多元函数积分PPT学习教案

1、会计学1多元函数积分多元函数积分2第五章第五章 多元函数积分学多元函数积分学重积分重积分l 二重积分的应二重积分的应用用l 三重积三重积分分第1页/共27页3,(求求体体积积 计计算算的的基基本本方方法法二二重重积积分分的的应应用用 计计算算技技巧巧 恰恰当当选选择择坐坐标标系系计计算算利利用用对对称称性性奇奇偶偶性性简简化化, 恰恰当当选选择择投投影影法法一、复习一、复习分分积积重重三三)曲曲面面面面积积 ,定定义义 几几何何意意义义),(球球面面柱柱面面直直角角 截截面面法法第2页/共27页41 1、二重积分的应用、二重积分的应用(1) 体体积积之之间间曲曲顶顶柱柱体体的的与与区区域域在在

2、曲曲面面Dyxfz),( DyxyxfV.dd),(设设S曲面的方程为曲面的方程为:),(yxfz 则其面积为则其面积为 ;dd122yxAxyDyzxz (2) 曲面面曲面面积积体体积积为为返回返回第3页/共27页52 2、三重积分的定义、三重积分的定义 vzyxfd),(.),(lim10iiiniivf 3、三重积分的几何意义、三重积分的几何意义,1),(时时当当 zyxf4 4、三重积分的性质、三重积分的性质类似于二重积分的性质类似于二重积分的性质.表表示示空空间间区区域域 Vvf d 的体积的体积返回返回第4页/共27页65 5、三重积分的计算、三重积分的计算.);()();,(),

3、(:2121bxaxyyxyyxzzyxz .d),(ddd),()()(),(),(2121 baxyxyyxzyxzzzyxfyxvzyxf.,),(),(21czcDyxzyxz .dd),(dd),(21 zDccyxzyxfzvzyxf(1) 直角坐标直角坐标返回返回第5页/共27页7 .,sin,coszzryrx (2) 柱面坐标柱面坐标.ddd),sin,cos( zrrzrrf ,ddddzrrv vzyxfd),(变换公式变换公式返回返回第6页/共27页8 .cos,sinsin,cossin rzryrx,dddsind2 rrv zyxzyxfddd),( .dddsi

4、n)cos,sinsin,cossin(2 rrrrrf(3) 球面坐标球面坐标变换公式变换公式返回返回第7页/共27页9例例1 1与与由由其中其中，计算计算22)(yxzdvzx 解解利用球面坐利用球面坐标标的奇的奇为为面对称面对称关于关于xxzyxfyoz ),(, . 0 , xdv所以有所以有函数函数 zdvdvzx)( 1024020sincosdrrrdd .8 二、典型例题二、典型例题所围成所围成221yxz 第8页/共27页10例例2 2. 1:222 zyxdvez，计算计算 解解为圆域为圆域截面截面的函数的函数被积函数仅为被积函数仅为)(,zDz 10)(2dzedxdyz

5、zD 102)1(2dzezz .2 故采用截面法故采用截面法,1222zyx 上上dvedvezz2第9页/共27页11三、练习题三、练习题一、选择题一、选择题, . 1 zdvI计计算算1, 222 zyxz为为其其中中 101020 )(zdzrdrdIA 11020 )(rzdzrdrdIB 11020 )(rrdrdzdIC zzrdrddzID02010 )( 围成的立体围成的立体, ,则正确的解法为则正确的解法为( )( )和和( ).( ).第10页/共27页12内部内部包含在圆柱包含在圆柱曲面曲面 2 . 22222xyxyxz 22 )D( 5 )C( 2 )B( 3 )A

6、() ( S的那部分面积的那部分面积第11页/共27页13二、计算下列三重积分二、计算下列三重积分: : 1 球球体体 , 1:222 zyx求三重积分求三重积分 .dxdydzx 11123,)3tansin( 2zyxydvxzyeI设设3. I求求2平面上曲线平面上曲线是由是由其中其中xoydvzy ,)(225 22 xxxy面面轴旋转而成的曲面与平轴旋转而成的曲面与平绕绕.所围成的区域所围成的区域第12页/共27页1422yxz 与与4 z4 求求围成立体的体积围成立体的体积. . 5 设设是由是由 22yxz 和和 1 z所围成所围成, ,将将积分积分 dxdydzzyxf),(化

7、为球面坐标系化为球面坐标系下下的累次积分的累次积分. .第13页/共27页15直角坐标、柱面坐标与球面坐标系下的三直角坐标、柱面坐标与球面坐标系下的三7 将三重积分将三重积分 dvzyxfI),(分别化为分别化为. )(3, 4 :22222yxzzyx 6 计算三重积分计算三重积分 .)(22222212221111 yxyxxxdzzyxdydxI次积分次积分, ,其中其中第14页/共27页16与与由锥面由锥面求求 , 222zyxzdxdydz 由圆柱面由圆柱面求求 , 22 dxdydzyxzI89. 围成的闭区域围成的闭区域平面平面hz 在第一卦限在第一卦限与平面与平面0, 0222

8、 yazzxyx. 所围成的闭区域所围成的闭区域第15页/共27页17四、解答四、解答一一 选择题选择题返回返回dxdyzzSxyDyx 22)()(1 )2( 2 dxdyxyD 2积分区域关于三个积分区域关于三个是奇函数是奇函数利用被积函数利用被积函数, . 1x. 0 dxdydzx二、计算题二、计算题返回返回, 0 ,故积分为故积分为坐标面都对称坐标面都对称第16页/共27页18的曲面的曲面为为.222xzy 的交线为的交线为与平面与平面椭圆抛物面椭圆抛物面 5 222 xxzy 51022xzy: yzDyoz 面上投影得投影区域面上投影得投影区域向向将将 1022 zy返回返回xx

9、y22 平面上曲线平面上曲线 xoy、2绕绕 轴旋转而成轴旋转而成第17页/共27页19 3250 rdrrrd 201004225 dxzydydzdvzyyzDzy 52222222)(返回返回第18页/共27页20 11123,)3tansin(2zyxydvxzyeI3.的奇的奇是是的奇函数，的奇函数，是是由于被积函数由于被积函数xxyytan sin3面都对称，面都对称，积分区域关于三个坐标积分区域关于三个坐标函数函数, 11123)3tansin(2zyxydvxzyeI则则.24233 返回返回 1113zyxdv第19页/共27页214.22yxz 与与4 z围成立体的体积为围

10、成立体的体积为 , 4 : 22 yxDxy其中其中 202042.8rdzrdrd返回返回 422yxDdzdxdydvVxy第20页/共27页22 coxrfdd104020,cossin(sin5、 2040104sin6drrdd、返回返回)221(52 返回返回drrrr2)cos,sinsin 第21页/共27页237. . 直角坐标：直角坐标： 2222224)(31111),(yxyxxxdzzyxfdydxI柱面坐标：柱面坐标： 2431020),sin,cos(rrrdzzrrfdrdI 球面坐标：球面坐标： 206020,sinsin,cossin( rrfddI返回返回drrr sin)cos2第22页/共27页24 zdxdyzdzzdxdydzh 0用截面法：用截面法： . 8 4402hdzzzh 返回返回第23页/共27页25法一：投影法：法一：投影法： . 9dxdydzyxzI 22 xyDdxdyayx2222返回返回,0 ,2 :22azxyxDxy dzyx