二次函数与几何综合压轴题题型归纳.

1、一 基础构图：yy= x22 x3 （以下几种分类的函数解析式就是这个）和最小，差最大在对称轴上找一点P，使得PB+PC的和最小，求出 P点坐标在对称轴上找一点P，使得PB-PC的差最大，求出 P点坐标B OAxCDy求面积最大连接 AC, 在第四象限找一点P，使得ACP 面积最大，求出P 坐标BOAxCD讨论直角三角连接AC,在对称轴上找一点，使得ACP 为直角三角形，P求出 P 坐标或者在抛物线上求点P，使 ACP 是以 AC 为直角边的直角三角形yBOAx 讨论等腰三角连接 AC, 在对称轴上找一点P，使得ACP 为等腰三角形，CD求出 P坐标y 讨论平行四边形1、点 E 在抛物线的对称

2、轴上，点F 在抛物线上，且以 B， A， F ，E 四点为顶点的四边形为平行四边形，求点F 的坐标B OAxC二 综合题型D例 1(中考变式）如图，抛物线 yx 2bx c 与 x 轴交与 A(1,0),B(-3，0) 两点，顶点为 D。交Y轴于C(1) 求该抛物线的解析式与 ABC 的面积。(2) 在抛物线第二象限图象上是否存在一点 M ，使 MBC 是以 BCM 为直角的直角三角形， 若存在，求出点 P 的坐标。若没有，请说明理由(3) 若 E 为抛物线 B、C 两点间图象上的一个动点 (不与 A 、B 重合 )，过 E 作 EF 与 X 轴垂直 ，交 BC于 F，设 E 点横坐标为x.E

3、F 的长度为L ，求 L 关于 X 的函数关系式？关写出X 的取值范围？当 E 点运动到什么位置时，线段EF 的值最大，并求此时E 点的坐标？(4) 在（5）的情况下直线BC 与抛物线的对称轴交于点H 。当 E 点运动到什么位置时,以点 E 、F、H 、D 为顶点的四边形为平行四边形？(5) 在（ 5）的情况下点E 运动到什么位置时，使三角形BCE 的面积最大？例 2考点： 关于面积最值如图，在平面直角坐标系中，点A、 C 的坐标分别为 ( 1，0) 、( 0， 3 ) ，点 B 在 x 轴上已知某二次函数的图象经过A、B、C 三点，且它的对称轴为直线x1，点 P 为直线 BC 下方的二次函数

4、图象上的一个动点（点P 与 B、 C 不重合），过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 F（ 1）求该二次函数的解析式；y（ 2）若设点 P 的横坐标为 m，试用含 m 的代数式表示线段PF 的长；（ 3）求 PBC 面积的最大值，并求此时点P 的坐标A OFBxCPx 1例 3考点：讨论等腰如图，已知抛物线y12 bxc 与 y 轴相交于 C，与 x 轴相交于 A、 B，点 A 的坐标为（ 2， 0），2x点 C 的坐标为（ 0， 1）（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）点 E 是线段 AC 上一动点，过点 E 作 DE x 轴于点 D ，连结 DC，当 DCE 的面积最大时，求点 D 的

5、坐标；（ 3）在直线BC 上是否存在一点P，使 ACP 为等腰三角形，若存在，求点P 的坐标，若不存在，说明理由yyBOAxDBOAxCEC备用图例 4 考点：讨论直角三角 如图，已知点A （一 1，0）和点 B（ 1， 2），在坐标轴上确定点 P，使得 ABP 为直角三角形，则满足这样条件的点P共有（）(A） 2个（B） 4个 （C）6个（ D） 7个 已知：如图一次函数y 1 x 1 的图象与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B；二次函数y1 x222bx c 的图象与一次函数y1 x1 的图象交于 B、C 两点，与 x 轴交于 D、E 两点且 D 点坐标为（1，20）（ 1）求二次函

6、数的解析式；（ 2）求四边形 BDEC 的面积 S；（ 3）在 x 轴上是否存在点P，使得 PBC 是以 P 为直角顶点的直角三角形？若存在，求出所有的点P，若不存在，请说明理由yC2BxAODE例 5考点：讨论四边形已知：如图所示，关于 x 的抛物线 y ax 2 x c（ a 0）与 x 轴交于点 A（ 2， 0），点 B（6， 0），与 y 轴交于点 C（ 1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标；（ 2）在抛物线上有一点D，使四边形ABDC 为等腰梯形，写出点D 的坐标，并求出直线AD 的解析式；（ 3）在（ 2）中的直线 AD 交抛物线的对称轴于点 M，抛物线上有一动点 P，x 轴上

