第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数.

1、数学数学第三篇三角函数、解三角形第三篇三角函数、解三角形( (必修必修4 4、必修、必修5)5)数学数学六年新课标全国卷试题分析六年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布图高考考点、示例分布图命题特点命题特点1.1.从高考题型、题量来看从高考题型、题量来看, ,一般有两种方式一般有两种方式: :三个小题或一个小题另加一个解答题三个小题或一个小题另加一个解答题, ,分值上分值上大约占大约占1717分左右分左右. .2.2.客观题主要考查客观题主要考查: :三角函数的定义三角函数的定义, ,图象与图象与性质性质, ,同角三角函数关系同角三角函数关系, ,诱导公式诱导公式, ,和、差、和、差、倍角公

2、式倍角公式, ,正、余弦定理等知识正、余弦定理等知识. .3.3.难度较大的客观题难度较大的客观题, ,主要在知识点的交汇处主要在知识点的交汇处命制命制, ,如向量与三角的结合、正、余弦定理与如向量与三角的结合、正、余弦定理与三角恒等变换的结合等三角恒等变换的结合等, ,主要考查数形结合、主要考查数形结合、转化与化归思想转化与化归思想. .4.4.解答题涉及知识点较为综合解答题涉及知识点较为综合. .在一个解答题在一个解答题中涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换中涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见与解三角形知识较为常见. .数学数学第第1 1节任意角和弧度制及任意节任意

3、角和弧度制及任意角的三角函数角的三角函数数学数学最新考纲最新考纲2.2.能进行弧度与角度的互化能进行弧度与角度的互化. .3.3.理解任意角的三角函数理解任意角的三角函数( (正正弦、余弦、正切弦、余弦、正切) )的定义的定义. . 1.1.了解任意角的概念和弧度了解任意角的概念和弧度制的概念制的概念. . 数学数学知识链条完善知识链条完善考点专项突破考点专项突破易混易错辨析易混易错辨析数学数学知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来【教材导读【教材导读】1.1.终边相同的角一定相等吗终边相同的角一定相等吗? ?提示提示: :不一定不一定, ,因为终边相同的角有无数个因为

4、终边相同的角有无数个, ,它们之间相差它们之间相差360360的整的整数倍数倍. .2.2.若已知角若已知角终边上任意一点终边上任意一点P(x,yP(x,y)()(原点除外原点除外),),你能用你能用x,yx,y表示角表示角的正弦、余弦、正切吗的正弦、余弦、正切吗? ?数学数学知识梳理知识梳理1.1.角的有关概念角的有关概念(1)(1)角的形成角的形成角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置 到另一个位置到另一个位置所成的所成的 . .正角：按方向旋转而成的角按旋转方向不同分类 负角：按方向旋转而成的角(2)角的分类零角：射线没有旋转象限角：角的终边

5、在第几象限，这个角就是第几象限角按终边位置不同分类轴线角：角的终边落在坐逆时针顺时标针轴上(3)(3)所有与角所有与角终边相同的角终边相同的角, ,连同角连同角在内在内, ,可构成一个合可构成一个合:S=|:S=|= = 或或|=+2k,k|=+2k,kZ Z.图形图形+k+k360360,k,kZ Z旋转旋转角的正负由方向确定角的正负由方向确定角的象限由终边确定角的象限由终边确定数学数学2.2.弧度制弧度制(1)(1)定义定义长度等于长度等于 的弧所对的圆心角叫做的弧所对的圆心角叫做1 1弧度的角弧度的角. .弧度记作弧度记作rad.rad.半径长半径长(3)(3)规定规定正角的弧度数是一个

6、正角的弧度数是一个 , ,负角的弧度数是一个负角的弧度数是一个 , ,零角的弧度数是零角的弧度数是0.0.正数正数负数负数记住公式，记住公式，注意换算注意换算数学数学(2)(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正一全正, ,二正弦二正弦, ,三正切三正切, ,四余弦四余弦. .(3)(3)几何表示几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示. .正弦线的起点都在正弦线的起点都在x x轴轴上上, ,余弦线的起点都是原点余弦线的起点都是原点, ,正切线的起点都是正切线的起点都是(1,0).(1,0).如图中有向线段如图

7、中有向线段MP,OM,ATMP,OM,AT分别叫做角分别叫做角的的 、余弦线、余弦线、 . .正弦线正弦线正切线正切线角的三角函数角的三角函数由点的坐标来定义由点的坐标来定义注意：是有向线段！注意：是有向线段！数学数学(4)(4)终边相同的角的三角函数终边相同的角的三角函数: :sin(+ksin(+k2)= 2)= ,cos(+kcos(+k2)= 2)= ,tan(+ktan(+k2)= 2)= ( (其中其中kkZ Z),),即终边相同的角的同一三角函数的值相等即终边相同的角的同一三角函数的值相等. .sin sin coscos tan tan 数学数学夯基自测夯基自测B B确定角的终

8、边位置确定角的终边位置数学数学D D确定象限，后求值确定象限，后求值数学数学3.3.若若sin 0,sin 0,tan 0,则则是是( ( ) )(A)(A)第一象限角第一象限角 (B)(B)第二象限角第二象限角(C)(C)第三象限角第三象限角 (D)(D)第四象限角第四象限角解析解析: :由由sin 0sin 0tan 0知知的终边在第一或第三象限的终边在第一或第三象限, ,故故是第三象限角是第三象限角. .C C逐个判断，后求交集逐个判断，后求交集数学数学4.4.若若与与的终边关于的终边关于x x轴对称轴对称, ,则有则有( ( ) )(A)+(A)+=90=90(B)+(B)+=90=9

