中考专题汇总——锐角三角函数的应用.

1、中考专题汇总锐角三角函数的应用一、选择题1. （2013广东广州，10，4分）如图5，四边形ABCD是梯形，ADBC，CA是BCD的平分线，且ABAC，AB=4，AD=6，则tanB=（ ）A. B. C. D. 【答案】 B.2. （2013湖南邵阳 第9题 3分）在ABC中，若，则C的度数是（ ）A.300 B.450 C.600 D.900【答案】D.3. （2013重庆A卷，6，4分）计算6tan45°-2cos60°的结果是（ ）A4 B4 C5 D5【答案】D4. （2013重庆B卷，9，4分）如图，在中，垂足为D，CD=1，则AB的长为（ ）ADBCA.2 B

2、. C. D.【答案】D5. (2013浙江温州市，8，4分)如图，在ABC中，C=90°，AB=5，BC=3，则sinA的值是（ ）A B. C. D.【答案】C6.（2013广东佛山，7，3分）如图，若A=60°，AC=20m，则BC大约是(结果精确到0.1m)( ) A34.64m B34.6m C28.3m D17.3m【答案】 B7. （2013江苏宿迁，4,3分）如图，将AOB放置在5×5的正方形网格中，则tanAOB的值是（ ）A B C D第4题图【答案】B8. （2013甘肃兰州，9，4分）ABC中，、分别是A、B、C的对边，如果，那么下列结论正

3、确的是（ ）AsinA=BcosB= CtanA= DtanB=【答案】A.9. （2013江苏连云港，5，3分）在RtABC中，C=90°，若sinA则cosA的值是（ ）A. B. C. D. 【答案】D.10. (2013湖北荆门，11，3分)如图，在半径为1的O中，AOB45°，则sinC的值为( )A B C DABCO45°(第11题)【答案】B二、填空题1. (2013四川内江，22,6分)在ABC中，已知C=90°， ，则 。【答案】或.2. （2013浙江湖州，13，4分）如图，已知在RtACB中，C=90°，AB=13，AC

4、=12，则cosB的值为 第13题【答案】3. (2013山东德州，13，5分)cos30°的值是 .【答案】4. （2013广东省，14，4分）在RtABC中，AB=3，BC=4，则sinA= 【答案】.5. （2013湖北黄冈市，11，3分）已知ABC为等边三角形，BD为中线，延长BC至E，使CE=CD=1，连接DE，则DE= .【答案】6.（2013浙江台州,14,5分）如图,在O中,过直径AB延长线上的点C作O的一条切线,切点为D,若AC=7,AB=4,则sinC的值为 ABCDO【答案】7. (2013上海，18,4分)如图5，在中， tan C = ，如果将沿直线l翻折后

5、，点落在边的中点处，直线l与边交于点，那么的长为_图5【答案】8. （2013四川南充，14，3分）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AEAC,AE=1，连接BE，则tanE=_.ABCDE(第14题)【答案】.9.(2013湖北荆门，15，3分)如图，在RtABC中，ACB90°，D是AB的中点，过D点作AB的垂线交AC于点E，BC6，sinA，则DE_(第15题)ABCDE【答案】10. （2013四川省宜宾市，16,3分）如图， AB 是O的直径，弦 CD AB 于点G ，点 F 是 CD 上一点，且满足,连结AF并延长交 O于点 E ，连结 AD 、 D E，若 CF

6、= 2 , AF = 3 给出下列结论： ADF AED ；FG 2 ； tan E； SDEF =4 .其中正确的是 （写出所有正确结论的序号） .16. 【答案】 .三、解答题1. （2013广东湛江，24，10分）阅读下面的材料，先完成阅读填空，再按要求答题：，则 ；，则 ；，则 ；观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有= （1）如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理对A证明你的猜想；（2）已知：A为锐角（）且，求【解】解：都填1（1）如下图，过点B作BHBC于点H，则，所以(2)，cosA=2. (2013湖南常德，22，7)如图6，在ABC中，AD是BC边上的高，A

7、E是BC边上的中线，C=45°，,AD=1.(1) 求BC的长；(2) 求tanDAE的值.【答案】解：（1）AD是BC边上的高，ADBC,在RtABD中，,又AD=1，AB=3， 在RtADC中，C=45°，CD=AD=1(2)AE是BC边上的中线，3. （2013浙江台州,24,13分）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长,那么称这个三角形为“好玩三角形”（1）请用直尺与圆规画一个“好玩三角形”；（2）如图1,在RtABC中,C=90°,求证：ABC是“好玩三角形”；（3）如图2,已知菱形ABCD的边长为a, ABC=2,点P,Q从点A同时出发,以相同的

