多元复合函数的求导法则62876PPT学习教案

1、会计学1多元复合函数的求导法则多元复合函数的求导法则628762第1页/共33页3复合函数的中间变量均为一元函数的情形.第2页/共33页4证 明见教材,在此省略.)(),(),(tvtuvufz .定理,)()(可导可导都在点都在点及及如果函数如果函数ttvtu ),(),(vuvufz在对应点在对应点函数函数 ,)(),(可导可导在对应点在对应点则复合函数则复合函数tttfz 且其导数可用下列公式计算: tzdd多元复合函数的求导法则具有连续偏导数, tuuzdd.ddtvvz 第3页/共33页5复合函数的中间变量多于两个的情况.定理推广 tzdduvwtz导数tzdd变量树图(关系图) 三

2、个中间变量),(wvufz 如如)(),(),(twwtvvtuu uz vz tudd wz tvdd twdd 称为多元复合函数的求导法则第4页/共33页6例 设 求xydd这是幂指函数的导数,但用全导数公式较简便.法二 xyddyuvx,)(cossin xxy 解 法一,cosxu 令令)(cosln)sin(1xuuxvuvv tancosln)(cos2sin1xxxx vuy 则则可用取对数求导法计算.,sin xv xuuyddxvvydd 多元复合函数的求导法则第5页/共33页7复合函数的中间变量均为多元函数的情形.第6页/共33页8多元复合函数的求导法则),(),(),(y

3、xvyxuvufz ).,(),(yxyxfz 复合函数为,xvvzxuuzxz ),(),(),(yxyxvyxu都在点都在点及及如果如果 ,的偏导数的偏导数和和具有对具有对yx在对在对且函数且函数),(vufz ),(vu应点应点则复合函数),(),(yxyxfz 的两个的两个在对应点在对应点),(yx偏导数存在, 且可用下列公式计算中间变量为多元函数具有连续偏导数,的情形.yvvzyuuzyz 第7页/共33页9uvxzy xz uzxu vzxv yz uzyu vzyv 变量树图uv多元复合函数的求导法则),(),(yxyxfz 第8页/共33页10解 xz uzxu vzxv 1c

4、ossin veyveuu).cos()sin(yxyxyexy yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cos()sin(yxyxxexy 多元复合函数的求导法则,sinyxvxyuvezu 设设.yzxz 和和求求第9页/共33页11中间变量多于两个的情形 xz yz类似地再推广,),(),(),(yxwyxvyxu 设设,),(的偏导数的偏导数和和处具有对处具有对都在点都在点yxyx复合函数),(),(),(yxyxyxfz 在对应点),(yx的两个偏导数存在, 且可用下列公式计算:三个中间变量两个自变量vuwzwvuyx xuuz xvvzxwwz yuuz yvv

5、zywwz 多元复合函数的求导法则第10页/共33页12例 设,1222wvuz xz 解)()(23222wyvxuxwyx 自己画变量树uwvuuz2)(2123222 xxu2 求,2222yxvyxu .2xyw xwwzxvvzxuuzxz 多元复合函数的求导法则第11页/共33页13复合函数的中间变量既有一元,又有多元(混合型)函数的情形第12页/共33页14),(),(yxuyxufz 其中其中即,),(yxyxfz xz yz两者的区别区别类似多元复合函数的求导法则.xwwzxvvzxuuzxz 把复合函数,),(yxyxfz 中的y看作不变而对x的偏导数),(yxufz 把中

6、的u及y看作不变而对x的偏导数ywwzyvvzyuuzyz xuufuvw xv xw yv. 1, 1, 0, 0 yw,xf yuuf.yf 第13页/共33页15,xz yz 解xfxuufxz yfyuufyz zuxyxy变量树图)sin(yxeu )sin(yxeu 多元复合函数的求导法则y )cos(yxeu x 求而,),sin(xyuyxezu )cos(yxeu 第14页/共33页16 设 f具有二阶连续偏导数, ,22xu 求求.2txu 变量树图ursxtxssfxrrf 或记 sfxtrfx 22 u对中间变量 r,s 的偏导数 ),(22xttxfu 注从而也是自变

7、量x, t 的复合函数. 解),(srf都是r, s 的函数, 对抽象函数在求偏导数时, 一定要设中间变量.多元复合函数的求导法则sr xu,1frf 2fsf ,rf sf 第15页/共33页17sfxtrfx 22xu .2442322422222sfxtsfxtsrfxtrfxrf rfxu 222ursxt变量树图,22xu 求求.2txu rs 设 f具有二阶连续偏导数, ),(22xttxfu x2 )2xt sfxt 322xt 多元复合函数的求导法则 srf 2)2x rsf 2(22rf x2 (22sf 2xt 第16页/共33页18rs.21242232222222sfx

