多元复合函数的求导法则PPT学习教案

1、会计学1多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则).(),(),(tgfytgxxfy 一元复合函数求导的链式法则一元复合函数求导的链式法则txxytydddddd y x t推广推广: :多元复合函数求导的链式法则多元复合函数求导的链式法则1. 中间变量均为一元函数中间变量均为一元函数; ;2. 中间变量均为多元函数中间变量均为多元函数; ;3. 中间变量既有一元函数又有多元函数中间变量既有一元函数又有多元函数. .第1页/共26页情形情形1 复合函数的复合函数的中间变量均为一元函数中间变量均为一元函数且有且有可导可导在点在点则则具有连续偏导数具有连续偏导数在对应点在对应点可导可导都在点

2、都在点如果如果, )(),( , ),( ),( , )(),( tttfzvuvufzttvtu 变量关系图变量关系图zuvt.dd称为全导数称为全导数tztvvztuuztzdddddd 第2页/共26页 , 则则若若ttt ),()( ),()(tttvtttu ),(),()(),(ttfttttfz , ),( ),( 具有连续偏导数具有连续偏导数在点在点因为因为vuvufz , )( ovvzuuzz 所以所以.)()( 22vu 其中其中 ,)(totvvztuuztz 证证得得上上式式两两边边同同除除, t 第3页/共26页, 0 时时当当 ttuddtotvvztuuztz

3、)( tvdd0.ddddlimdd 0tvvztuuztztzt 推广推广.ddddddddtwwztvvztuuztz ztuvwto )( )( o )()(22tvtu (t0 时时, ,根式前加根式前加“”号号) )第4页/共26页.dd,cos,e,sintztwtvuwuvzt求求设设 twwztvvztuuztzdddddddd 1cos)sin(e wtuvt.cos)sin(cosetttt 例例1解解:ztuvw, vuz ,uvz ,coswwz ,ddtetu ,sinddttv , 1dd tw第5页/共26页情形情形2 复合函数的复合函数的中间变量均为多元函数中间

4、变量均为多元函数且有且有可微可微在点在点函数函数则复合则复合具有连续偏导数具有连续偏导数在对应点在对应点微微可可都在点都在点如果函数如果函数, ),( ),(),( , ),( ),( , ),( ),(),( yxyxyxfzvuvufzyxyxvyxu 变量关系图变量关系图zuvxy,xvvzxuuzxz .yvvzyuuzyz 第6页/共26页推广推广:变量关系图变量关系图,xwwzxvvzxuuzxz .ywwzyvvzyuuzyz ).,( ),( ),( ),(yxwyxvyxuwvufz zuvxyw第7页/共26页.,sine yzxzyxvxyuvzu 求求设设xvvzxuu

5、zxz yvvzyuuzyz 1cosesine vyvuu).cos()sin(eyxyxyxy 1cosesine vxvuu).cos()sin(eyxyxxxy 例例2解解zuvxy第8页/共26页情形情形3 中间变量为一元或多元函数中间变量为一元或多元函数且有且有的偏导数均存在的偏导数均存在和和关于关于件下件下类似的条类似的条那么在满足与情形那么在满足与情形数数复合成二元函复合成二元函设设, , 2 ),(),( )(),(),( yxzyyxfzyvyxuvufz 变量关系图变量关系图zuvxy,xuuzxz .ddyvvzyuuzyz 第9页/共26页.,e),arcsin(2y

6、zxzyvxuuvzy 求求设设zuvxyxuuzxz ,e1ee1242222yyyyxyvuv yvvzyuuzyzdd .e1e)2(242yyyxxyy 例例3解解yvuuxvuvy21e12222 第10页/共26页两者的区别两者的区别特别地特别地, 复合函数的某些中间变量本身又是函数的自变量复合函数的某些中间变量本身又是函数的自变量, 如如).,(),(yxuyxufz zuxy的偏导数的偏导数看作常数而对看作常数而对中的中的把复合函数把复合函数xyyxyxfz,),( 的偏导数的偏导数看作常数而对看作常数而对及及中的中的把把xyuyxufz),( xfxuufxz yfyuufy