7、有一动点 Q是否存在以 A、M、P、Q 为顶点的平行四边形？如果存在，请直接写出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由yCAOBx综合练习：1、平面直角坐标系xOy中，抛物线yax24ax4ac 与x 轴交于点A、点B，与y 轴的正半轴交于点 C，点A 的坐标为 (1, 0)，OB OC，抛物线的顶点为D 。(1) 求此抛物线的解析式；(2) 若此抛物线的对称轴上的点P 满足 APB ACB ，求点 P 的坐标；(3) Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于 AQB 的平分线的对称点为 A ，若 QA QB 2 ，求点 Q 的坐 标和此时 QAA 的面积。2、在平面直角坐标系 xOy 中，已知

8、二次函数 y ax2 +2ax c 的图像与 y 轴交于点 C 0，3，与 x 轴交于 A、 B 两点，点 B 的坐标为3，0 。（ 1） 求二次函数的解析式及顶点D 的坐标；（ 2） 点 M 是第二象限内抛物线上的一动点，若直线OM 把四边形 ACDB 分成面积为1 ：2的两部分，求出此时点M 的坐标；（ 3） 点 P 是第二象限内抛物线上的一动点，问：点P 在何处时 CPB 的面积最大？最大面积是多少？并求出此时点P 的坐标。3、如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y2 x2 2x 与 x 轴负半轴交于点 A ，顶点为 B ，m且对称轴与 x 轴交于点 C 。（ 1）求点 B 的坐标（

9、用含 m 的代数式表示） ；（ 2） D 为 OB 中点，直线 AD 交 y 轴于 E ，若 E （ 0，2），求抛物线的解析式；（ 3）在（2）的条件下，点M在直线OB上，且使得AMC的周长最小，P 在抛物线上，Q 在直线 BC 上，若以A、M 、 P、 Q 为顶点的四边形是平行四边形，求点P 的坐标。4、已知关于 x 的方程 (1 m) x2(4 m) x3 0 。（1） 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；2m满足 8 2m2，设二次函数y(1m) x2(4 m) x 3 的图象与 x 轴交于（ ） 若正整数A、 B 两点，将此图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分

10、保持不变，得到一个新的图象； 请你结合这个新的图象回答：当直线 ykx3 与此图象恰好有三个公共点时，求出 k 的值（只需要求出两个满足题意的k 值即可）。5 如图，抛物线 y=ax 2+2ax+c （ a0）与 y 轴交于点 C（ 0， 4），与 x 轴交于点 A（ 4，0）和 B（ 1）求该抛物线的解析式；（ 2）点 Q 是线段 AB 上的动点，过点 Q 作 QE AC ，交连接 CQ当 CEQ 的面积最大时，求点 Q 的坐标；BC于点E，（ 3）平行于 x 轴的动直线 l 与该抛物线交于点 P，与直线 AC 交于点 F，点 D 的坐标为（ 2， 0）问是否有直线 l ，使 ODF 是等腰

11、三角形？若存在，请求出点 F 的坐标；若不存在，请说 明理由三、中考二次函数代数型综合题题型一、抛物线与x 轴的两个交点分别位于某定点的两侧2例 1已知二次函数y x ( m 1) x m 2 的图象与x 轴相交于A（ x1， 0）， B（ x2， 0）两点，且x1 x2（ 1）若 x1x2 0，且 m为正整数，求该二次函数的表达式；（ 2）若 x1 1，x2 1，求 m的取值范围；（ 3）是否存在实数m，使得过 A、 B 两点的圆与 y 轴相切于点C（ 0， 2），若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由；（ 4）若过点 D（0，1）的直线与（ 1）中的二次函数图象相交于M、 N两点，且MD

12、12DN 3，求该直线的表达式题型二、 抛物线与x 轴两交点之间的距离问题例 2 已知二次函数y= x 2+mx+m-5 ，（ 1）求证：不论 m取何值时，抛物线总与 x 轴有两个交点；（ 2）求当 m取何值时，抛物线与 x 轴两交点之间的距离最短题型三、抛物线方程的整数解问题例 1已知抛物线yx22(m1)xm20 与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且m 5，则整数m的值为 _例 2已知二次函数 yx 22mx 4m8（ 1）当 x 2 时，函数值 y 随 x 的增大而减小，求 m 的取值范围；（ 2）以抛物线 y x2 2mx4m8 的顶点 A 为一个顶点作该抛物线的内接正AMN （M，

