椭圆中的焦点三角形及求离心率问题含答案

1、椭圆中的焦点三角形及求离心率问题1、若椭圆方程为X +普=1，ZPFiF2= 90°,试求zPFiF2的面积. 4 3【解】椭圆方程土 + y = 1,知a = 2, c= 1,由椭圆定义,得|PFi|+|PF2|= 2a= 4,且|FiF2| = 2,在4 3 PF1F2中,/ PF1F2= 90 .L |PF2|2= |PF1|2 + |F1F2从而(4- |PF1|)2= |PF1f+ 4,贝U|PF1|=|,133因此， PF1F2= 2 IF1F2I |PF1| = 2.故所求 PF1F2 的面积为 2 22X V2、设F1 , F2是椭圆-+ %= 1的两个焦点,P是椭圆

2、上的点，且|PF1| : |PF2|= 2： 1,则 F1PF29 4的面积等丁( B ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 1【解】 由椭圆方程，得 a = 3, b= 2, c=寸5,二 |PF1|+|PF2| = 2a = 6, 乂|PF1| ： |PF2| = 2： 1, |PF1| =4, |PF2|= 2,由 22 + 42= (2寸5)2 可知， F1PF2 是直角三角形，故 F1PF2 的面积为 1|PF1| |PF2|=； X4X 2= 4,故选 B.223、过椭圆余+ #= 1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆丁点P, F2为右焦点，若Z F1PF2

3、 = 60°，则椭圆的离心率为.【解】由题意，A PF1F2为直角三角形，且Z F1PF2= 60°,所以|PF2| = 2|PF1|.设|PF1|= x,则|PF2|= 2x,|F1F2|=屈乂 |F1F2| = 2c,所以 x=专.即 |PF|=专，|PF2|=备.由椭圆的定义知，|PF1|+|PF2|= 2a, 所以金+专=2a，即。=a=孚4、 已知椭圆的两焦点为Fa F2, A为椭圆上一点，且AF1 AF2 = 0, ZAF2F1 = 60°,则该椭圆的 离心率为.一 一【解】. AF1 AF2 = 0, - AF1 X AF2，且 ZAF2F1 = 6

4、0 .设 |FF2|= 2c, .|AF1|= V3c, |AF2|= c.由椭圆c 2正乂知："73c + c= 2a 即(a/3+ 1)c= 2a. . e= = 3+ = i3-1.5、 椭圆的短轴的一个顶点与两焦点组成等边三角形，则它的离心率为(A )A 1c 1八1c .2A.2B.3C.4D.2"226、设椭圆为+脂=1(a>b>0)与x轴交丁点A,以OA为边作等腰三角形OAP,其顶点P在椭圆a b上，且Z OPA= 120°,求椭圆的离心率.【解】设A(a,0),点P在第一象限，由题意，点P的横坐标是芸，设Pjj y j,由点P在椭圆上，

5、得告23北、祭旗+ ¥= 15 y2= 4任，即 P|,写b !, 乂Z OFA= 120°，所以Z POA= 30°,故 tanZ POA= 3 ,所2g 曲uc 如b2 V(3bf b2 瓯Wa =3b，所以 e= a= =3b = 3 7、以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆， 交椭圆丁四个不同的点，顺次连结这四个点与两焦点, 恰好组成一个正六边形，求这个椭圆的离心率.【解】 如图，设椭圆两焦点为Fi, F2,与正六边形其中两个交点为A, B,并设正六边形边长为 m,则根据正六边形的性质有：Z FAB= 120°, |OFi| =m,根据余弦定理 Fi

6、B2= m2 + m2 2m m cos 120° = 3m2, . . FiB=V3m, 乂 2a= FiB+ BF2=V3m+ m,a =性m, 乂 c= m, a=T =媚 T ,即椭圆的离心率为. 1.2 m228、已知椭圆C:%= 1(a>b>0)的左焦点为F, C与过原点的直线相交丁 A, B两点，连结AF,a b43546BF.若AB|= 10,|BF|= 8,cosZ ABF = 5,则 C 的离心率为(B )A.5B.7C.5D.-【解】 在ABF 中，|AF|2= |ABf+|BF|2 2|AB| |BF| cosZABF= 102+ 82-2X 10X 8X4= 36,贝U|AF| =6.由|AB|2= |AF|2+|BF|2可知， ABF是直角三角形，OF为斜边AB的中线，c= |OF|=罗 =5.设椭 圆的另一焦点为Fi,因为点。平分AB,