8、trsfxtsfxsrfrfxt ursxt变量树图 txu2,22xu 求求.2txu 设 f具有二阶连续偏导数, ),(22xttxfu sfxtrfx 22xu sfx 212xt )122xsf trfx2(222 多元复合函数的求导法则)1x (rsf 2t 2 srf 2第17页/共33页19多元复合函数的求导法则解具有二阶连续偏导数, 且满足, 12222 vfuf),(21,),(22yxxyfyxg 又又.2222ygxg 求求vu,xvfyufxg 2003年考研数学三, 8分).(yvfxufyg 故 22xg.2222222222vfvfyvufxyufxyg ,222

9、22222vfvfxvufxyufy yufy22( )2xvuf vf ),2yuvf xvfx22( 22yx ),(vuf第18页/共33页20由,)1(22 yuxu.)2(2222yuxu sin,cosryrx 解 ),(yxfu现将22 yuxu2222yuxu , r用用),( rF 把下列表达式转换为极坐标系中的形式:),(yxfu 设 的所有二阶偏导数连续,)sin,cos( rrf函数),(yxfu 换成极坐标 及及r的函数:及 以及函数),( rFu , r对 的偏导数来表达.多元复合函数的求导法则第19页/共33页21复合而成. xu2ryurxru ruxyruru

10、 sincos cos xrrx sin (1)看成由看成由),(yxfu xyarctan ,22yxr ),( rFu 及 xrruxu 22)1( yuxu多元复合函数的求导法则第20页/共33页22 yu2rxuryru ruru cossin sin yrry cos 2221 urru得22 yuxu yrruyu xyarctan ,22yxr ),( rFu ruxy xururu sincos 多元复合函数的求导法则第21页/共33页23ruruxu sincos (2) 22xur sin ruxyru u)sincos(rurux ru2ru 2),(yxfu 设 的所有

11、二阶偏导数连续x 2222)2(yuxu cos多元复合函数的求导法则22ru xr x )sin( 22 u x xr sin)1(2r x xr r1 cos cos xrrx sin 第22页/共33页24 ururrurrurru222222222cossin2sinsincossin2cos同理可得 ururrurrurruyu222222222222cossin2coscoscossin2sin多元复合函数的求导法则 sin yrry cos 第23页/共33页25两式相加,得:22222222211 urrurruyuxu)(1222 ururrrr多元复合函数的求导法则第24页

12、/共33页26),(vufz 设函数设函数具有连续偏导数, 则有全微分;dddvvzuuzz ,),(),(时时当当yxvyxu 则有全微分,dddyyzxxzz xvvzxuuz yvvzyuuz yyuxxuuzdd yyvxxvvzdduuzd .dvvz 全微分形式不变性多元复合函数的求导法则第25页/共33页27解0)2(d zxyeze)(dxyexy zezd)2(yexexeyezzxyzxyd)2(d)2(d xz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe例, 02 zxyeze已知已知.yzxz 和和求求zd2 zezd 0 )dd(xyyxexy 通过全微分求所有一阶偏

13、导数,比链导法则求偏导数有时会显得灵活方便.多元复合函数的求导法则第26页/共33页281992年研究生考题,计算,5分yxz 2求求 解,sin yeux 22yxv xzxfv2 yxz2yefxucos )2yfuv x2yyef yyexuuxsin(2cossin2 uxvvuvf yefxyfyx cos4)cosyexsin )2yfvv 设yefxusin yefxuucos( 多元复合函数的求导法则连续的二阶导数,有其中设),(),sin(22vufyxyefzx yefxvucos( 第27页/共33页29) )1 ,1(,1()1(ff )(dd3xx 1)1 ,1( f

14、xxdd)(32 3 ),(,(1xxfxf )(,(,(2xxfxf ),(1xxf ),(2xxf 351 , 1)1 , 1( f,),(,()(xxfxfx ,2)1 , 1( xf求.1)(dd3 xxx ),(yxfz 在点(1,1)处可微,且设函数,3)1 , 1( yf解2 3)32( 2001年考研数学一, 6分多元复合函数的求导法则由题设1 x1 x 1 x第28页/共33页30多元复合函数求导法则 (链式求导法则)全微分形式不变性多元复合函数的求导法则“分段用乘, 分叉用加, 单路全导,叉路偏导”, ),(vufz 对不论 u , v 是自变量还是中间变量,vvufuvufzvud),(d),(d 第29页/共33页31即即次齐次函数次齐次函数是是设设,),(kzyxf),(),(zyxfttztytxfk 则结论则结论为某一常数为某一常数, );,()(zyxfkzfzyfyxfxA );,()(zyxfzfzyfyxfxBk );,()(zyxkfzfzyfyxfxC ).,()(zyxfzfzyfyxfxD C多元复合函数的求导法则正确的是( ).第30页/共33页32思考题解答),(),(zyxfttztytxfk 令,txu ,tyv ,tzw 则),(),(zyxfttztytxfk ),()