复变函数吉大PPT学习教案

1、会计学1复变函数吉大复变函数吉大2n第1页/共59页3第2页/共59页4n y 称为复数的虚部，记为 y = Im(z)第3页/共59页5n.义）n 复数的历史(参考)第4页/共59页6 从复数 z = x + i y 的定义可知，复数是 由一对有序实数 (x , y) 惟一确定的. 于是可建立全体复数和xOy平面上的全 部点之间的一一对应关系.),(i:2yxyxzRC 称 xOy 平面的x 轴为实轴，y 轴为虚轴. 把和复数建立了一一对应关系的平面称 为复平面或 z 平面. 复数的几何表示第5页/共59页7 在复平面上，把复数 z = x + iy 和平面 点P(x , y)当作同义语。

2、复数 z = x + i y 还可以用以原点为起点, P (x , y)为终点的向量 来表示.OP 向量的长度称为 z 的模或绝对值.22|yxrz 第6页/共59页8当z 0时，向量 与正实轴的夹角称 为复数的辐角，记为 则有OP. ArgzxyArgz )tan(当z 0时，若1为复数 z 的一个辐角， 则1+2n 也是复数 z 的辐角，因此， 任何一个复数 z 0 都有无穷多个辐 角，记为)., 2, 1, 0( 21 nnArgz 当z = 0时,z= 0，辐角不确定. 第7页/共59页9 满足 的辐角0称为Arg z的 主值，记作0 = arg z. 于是有 0 ).,( argAr

3、g2102 nnzz 复数的三角表示式与指数表示式 利用直角坐标与极坐标的关系 ,sin,cos ryrx )sini(cosi ryxz称为复数 z 的三角表示式.第8页/共59页10利用欧拉公式： 又可以得到 sinicosi e i)sini(cosrerz 称为复数的指数表示式. 复数的各种表示法可以相互转换，可 根据需要使用不同的复数表示式.第9页/共59页11复数的运算 加法和减法两个复数 ，111yxzi 222yxzi )( i)(212121yyxxzz 乘法 ),i()-( )i)(i(12212121yxyxyyxxyxyxzz 221121复数运算方法与多项式 (运算律

4、)相同.第10页/共59页12共轭复数称 为 的共轭复数yxzi yxzi 共轭复数有下列性质z 与 关于实轴对称.z2121zzzz 2121zzzz )0(22121 zzzzz22222ImReyxzzzzz zz 第11页/共59页13zzzRe2 zzzImi 2 )(i )i)(i()i)(i(ii02222221122222212122222211221121 zyxyxyxyxyyxxyxyxyxyxyxyxzz复数除法 为实数为实数zzz 第12页/共59页14复数三角表示式与指数表示式的积商 设有两个非零复数 z1、z2. 111111 i)sini(coserrz 222

5、222 i)sini(coserrz 乘法 )( iii2121212121 errererzz)sinicos21212121 （）（rrzz第13页/共59页15定理 两个复数乘积的模等于它们模的 乘积, 两个复数乘积的辐角等于它们辐 角的和.2121 zzzz 2121zzzzArgArg)(Arg 注意 由于辅角的多值性，上式中的等式是两个无限集合意义下的相等，即对于Arg(z1z2)的任一值，一定有Argz1及Argz2的各一值与之对应，使得等式成立；反过来也是一样 .第14页/共59页16除法 )isin()cos()( iii1212121212121212 rrerrererz

6、z1212 zzzz 定理 两个复数商的模等于它们模的商， 两个复数商的辐角等于它们辐角的差.1212zzzzArgArgArg 第15页/共59页17复数的幂)sini(cos nnrznn nininsincos)sin(cos 上式又称为棣莫弗公式 ( r = 1 ).)sin(i)cos()sini(cos)sini(cos nnrnnrzznnnn 001(n为整数)第16页/共59页18复数的方根若复数 wn = z ，则称复数 w 为 z 的 n次方根，记为 . 设nzw )sini(cos rz)sini(cos w)sini(cos)sini(cos rnnnnkknrn 2