13、N 两点在拋物线上） ，请问： AMN的面积是与 m 无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由；y（ 3）若抛物线 y x22mx 4m8 与 x 轴交点的横坐标均为整数，求整数 m 的值Ox题型四、抛物线与对称，包括：点与点关于原点对称、抛物线的对称性、数形结合A例 1已知抛物线yx2bxc （其中 b>0， c 0）与 y 轴的交点为A，点 A 关于抛物线对称轴的对称点为B(m,n)，且 AB=2.(1) 求 m,b 的值(2) 如果抛物线的顶点位于 x 轴的下方，且 BO= 20 。求抛物线所对应的函数关系式（友情提醒：请画图思考）题型五、抛物线中韦达定理的广泛应用（

14、线段长、定点两侧、点点关于原点对称、等等）例 1已知：二次函数 yx24x m 的图象与 x 轴交于不同的两点A（ x1 ，0）、B（ x2 ，0）（ x1 x2 ），其顶点是点C，对称轴与 x 轴的交于点 D（ 1）求实数 m的取值范围；（ 2）如果（ x1 +1）（ x2 +1） =8，求二次函数的解析式；（ 3）把（ 2）中所得的二次函数的图象沿y 轴上下平移，如果平移后的函数图象与x 轴交于点 A1 、B1 ，顶点为点 C1，且 A1 B1C1 是等边三角形，求平移后所得图象的函数解析式综合提升1已知二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点 （ 0，4），且 | 23，图象的ABC

15、AB对称轴为 x1（1）求二次函数的表达式；（2）若二次函数的图象都在直线yx 的下方，求的取值范围mm2已知二次函数2y x mx m 2（1）若该二次函数图象与x 轴的两个交点A、 B分别在原点的两侧，并且AB5，求 m的值；（2）设该二次函数图象与y 轴的交点为 C，二次函数图象上存在关于原点对称的两点M、N，且 S MNC 27，求的值m223. 已知关于 x 的一元二次方程 x 2( k 1) x k 0 有两个整数根， k 5 且 k 为整数（1）求 k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于22x 的二次函数 y x 2( k 1) x k 的图象沿 x 轴向左平移4

16、个单位，求平移后的二次函数图象的解析式；（3）根据直线b与（ 2）中的两个函数图象交点的总个数，求b的取值范围y x4已知二次函数的图象经过点A（ 1， 0）和点 B（2， 1），且与 y 轴交点的纵坐标为 m（1）若 为定值，求此二次函数的解析式；mx 轴还有异于点 A 的另一个交点，求m的取值范围；（2）若二次函数的图象与（3）若二次函数的图象截直线y x 1 所得线段的长为 22，求 m的值四、中考二次函数定值问题1. （ 2012 江西南昌 8 分） 如图，已知二次函数 L1：y=x 2 4x+3 与 x 轴交于 A B 两点（点 A 在点 B左边），与 y 轴交于点C（ 1）写出二次

17、函数L1 的开口方向、对称轴和顶点坐标；（ 2）研究二次函数L2： y=kx 2 4kx+3k （k0）写出二次函数L2 与二次函数L1 有关图象的两条相同的性质；若直线y=8k 与抛物线L2 交于 E、 F两点，问线段EF 的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由2. （ 2012山东潍坊 11 分）如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A( 2， O)、 B(2 ， 0) 、 C(0， l)三点，过坐标原点O的直线 y=kx 与抛物线交于 M、N 两点分别过点 C、 D(0， 2) 作平行于 x 轴的直线 l、 l21(1) 求抛物线对应二次函数的解析式；(2) 求证以

18、 ON为直径的圆与直线 l1 相切；(3)求线段 MN的长 ( 用 k 表示 ) ，并证明M、 N 两点到直线l2 的距离之和等于线段MN的长3. （ 2012 浙江义乌12 分） 如图 1，已知直线y=kx 与抛物线 y=4x2+22x 交于点 A（ 3，6）273（ 1）求直线 y=kx 的解析式和线段 OA的长度；（ 2）点 P 为抛物线第一象限内的动点，过点P 作直线 PM，交 x 轴于点 M（点 M、O不重合），交直线OA于点 Q，再过点Q作直线 PM的垂线，交y 轴于点 N试探究：线段QM与线段 QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由；（ 3）如图 2，若点 B 为抛物线上对称轴右侧的点，点E 在线段 OA上（与点 O、 A 不重合），点 D（ m，0）是 x 轴正半轴上的动点，且满足BAE=BED=AOD继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？4（ 2011?株洲）孔