概率论与数理统计测试题

1、选择题第6章参数估计21 .设Xi,X2,.,Xn是来自正态总体X的简单随机样本，X的分布函数F(x; 0 )中含未知参数，则(A)用矩估计法和最大似然估计法求出的。的估计量相同(B)用矩估计法和最大似然估计法求出的。的估计量不同(C)用矩估计法和最大似然估计法求出的0的估计量不一定相同为未知参数，！? = X , % =X,卜面结论哪个是错误的。(A) ?i = X是的无偏估讨(B)片2 =Xi是H的无偏估讨(C)?i =X比抻2 =Xi有效(D)i n-z (Xi -P)2是b2的最大似然估计量 n i w3.设Xi,X2,.,Xn是来自正态分布总体N( a , b2)的简单随机样本，其中

2、数学期望已知,则总体方差b 2的最大似然估计量是n- c(A) -EgX)2In i住(B)瑚(Xi -X)2 n i皂(C) £ (X1)2n T i 4(D)(D)用最大似然估计法求出的。的估计量是唯一的2.设Xi,X2,.,Xn是来自正态总体X的简单随机样本，EX= , DX= b 2,其中4.已知总体X在区间0,。上均匀分布，其中。是未知参数，设 Xi,X2,.,Xn是来自X的简单随机样本，X是样本均值，X(n) =max X,.，Xn是最大观测值，则下列选项错误的是(A) X(n)是。的最大似然估计量(B)X (n)是。的无偏估计量(C) 2X是。的矩估计量(D)2X是0的

3、无偏估计量5.设总体 XN( i, b 2),总体 YN(2, b 2), Xi,X2,.,Xm和 Y1,Y2,.,Yn分别是来自总体 X和Y的简单随机样本，样本方差分别为SX与SY2 ,则b 2的无偏估计量是(A) sX +S2(B) (m1)SX 十(n1)SY2(d) (m1)SX 十(n1)S；6. 设X是从总体X中取出的简单随机样本X1,X2,.,Xn的样本均值，则X是H的矩估计,如果(A) XN( , b 2)(B) X服从参数为的指数分布(C) P (X=m ) = (1- 广1 , m=1,2，(D) X服从0, 上的均匀分布填空题1 .假设总体X服从参数为入的泊松分布,X1,

4、X2,.,Xn是取自总体X的简单随机样本，其7均值、方差分别为 X , S2 ,如果 = aX +(2 3a)S2为入的无偏估计，贝U a=2 .已知 任、&为未知参数0的两个无偏估计，且0?与&不相关， D&=4D乱，如果 另=a+b底也是。的无偏估计，且是 、携所有同类型线性组合无偏估计中有最小方差，b=的，则a=3.设总体X的概率密度为f(x)=*0(1x)/, o<x<1, 皿十地、，曰、，则。的矩估计重为0, 其它，4.设X1,X2,.,Xn是取自总体X的简单随机样本，且 EX= , DX=其均值、方差分别为.时,(X)2 -cS2是2的无偏估计。

5、5.设Xi,X2,.,Xn是取自总体X的简单随机样本，且 EX= , DX=(T 2na£ X： +b(X)2 的i =1数学期望等于b 2,则a=，b=解答题0,OXU1,其中0 >-1是未知参数X1,X2,Xn其它，是来自总体X的一个容量为n的简单随机样本,分别用矩估计法和最大似然估计法求计量。2.设某种元件的使用寿命 X的概率密度为 f(x)=*2e'(x-r x :-,廿,其中0 >0是未知参数,0, 其它，。的最大似然估计量。x1,x2,xn是来自总体X的一组样本观测值，求3.设总体X的概率分布为X0123Pe22 0 (1- 0 )e21-2 0其中0

6、 (0<0 <1/2)是未知参数，利用总体X的如下样本值：3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3,求。的矩估计值和最大似然估计值。4.设某种元件的寿命 X (单位：小时)服从双参数的指数分布，其概率密度为A芋 f(x；，p)=jge , X*, 其中。，H (>0)为未知参数。0, 其它，自一批这种器件中随取 n件进行寿命试验，设它们的失效时间分别为X1,X2,.,Xn，求0 ,的最大似然估计量。e"(x/X2、5.设总体x的概率密度为f(x；e)=° ,苴/ 。为未知参数，Xi,X2,.,Xn为取自1X的一个样本，证明：阈=X1 ,但=minX，.