8、速度分别沿折线ABBC和ADDC向终点C运动,记点P所经过的路程为S当=45°时,若APQ是“好玩三角形”,试求的值当tan的取值在什么范围内,点P,Q在运动过程中,有且只有一个APQ能成为“好玩三角形”请直接写出tan的取值范围.（4）本小题为选做题依据（3）中的条件,提出一个关于“在点P,Q的运动过程中,tan的取值范围与APQ是“好玩三角形”的个数关系的真命题（“好玩三角形”的个数限定不能为1）.ABCBADCPQBAC备用图D【答案】(1)图略.（2）取AC中点D,连接BD,C=90°,tanA=,设BC=,则AC=2x,BD=2x, AC=BD,ABC是“好玩三角

9、形”.（3）若=45°,当点P在AB上时,APQ是等腰直角三角形,不可能是“好玩三角形”.当P在BC上时,连接AC,交PQ于点E,延长AB交QP的延长线于点F,PC=CQ,ACB=ACD,AC是QP的垂直平分线,AP=AQ.CAB=ACP, AEF=CEPAEFCEP.PE=CE,i)当底边PQ与它的中线AE相等,即AE=PQ时,=,.ii)当腰AP与它的中线QM相等,即AP=QM时,作QNAP于N,MN=AN=PM.QN=MN.tanAPQ=.tanAPE=tan2.（4）选做题：若0tan,则在P、Q的运动过程中,使得APQ成为“好玩三角形”的个数为2.其他参考情形：tan的取值

10、范围“好玩三角形”的个数0tan2tan21tan20tan=或tan=2无数个4. （2013江苏连云港，27，14分）小明在一次数学兴趣小组活动中，对一个数学问题作如下探究：问题情境：如图1，四边形ABCD中，ADBC,点E为DC边的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F.求证：S四边形ABCD= SABF(S表示面积) 问题迁移：如图2，在已知锐角AOB内有定点P.过点P任意作一条直线MN,分别交射线OA、OB于点M、N.小明将直线MN绕着点P旋转的过程中发现，MON的面积存在最小值.请问当直线MN在什么位置时，MON的面积最小，并说明理由. 实际应用：如图3，若在道路OA、OB之间有

11、一村庄Q发疫情，防疫部门计划以公路OA、OB和经过防 C90°，疫站P的一条直线MN为隔离线，建立一个面积最小的三角形隔离区MON，若测得AOB66°，POB30°，OP=4km,试求MON的面积.（结果精确到）（参考数据：）拓展延伸：如图4，,在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A、B、C、P的坐标分别为（6,0）、（6,3）、（,）、（4,2）过点P的直线l与四边形OABC一组对边相交，将四边形OABC分成两个四边形，求其中以点O为顶点的四边形面积的最大值. 【解】问题情境：证明：因为 AD BC ，所以ADEFCE. 又因为 DE = CE , AEDFEC

12、.所以 ADE FCE ，所以 S ADE = S FCE , 所以 S四边形ABCD=S四边形ABCE + SADE = S 四边形 ABCE S FCE=S ABF； 问题迁移：当直线旋转到点P是线段MN的中点时， MON 的面积最小.如图 1 ，过P点的另外一条直线 EF 交OA、 OB 于点 E 、 F . 不妨设P F < PE ，过点 M 作 MGOB 交 EF 于 G . 由“问题情境”的结论可知，当点 P 是线段MN的中点时，有 S四边形MOFG= SMON.因为 S四边形MOFG<SEOF, 所以 SMON < SEOF,所以当点P是线段MN的中点时， MO

13、N 的面积最小. 实际应用：如图 2 ，作PP1OB ，MM1OB ，垂足分别为P1、 M1 .在 Rt OPP1 ，中， PP1 = OPsin30° 2 , OP1OPcos30° 2由“问题迁移”的结论知，当PM=PN时， MON 的面积最小 此时MM1 = 2PP1 = 4 , M1 P1 = P 1 N .在 Rt OMM1中，OM1 =,M1P1 OP1 OM12,ON = OM1 + M1P1+ P1N =4.所以SMONMM1·ON=8 10.2810.3( km2). 拓展延伸： (I)当过点P的直线 l 与四边形 OABC 的一组对边 OC 、