7、z 则为了防止记号的混淆则为了防止记号的混淆, 有有第11页/共26页.,sin,e 2222yzxzyxuzuyx 求求设设,sin,e),( 2222yxuuyxfzuyx 令令xfxuufxz 222222e2sin2e2uyxuyxxyxu yfyuufyz 222222e2cose22uyxuyxyyxu ,e )sin21(22422sin22yxyxyxx .e )cossin(22422sin4yxyxyyxy 例例4解解fuxy第12页/共26页.dd,cos,e,sintztvutuvzt求全导数求全导数设设 tftvvftuuftz ddddddttuvtcossine

8、tttttcossinecose .cos)sin(cosetttt 例例5解解:vfut则则令令 .sin),( tuvtvufz 第13页/共26页例例6. ,)( ),( xyzyzyxzxuFxyxFxyz 证证明明为为可可导导函函数数设设证明证明: :).( , uxFxyzxyu 则则令令Fuxy)()(uFxxuFyxz xuuFxuFy )()(),()(xyFxyxyFy 第14页/共26页).( , uxFxyzxyu Fuxy)(uFyxxyz yuuFxx )().(xyFx )()()( xyFxyxyFxyxyFyxyzyxzx )(2xyFxy .xyz 第15页

9、/共26页.,),( 2)2(zxxCfxyzzyxf 求求设设 ).,( , , vufxyzvzyxu 则则令令xvvfxuufx ,vfyzuf )()(2vfyzufzxzzx .)()(vfyvfzyzufz 例例7解解xyz uv第16页/共26页.)()(2vfyvfzyzufzzx zvufvzuufuufz )()()(.222vufxyuf zvvfvzuvfuvfz )()()(.222vfxyuvf xyzuf uvyxzvf uv第17页/共26页),(),(xyzzyxfvuf , , , , , 2212122222221121那么那么记记uvffvuffvffu

10、ffvffuff .)(222212112f yf zxyfzxyfzx .)( 2222222vfyvfzxyvufzxyufzx 代入得代入得第18页/共26页,xyvxyu )1(213fxfxx ),(),(3vufxyxyfxz 例例8. 已知已知解解: 令令具有连续的二阶具有连续的二阶偏导数偏导数,求求.,22yzyz 则则)(213yvfyufxyz ),(2214fxfx )()(222121211422yvfyufxyvfyufxyz .222123115fxfxfx fuvxy第19页/共26页二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性设函数设函数),(, ),(, ),(y

11、xvyxuvufz 的全微分为的全微分为yyzxxzzddd xxvvzxuuzd)( yyvvzyuuzd)( uz vz uz 可见无论可见无论 u , v 是自变量还是中间变量是自变量还是中间变量, )dd(yyuxxu )dd(yyvxxv 则复合函数则复合函数) (fz ),(, ),(yxyx udvz vd都可微都可微, , 其其全微分表达全微分表达 形式都一样形式都一样, 这性质叫做这性质叫做全微分形式不变性全微分形式不变性.第20页/共26页 )cos( )sin(yxyxeyx 例例2 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例9利用全微分形式不变性再解例利用全微分形

12、式不变性再解例2. 解解: :) (dd zuveudsin xyxyxyeyxd)cos()sin( )cos()sin(yxyxyexzyx )cos()sin(yxyxxeyzyx 所以所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx )(dyx)(dyx yyxyxxeyxd )cos()sin( )d(dyx )dd(yxxy 第21页/共26页.dd,cos,e,sintztvutuvzt求全导数求全导数设设 )sin(ddtuvz )(sind)(dtuv ttvuuvdcosdd tttttdcos)sin(cose 例例10解解:利用全微分形式不变性再解

13、例利用全微分形式不变性再解例5:ttteetttdcos)(cosd)(dcos ttttettettdcosdsindcos .cos)sin(cosdd tttetzt 第22页/共26页例例11., ,),( zuyuxufzyyxfu 求求具有一阶连续偏导数具有一阶连续偏导数设函数设函数解解: :)(d),()(d),(d 21zyzyyxfyxzyyxfu 2221ddddzzyyzfyyxxyf zfzyyfzfyxxfyd d)1 (d 1222121 ,1 1fyxu ,1212fzfyxyu .22fzyzu 第23页/共26页1. 复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则“分段用乘分段用乘,分叉用加分叉用加,单路全导单路全导,叉路偏导叉