对流方程式 2-1中，取一阶近似，并略去Rn 的小量得到相应的差分方程。如上式可得：n 1 nnn ”、n. 2uj -uju j 1 - u j:-u jt£_u't3 x.tj 2；：t2j略去等式右边Rn项后，得到差分方程:时间前差、空间前差:n "1Ujnnn=uj _ r uj 1 uj其中，r =日。采用相同的差分逼近法，也可以得到其它差分方程。例如：

14、时间前差、空间后差：u=unru"u时间前差、空间中心差：u；* =u：-：r(un书-u，)积分方法计分方法是把偏微分方程在一定的控制体内进行积分，得到相应的差分方程。以对流方程2-1为例，在矩形网格的控制体单元dQ内,对时间和空间取前差，并从tn到tn+At，从xj到xj+k进行积分：ut aux dxdt = 0x通过积分运算：xj :京 tn :盘ttn ：顼 xj : 盘 xn utdtdx a nuxdxdt = 0xjttxj则得到；E(un41-undx + aLnM(u"-ujdt=0 xjt把上式用数值积分近似表示，整理后可得：n 1 nn nuj =

15、uj - r uj 1 _ uj其中，r =&*。x差分万程的有效性分析一个偏微分方程可以得到不同的差分方程。但不同的差分方程和原微分方程有完全不同的对应关系，它们有不同的数学性质，数值结果也不完全相同。因此，有些差分方程是有效的可靠的，有些则在 一定条件下是有效的可靠的，有些则完全是无效的。如何判断和分析 差分方程的有效性和可靠性就称为有限差分算法十分重要的问题。1 相容性(Consistency)导数与其差分近似式之间存在截断误差。因此，差分方程的解并不是严格的，而是近似地满足原来的偏微分方程。但是，当时间步长At和空间步长Ax都趋近于零时，差分方程的截差（截断误差）也趋近于 零，

16、差分方程的极限形式就是原偏微分方程。这时，认为差分方程与 偏微分方程是相容的，这种相容性表示差分方程 收敛”于原偏微分方 程。差分方程相容性是讨论当Axt。时，差分方程逼近于偏微分 方程的程度。相容性定义：对于足够光滑的函数U,若时间步长At，空间步长Ax 趋近于0时，差分方程的截断误差R：对于每一点（x"n）都趋近于零， 则该差分方程（LAu ）；=。逼近偏微分方程LAu = 0,差分方程与偏微分方 程是相容的。2 收敛性（Convergence差分方程收敛性是讨论当Ax、AtT。时，差分方程数值解逼近于 偏微分方程精确解的程度。定义：差分方程（LAu j =。数值解为u；，偏微分

17、方程LAu = 0的精 确解为u,它们之间的误差用e；表示，则e；=u-un称为离散化误差。收敛性定义：节点（xp,tp ）为偏微分方程求解区域。内任意一点， 当xTxp,tTtp时，差分方程数值解u；逼近于偏微分方程的精确解u, 即e； =u -u； =0 ,则差分方程收敛于该偏微分方程。3 稳定性（Stability）由于差分方程的求解是以步进方式进行的，在逐步推进的过程 中，误差也逐步积累。若这种误差积累保持有界，则差分方程是稳定 的，若这种误差积累无界则差分方程是不稳定的。稳定性是讨论在计算过程中，某一时刻某一点产生计算误差，随 着计算时间增加，误差是否能被抑制的问题。当数值求解差分方

18、程时，计算误差总是不可避免的。计算误差包 括舍入误差、离散误差和初值误差。设偏微分方程精确解为 u ,数值 解为uj,则计算误差定义为：.nnn n n n . nj = u - uj = （u- uj） （uj - uj 广 ejr=|zh nn旦.声菩g日尹-n n n旦.令入4早妾A十q u-uj正罔目乂株左， uj -uj正舌八株左。定义：在某一时刻tn,差分方程的计算误差为&n,若在tn*时刻满 足:|/|弘|司|或|药|.k国条件，则该差分方程是稳定的。上述可知，稳定性反映出差分方程在时间进程中的特性，收敛性反应差分方程在空间位置上的特性，它们体现了差分方程的内在特 性。L

19、ax定理给出了收敛性和稳定性的关系。Lax定理：对于适定和线性的偏微分方程的初值问题，若逼近它 的差分方程与它是相容的，则差分方程的稳定性是保证差分方程收敛 性的充分和必要条件。在第二步中，求解差分方程组一般采用 Gauss消去法、追赶法、 迭代法、交替方向隐式差分法(ADI法)、隐式近似因式分解法(AF 法)等，上述消去法和追赶法对求解离散后的代数方程组没有特别的 优势，采用迭代法来求解方程组在收敛速度上有一定的优势。迭代法基本思路为：首先对求解的未知量给一个预测值，代入代数方程组， 它一定不满足方程组。利用一些特性对预测值进行修正，并把修正后 的预测值再代入方程组，它仍不满足方程组。再修正预测值，再代入 方程组，通过不断迭代过程，直到收敛于数值解。迭代法还分为Gauss-Seide迭代法，简称为G-S迭代法，具有形 式简单，收敛速度较快的特点。假设求解过程是按x和y增长方向进 行，于是在求点(")的值时，在(i-1，j)和(i,j-i)点上的值实际上已经 求出。G-S迭代法基本思路是把已经求的的值， 立即代入迭代式中去。 它的迭代差分格式为：p 1 pp t pU史=A(UT山"顷如一1如"L松弛迭代法是对G-S迭代法的一种改进。其差分格式为:p