7、 2,1 则有第17页/共59页19)1, 1 , 0()2sini2(cos1 nknknkrzwnn 复数 w 为 z 的 n次方根为 可得到n个不同的值，在几何上， 这n个值是以原点为中心， 为半径的 圆的内接正n边形的n个顶点.nznr1第18页/共59页20例题已知 ，求z 的值. 0i14 z)4sini4(cos2i14 z解)3 , 2 , 1 , 0(424sini424cos28 kkkz列出各值(略)第19页/共59页21求方程 的根. 014 z解sinicos14 z41 z)3 , 2 , 1 , 0(42sini42cos kkk列出各值(略)第20页/共59页2

8、2复球面及无穷大 复球面(参见教材，引入惟一无穷远点) 无穷远点与无穷大 复平面上，与原点距离为无穷大的点，我们称之为“无穷远点”，记为.关于无穷远点，我们规定其实部、虚 部、辐角无意义，并且规定，复平面上 有惟一的“无穷远点” ， . |复平面加上无穷远点称为扩充复平面.第21页/共59页23第二节 复变函数区域的概念 邻域 复平面上，以 z0 为中心，以 0为半径的圆的内部的点的集合称为点z0的一个邻域 0 zz这里讲的定义, 本质上与高数中的相同.第22页/共59页24内点与开集设G为一点集，z0为G中的任意一点.若存在点 z0 的一个邻域完全包含在G内，则称 z0 为G的内点.若G内的

9、每个点都是它的内点，则称G为开集.区域设点集D满足下列两个条件：D是开集；D是连通的，即D中任何两点都可以用一条完全属于D的折线连接起来.则称D为一个区域（连通的开集）.第23页/共59页25与区域相关的几个概念设D为一个区域，若点P的任意邻域内， 既有属于D的点，也有不属于D的点， 则称P为D的边界点.区域D与它的边界一起构成闭区域或闭 域，记作 .DD的所有边界点称为D的边界.若存在正数M, 使区域D的每个点 z 都满 足 ，则D称为有界区域，否则称 为无界区域. Mz 第24页/共59页26区域举例圆盘| z z0 | r 是无界区域，又是无穷远 点的一个邻域.第25页/共59页27若

10、x(t) 和 y(t) 是两个连续实变函数，则 x = x(t)，y = y(t) (a t b ) 代表一条平面连续曲线.如果令平面曲线的概念 )( )(i)()(btatytxtzz 那么这条曲线就可以用一个方程来表示，称为平面曲线的复数表示式.第26页/共59页28若在a t b上 都是连续的, 且 , 则称此曲线 为光滑曲线. )()(tytx 和和0 )()()( ty itxtz由几段光滑曲线连接而成的曲线称为按 段光滑曲线.曲线C : z = z(t) (a t b) 为一条连续曲 线，z(a)与z(b )分别是C 的起点和终点. 对于满足a t1 0, 存在0，当0 z z0

11、时，有 Azf)(则称A为f (z)当z 趋向于z0时的极限,记作 Azfzz )(lim0第35页/共59页37应该注意，定义中z 趋向于z0的方式是 任意的，即不论 z 从什么方向，以何 种方式趋向于z0，f (z)都要趋向于同一 个常数 A. 第36页/共59页38极限的计算定理 Azfzz)(lim000000i,i),(i),()(yxzvuAyxvyxuzf 设则0),(lim00uyxuyyxx 0),(lim00vyxvyyxx 定理的证明略(一个复变函数的极限是 两个二元实变函数的极限). 第37页/共59页39实变函数中关于极限的运算法则，对于复变函数来说也成立.极限的运算

12、法则 定理: 若 , Azfzz )(lim0Bzgzz )(lim0;)()(lim0BAzgzfzz ;)()(lim0ABzgzfzz ).0( )()(lim0 BBAzgzfzz第38页/共59页40复变函数的连续性 若 ，则称f (z)在 z0处连续，若f (z)在区域D内处处连续，则称f (z)在D内连续. ）0()(lim0zfzfzz 处连续的充要条件是 在(x0 , y0)处连续. 000 ),(),()(iyxzyxivyxuzf 在在),(),(yxvyxu和和第39页/共59页41连续函数的和、差、积、商为连续函数.连续函数的复合函数为连续函数.函数f (z)在曲线C