7、，Xn是。的两个无偏估计量，并n比较哪个更有效。 .设总体X的概率密度为f (x； 6) = </(" X), 0<x<6, Q为未知参数， 0, 其它，X1,X2,., Xn为取自X的一个样本，(1)求。的矩估计量 呼；(2)求的方差D& (3)讨论&的无偏性。7. 某人作独立重复射击，每次击中目标的概率为p,他在第X次射击时，首次击中目标。(1) 试写出X的分布律；(2) 以此X为总体，从中抽取简单随机样本X1, X2,., Xn，试求未知参数p的矩估计量和最 大似然估计量。8. 设从均值为k ,方差为b2的总体中分别抽取容量为m,山的两个独立样

8、本，样本均值分别为X和Y。试证：对于任意满足条件a+b=1的常数a和b, T =aX +bY是的无偏估计量，并确定a, b,使得方差DT达到最小。选择题1. C填空题参考答案4. B5. D 6. A1 . 1/2解答题2. 0.2, 0.83. &=1/X-14. 1/n5. 1/(n-1), -n/(n-1)112X -11.解：(1) EX = x(e +1)x%x=，所以令EX = X，解得。的矩估计量# = =0 21 - Xnn(2)似然函数为L(e)=n f(xi；a) =(8+1)n(n xli =4旧其对数似然函数为In L(" =1； f (x) =nln

9、( 1) xi),i AJ考虑d In L(。d 口nr In xii T=0,解得徵=1 nn；寸In x一于是0的最大似然估计量为彳=1 一n一nx In Xii日2.解：似然函数为nL(” =Hi dn气x。f(X；e"2ne -0,xi _ Li = 1,.,n其它，n L(e) = « 2 en2' g 2n Ui-, mi n%,. .xn) -。,0,其它，由上面形式可得 =minx，.,xn时，似然函数达到最大值，于是。的最大似然估计量为呼=minX1,.,Xn。3.解：（1） EX =34日，所以令EX =x = 2，解得9的矩估计值 彳=；4(2

10、)似然函数为L(b) =e228(1 8)2e2(1 26)4 =486(1 8)2(1 2B)4,其对数似然函数为In L(” =In 4 6In2In(1 -勺 4In(1 -2),d In LP)628 八 e曰 q 1 “、考虑 =一 =0，解得 *=一(7 713)。d【1-口 1-2口124.解：似然函数为<n1f(Xi；日/) = 二 e-,60,Xi成：二，i = 1,.,n其它，其对数似然函数为1 ninL(e,u)=nlne-吕事o,n.，,min为,.*,其它，由上面形式可得 口 = min x1 ,.,xn时，InL达到最大值。同时，考虑=告*吾_的=0,解得-吧

11、于是。，的最大似然估计量为R = min Xi,.,Xn；建=又一 min X1,.,Xn o5. 证明：EX =xe-'clx=8 +1 , EX2=jx 2e# $dx= 82 +28+ 2 , DX=1 ,于是E =EX1 =6+11 =8 ,即 用=X1为。的无偏估计量；人.，、，ne项J"xNB令X=min X,.，Xn，则X(i)的概率笞度为f(1)(x)=°,其；从而 EX =j:xnexdx =6+1，所以 & = min X1,., Xn -1 也为 0 的无偏估计-nn量；又 D =DX =】，D& =DX (1) = EX (2

12、) (EX )2 =冬，当 n>1 时nn& =min X,.，Xn己比 4 = X 1 更有效。n)6 x .1 - 一 一 . o _6. 解：(1) EX = | xr( -x)dx= 6，所以令 EX =X，解得。的矩估计量 V=2X ；0 u32(2) EX 2 = fx2 竺(臼x)dx =邑62, DX = EX2 -(EX)2 =【82,故0 必1020D = 4dX =上1 ； 5n(3) 由于E& = 2EX=e,即t?为。的无偏估计量。7. 解:(1) X 的分布律为:P(X=x)=p(1-p) x-1, x=1,2，1(2)p的矩估计量：EX=1/p，令EX = X，解得？=;Xnx -np的最大似然估计量：L( p) = p (1 - p) ,从而对数似然函数为In L(p) = nln p + (乏 Xi n) ln(1 - p