9、0+k+k360360,k,kZ Z(C)+(C)+=2k=2k180180,k,kZ Z(D)+(D)+=180=180+k+k360360,k,kZ Z解析解析: :因为因为与与的终边关于的终边关于x x轴对称轴对称, ,所以所以=2k=2k180180-,k-,kZ.Z.C C数学数学5.5.弧长为弧长为3,3,圆心角为圆心角为135135的扇形半径为的扇形半径为, ,面积为面积为.答案答案: :4 466准确利用公式准确利用公式数学数学考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识 象限角与终边相同的角象限角与终边相同的角考点一考点一可用列举法，也可可用列举法，也可根据根据

10、k为奇数偶数分析为奇数偶数分析答案答案: :(1)B(1)B数学数学答案答案: :(2)(2)一、三、四一、三、四利用不等式的性质确定范围，利用不等式的性质确定范围，然后判断象限然后判断象限数学数学反思归纳反思归纳 (1)(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角, ,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合, ,然后通过对集合中然后通过对集合中的参数的参数k k赋值来求得所需的角赋值来求得所需的角. .(2)(2)利用终边相同的角的集合利用终边相同的角的集合S=|S=|=2k+,k=2k+,k

11、Z Z 判断一个角判断一个角所所在的象限时在的象限时, ,只需把这个角写成只需把这个角写成0,2)0,2)范围内的一个角范围内的一个角与与22的整数的整数倍的和倍的和, ,然后判断角然后判断角的象限的象限. .数学数学数学数学弧度制及扇形面积公式的应用弧度制及扇形面积公式的应用考点二考点二【例【例2 2】 已知扇形的圆心角是已知扇形的圆心角是,半径是半径是r,r,弧长为弧长为l,l,(1)(1)若若=100=100,r=2,r=2,求扇形的面积求扇形的面积; ;转换为弧度制后直接套用公式转换为弧度制后直接套用公式数学数学(2)(2)若扇形的周长为若扇形的周长为20,20,求扇形面积的最大值求扇

12、形面积的最大值, ,并求此时扇形圆心角的并求此时扇形圆心角的弧度数弧度数. .利用二次函数求最值利用二次函数求最值数学数学数学数学【即时训练】【即时训练】 (2015(2015莆田模拟莆田模拟) )已知扇形的面积为已知扇形的面积为2,2,扇形圆心角的弧度扇形圆心角的弧度数是数是4,4,则扇形的周长为则扇形的周长为( () )(A)2(A)2(B)4(B)4(C)6(C)6(D)8(D)8数学数学三角函数的定义及应用三角函数的定义及应用考点三考点三【例【例3 3】 (1)(2016(1)(2016汉中模拟汉中模拟) )已知角已知角的终边经过点的终边经过点(3a-9,a+2),(3a-9,a+2)

13、,且且coscos 0,sin 0, 0,sin 0,则实数则实数a a的取值范围是的取值范围是( () )(A)(-2,3(A)(-2,3(B)(-2,3)(B)(-2,3)(C)-2,3)(C)-2,3)(D)-2,3(D)-2,3答案答案: :(1)A(1)A 利用定义求三角函数，利用定义求三角函数，列不等式组求交集列不等式组求交集数学数学(2)(2015(2)(2015济南质检济南质检) )已知角已知角终边经过点终边经过点P(2sin 2,-2cos 2),P(2sin 2,-2cos 2),则则sin sin =.答案答案: :(2)-cos 2(2)-cos 2定义法求！定义法求！

14、数学数学反思归纳反思归纳 (1)(1)三角函数定义中的关键是求三角函数定义中的关键是求r,r,若终边上的点同时在若终边上的点同时在单位圆上单位圆上, ,则则r=1.r=1.(2)(2)根据三角函数定义中根据三角函数定义中x,yx,y的符号来确定各象限三角函数的符号的符号来确定各象限三角函数的符号, ,理解理解并记忆并记忆:“:“一全正、二正弦、三正切、四余弦一全正、二正弦、三正切、四余弦”. .数学数学【即时训练【即时训练】 sin 2cos 3tan 4sin 2cos 3tan 4的值的值( () )(A)(A)小于小于0 0(B)(B)大于大于0 0(C)(C)等于等于0 0(D)(D)

15、不存在不存在解析解析: :因为因为sin 20,cos 30,sin 20,cos 30,所以所以sin 2sin 2cos 3cos 3tan 40.tan 40.故选故选A.A.数学数学备选例题备选例题【例【例1 1】 已知锐角已知锐角的终边上一点的终边上一点P(sinP(sin 40 40,1+cos 40,1+cos 40),),则锐角则锐角等于等于( () )(A)80(A)80(B)70(B)70(C)20(C)20(D)10(D)10数学数学数学数学答案答案: : 数学数学【例【例4 4】 (2015(2015临沂模拟临沂模拟) )顶点在原点顶点在原点, ,始边在始边在x x轴的

16、正半轴上的角轴的正半轴上的角,的终边与圆心在原点的单位圆交于的终边与圆心在原点的单位圆交于A,BA,B两点两点, ,若若=30=30,=60,=60, ,则弦则弦ABAB的长为的长为.数学数学易混易错辨析易混易错辨析 用心练就一双慧眼用心练就一双慧眼利用定义求三角函数值的误区利用定义求三角函数值的误区【典例【典例】 (2015(2015杭州模拟杭州模拟) )已知角已知角的终边在直线的终边在直线3x+4y=03x+4y=0上上, ,则则5sin 5sin +5cos +4tan =+5cos +4tan =.数学数学答案答案: :-2-2或或-4-4数学数学易错提醒易错提醒: :(1)(1)本题在求解时容易忽略本题在求解时容易忽略r=5|t|,r=5|t|,直接写成直接写成5t,5