13、上 z0 点处连续是指 Czzfzfzz )()(lim00在闭曲线或包括曲线端点在内的曲线段 上连续的函数 f (z), 在曲线上是有界的， 即存在一正数M，在曲线上恒有 Mzf )(第40页/共59页42第41页/共59页43设函数 w = f (z) 定义在区域 D内，z0与 z0+z 均是 D内的点.若极限 zzfzzfz )()(lim000存在，则称 f (z)在 z0可导，这个极限值称为f (z)在 z0的导数，记作 )(0zf zzfzzfzwzfzzz )()(limdd)(00000 第42页/共59页44注意，复变函数的导数的定义，虽然 在形式上和实变函数的导数的定义类

14、似, 但实质上却有很大的差别. 在复变函数的导数的定义中，在复平 面上 z 0 方式是任意的；而在一元 实变函数的导数定义中，只要求x在 实轴上沿左与右两个方向趋于零. 因此 复变函数的导数要求更严格.若f (z)在区域D内处处可导，则f (z)称 在D内可导. 第43页/共59页45例题求 f (z) = z2 的导数.解zzfzzfzfz )(lim)(0）（zzzz2)2(lim0 zzzzz 220)(lim第44页/共59页46对于复平面内的任意一点 z zzfzzfzfz )(lim)(0）（zzzzzzzzzz 00limlimyixyixzzzz 00limlim由于上式的极限

15、不存在，函数不可导. 函数的 f (z) = 的导数是否存在？ z第45页/共59页47现在以两种特殊方式让 z 0，分别计算极限值. 当z + z 沿 x 轴方向趋于z 时， 即 x 0 , y = 0时，则 当z + z 沿 y 轴方向趋于z 时， 即 x = 0 , y 0时，则 1limiilim00 xxyxyxxz 1iilimiilim00 yyyxyxyz 第46页/共59页48复变函数可导与连续的关系和一元实变函数一样，若函数w = f (z) 在z0处的可导，则f (z)在z0处必连续.证明 由导数的定义有 zzfzzfzfz )()(lim)(0000)()()()(00

16、0zfzzfzzfz 令令第47页/共59页49)()(lim000zfzzfz 从而从而zzzzfzfzzf )()()()(000 因此因此)()()()(000zfzzfzzfz 令令即 f (z) 在z0处连续.第48页/共59页50复变函数的求导公式由于复变函数导数的定义与一元实变函 数中导数的定义在形式上完全相同，而 且极限的运算法则也相同.因而实变函数中的求导法则都可以推广 到复变函数中来.现将几个求导法则罗列于下0)( C1)( nnnzz第49页/共59页51)()( )(z)(zgzfzgf )()()()( )(z)(zgzfzgzfzgf )()()()()()()(2

17、zgzgzfzgzfzgzf ).(),()()(zgwzgwfzgf 其中其中)(1)(wzf w = f (z)与z = (w)是互为反函数的单值函数.第50页/共59页52解析函数的概念 若函数 w = f (z) 在 z0 的某邻域内处处可 导，则称 f (z)在 z0 处解析.若f (z)在区域D内处处可导，则称f (z)在 D内解析或称f (z)是D内的解析函数. 函数在区域内解析与在区域内可导是两 个等价的概念.函数在一点处解析和在一点处可导是两 个不等价的概念.函数在一点处可导， 不一定在该点处解析. 第51页/共59页53若f (z)在 z0 处不解析，则称点 z0 为函数

18、w = f (z)的奇点 函数解析性举例函数 f (z) = z2在复平面上处处可导，所 以在复平面上是解析的. 函数 f (z) = 在复平面上处处不可导， 所以在复平面上处处不解析. z第52页/共59页54讨论函数 f (z) = z 2 解析性. zzfzzf )()(22zzzz zzzzzzz )(zzzzz 因为 第53页/共59页55若z = 0，则当 z0时上式的极限为零. zzzzzzfz0lim)(若z 0，令 z沿直线 y = kx 趋于零, 则yxyxzz ii i1i1iikkxkxxkx 由 k 的任意性可知, 上式不趋于一个确定的值，即当 z0时，极限不存在. 第54页/共59页56所以函数 f (z) = z 2只在z = 0处可导， 而在其它点