二次函数与三角形的面积问题.

1、二次函数与三角形的面积问题【教学目标】1.能够根据二次函数中不同图形的特点选择合适的方法解答图形的面积。2.通过观察、 分析、 概括、总结等方法了解二次函数面积问题的基本类型，并掌握二次函数中面积问题的相关计算，从而体会数形结合思想和转化思想在二次函数中的应用。3. 掌握利用二次函数的解析式求出相关点的坐标， 从而得出相关线段的长度， 利用割补方法求图形的面积。【教学重点和难点】水平宽铅垂高1.运用 s；22. 运用 y ；3. 将不规则的图形分割成规则图形，从而便于求出图形的总面积。【教学过程】类型一：三角形的某一条边在坐标轴上或者与坐标轴平行例 1. 已知：抛物线的顶点为 D（1， -4

2、），并经过点 E（ 4， 5），求 :（ 1）抛物线解析式；（ 2）抛物线与 x 轴的交点 A、B，与 y 轴交点 C；（ 3）求下列图形的面积 ABD 、 ABC 、 ABE 、 OCD 、 OCE。解题思路：求出函数解析式_ ；写出下列点的坐标：A_；B_； C_；求出下列线段的长：AO_；BO_； AB_；OC_。求出下列图形的面积ABD 、 ABC 、 ABE 、 OCD 、 OCE。一般地，这类题目的做题步骤：1. 求出二次函数的解析式；2. 求出相关点的坐标；3. 求出相关线段的长；4. 选择合适方法求出图形的面积。变 式 训 练1. 如 图 所 示 ， 已 知 抛 物 线 yax

3、 2bxc a0 与 x 轴 相 交 于 两 点A x1,0，B x2 ,0x1x2 ，与 y 轴负半轴相交于点C，若抛物线顶点P 的横坐标是1，A、 B 两点间的距离为4，且 ABC的面积为 6。（ 1）求点 A 和 B 的坐标；y（ 2）求此抛物线的解析式；（ 3）求四边形 ACPB的面积。ABOxCP类型二： 三角形三边均不与坐标轴轴平行，做三角形的铅垂高。（歪歪三角形拦腰来一刀）水平宽铅垂高关于1S的知识点：如图，过 ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的2三条直线，外侧两条直线之间的距离叫的“水平宽”(a) ，中间的这条直线在内部线段的ABCABC长度叫 ABC的“铅垂高 ( h)

4、” . 我们可得出一种计算三角形面积的新方法：S ABC1 ah ，即三角形2面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.铅垂高想一想：在直角坐标系中，水平宽如何求？铅垂高如何求？hBC水平宽a图 1例 2如图 2，抛物线顶点坐标为点C( 1, 4), 交 x 轴于点 A( 3, 0) ，交 y 轴于点 B. (1) 求抛物线和直线 AB 的解析式； (2)点 P 是抛物线 (在第一象限内 )上的一个动点，连结PA，PB，当 P 点运动到顶点C时，求 CAB 的铅垂高 CD 及 S CAB ；(3) 是否存在一点 P，使 S PAB=9P 点的坐SCAB ，若存在，求出8标；若不存在，请说明理由 .yC

5、解题思路：求出直线 AB的解析式是为了求出D 点的纵坐标 yD ；BD铅垂高 CDyCyD ，注意线段的长度非负性；分析P 点在直线AB1xO1A的上方还是下方?图 - 2变式训练2. 如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（2，0），连结OA，将线段OA绕原点O顺时针旋转120°，得到线段OB. （ 1）求点B 的坐标；（ 2）求经过A、O、B 三点的抛物线的解析式；（ 3）在（ 2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使 BOC的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由. （ 4）如果点P 是（ 2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么PAB是否有最大面积？若有，

6、求出此时P 点的坐标及PAB 的最大面积；若没有，请说明理由.yyBBCDAOxAOxP变式训练 3. 如图，抛物线 yx 2bx c 与 x 轴交于 A(1,0),B(-3，0) 两点，（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）设（ 1）中的抛物线交y 轴于 C 点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得 QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由. （3）在（ 1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使 PBC的面积最大？，若存在，求出点P 的坐标及 PBC的面积最大值 . 若没有，请说明理由 .yPyCCQBABAOxE Ox(2)(3)一般地，所谓的铅垂高度，实际上就

7、是横坐标相同的两个点的纵坐标差的绝对值，数学表达式为CDyCyD 。为了保证这个差值是正数，同学们可以用在铅垂线上靠上点的纵坐标减去靠下点的纵坐标.因此，求出点D 的坐标，是求铅垂高度CD的关键；所谓的水平宽，实际上就是，两个点的横坐标差的绝对值，数学表达式为ABxAxB . 为了保证这个差值是正数，同学们可以用这两个靠右点的横坐标减去靠左点的横坐标. 因此，求出点A、 B 的坐标，是求水平宽的关键 .在解这类存在性问题时，通常先假设所要的点是存在的，然后利用给出的条件，认真加以推理求解.【自主练习 】1已知如图，矩形OABC的长 OA= 3 ，宽 OC=1，将 AOC沿 AC翻折得 APC。（ 1）填空：PCB=_度， P 点坐标为（， ）；（ 2）若P， A 两点在抛物线y=4x2 +bx+c 上，求b， c的值，并说明点C 在此抛物线上；3（ 3）在（ 2）中的抛物线 CP段（不包括 C，P 点）上，是否存在一点 M，使得四边形 MCAP的面积最大？若存在，求出这个最大值及此时M点的坐标；若不存在，请说明理由。第1题图2如图，已知抛物线y ax2bx3a0）与x轴交于点A(1，0)和点B (30)，与y轴交（ ，于点 C (1)求抛物线的解析式；(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点