14、 AB 分别交于点 M 、 N 延长 OC 、 AB 交于点 D ，易知 AD = 6 , S OAD18 . 由“问题迁移”的结论知，当PM=PN时， MND的面积最小，所以此时四边形 OANM的面积最大如图 3 ，过点P、 M 分别作 PP1 OA ，MM1 OA ，垂足分别为P1 , M1 . 由题意易得 M1P1=P1A = 2 ，从而 OM1=MM1= 2 .所以 MN OA . 所以 S四边形OANM=SOMM1 + S四边形MM1AN = × 2 ×2 + 2 ×4 = 10.( II ）当过点P的直线1与四边形 OABC 的另一组对边CB 、 OA

15、 分别交 M 、 N .延长 CB 交 x 轴于 T 点，由 B 、 C 的坐标可得直线 BC对应的函数关系式为 y =x9 .则T点的坐标为（9，0）.所以SOCT= ×9×=.由结论知：当PM=PN 时， MNT 的面积最小，所以四边形 OC M N 的面积最大如图 4 ，过 P 、 M 点分别作 PP1 OA ，MM1 OA ，垂足为P1 , M1，从而 NP1 =P1M1，MM1=2PP1=4.所以点 M 的横坐标为 5 ， P1M1= NP1 = 1 , TN =6.所以SMNT= ×6×4=12，S四边形OCMN=SOCT SMNT=12=1

16、0.综上所述：截得四边形面积的最大值为10. 5. （2013内蒙古呼和浩特，24，9分）如图，AD是ABC 的角平分线，以点 C为圆心，CD为半径作圆交BC的延长线于点E，交 AD 于点 F，交 AE 于点 M，且B =CAE，EF：FD =4：3. (1)求证：点 F是AD 的中点；(2)求 cosAED 的值；(3)如果BD= 10，求半径 CD 的长.【答案】解：(1)证明：AD是ABC 的角平分线1 =2ADE= 1+BDAE= 2+3且B=3ADE=DAEED = EAED 为C 的直径DFE= 90°EFADF为 AD 中点(2)连接 DM. 设EF= 4k，DF= 3

17、k，则=5k= (3)B= 3，AEC为公共角.AECBEA k>0k = 26. (2013四川成都，27，10分)如图，O的半径r25，四边形ABCD内接于O，ACBD于点H，P为CA延长线上一点，且PDAABD(1)试判断PD与O的位置关系，并说明理由；(2)若tanADB，PAAH，求BD的长；(3)在(2)的条件下，求四边形ABCD的面积PBCDAHO第27题图PBCDAHO图5【答案】(1)PD与O相切证明如下：连结OD，OA，如图5在OAD中，ODAOADDOA90°，且ODAOAD，ODADOA90°PDAABDDOA，ODAPDA90°即O

18、DPDPD与O相切(2)tanADB，可设AH3k，则DH4kPAAH，PA(43)kPHPAAH4ktanP，P30°PDH60°，BDO30°BD2OD·cos30°25(3)由(2)知，BH254ktanBCHtanADB，HC(254k)易证PDAPCD，即PD2PA·PC(8k)2(43)k·4k(254k)解得k(43)AC3k(254k)247SBD·AC×25×(247)9007. (2013山东菏泽，18，10分)如图，BC是O的直径，A是O上一点过点C作O的切线，交BA的延长

19、线于点D，取CD的中点E，AE的延长线与BC的延长线交于点P（1）求证：AP是O的切线；（2）若OCCP，AB6，求CD的长【答案】（1）证明：如图，连结AC、AOBC是O的直径，ABAC，ACD是直角三角形，点E是CD中点，AECE，EACECAOAOC，OCAOACCD是O切线，DCB90°，ECAOCA90°，EACOACOAP90°，AP是O的切线（2）解：由（1）知AOP是直角三角形，OCCP，OCAC，OAOC，AOC是等边三角形，ACB60°，ACD90°ACB90°60°30°在RtABC中，AB6，AC，在RtACD中，CD8. （2013四川广安，25，9分）如图11，在ABC中，AB=AC，以AB为直径作半圆O，交BC于点D，连接AD，过点D作DEAC，垂足为点E，交AB的延长线于点F（1）求证：EF是O的切线（2）如果O的半径为5，sinADE=，求BF的长【答案】（1）证明：连结ODAB是直径，ADB=90°又AB=AC，BD=CDOA=OB，ODACDEAC，ODEF，EF是O的切线（2）EF是O的切线，ABD=ADEAB=10，sinADE=，AD=8，BD=6又FDB=DAB，F=F