浙江省衢州市2016年中考数学(浙教版)专题训练：解直角三角形

1、浙江省衢州市2016年中考数学（浙教版）专题训练：解直角三角形一、选择题（共5小题）1如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A20海里B40海里C海里D海里2如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A2海里B2sin55°海里C2cos55°海里D2tan55°海里3如图，一

2、渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（）A20海里B40海里C20海里D40海里4如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A4kmB（2+）kmC2kmD（4）km5有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海

3、里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是（）海里A10B1010C10D1010二、填空题（共4小题）6如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB的长）为7如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里那么该船继续航行海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置8如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行

4、，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为米9如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C在同一条直线上），则河的宽度AB约为m（精确到0.1m）（参考数据：1.41，1.73）三、解答题（共21小题）10如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45

5、°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）11如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离12如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行

6、，在A处观测到灯塔C在北偏西60°方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：1.732）13（2015济宁）阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， =，利用上述结论可以求解如下题目：在ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c若A=45°，B=30°，a=6，求b解：在ABC中， =b=3理解应用：如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙

7、船从B1处按北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里（1）判断A1A2B2的形状，并给出证明；（2）求乙船每小时航行多少海里？14如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长（参考数据：1.414，结果精确到0.1）15为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港某日在观

8、测点A处发现在其北偏西36.9°的C处有一艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西B处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D处进行躲避已知避风港D在观测点A的正北方向，台风中心B在观测点A的北偏西67.5°的方向，渔船C与观测点A相距350海里，台风中心的影响半径为200海里，渔船的速度为每小时18海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？（sin36.9°0.6，tan36.90.75，sin67.50.92，tan67.52.4）16如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码

9、头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向求此时小船到B码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）17如图，海面上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°求A、B两岛之间的距离（结果精确到0.1海里）【参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93】18如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A

10、处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处（1）在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离（结果取整数）；（2）用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置（参考数据：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33， =1.41）19如图，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC=150m求A点到河岸BC的距离（结果保留整数）（参考数据：1.41，1.73）20如图，某渔船在小岛O南偏东75°方向的

11、B处遇险，在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援，此时，中国渔政船与小岛O相距8海里，渔船在中国渔政船的正东方向上（1）求BAO与ABO的度数（直接写出答案）；（2）若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能否在1小时内赶到？请说明理由（参考數据：tan75°3.73，tan15°0.27，1.41，2.45）21如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速航行当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处若该渔船的速度为

12、每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）22如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向，小区A、B之间的距离为300（+l）米，求供水站M分别到小区A、B的距离（结果可保留根号）23如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏东45°），以40千米/小时的速度匀速移动，在距离台风中心50千米的区域内会受到台风的影响，在点O的正东方向，距离60千米的地方有一城市A（1）问：A市是否会受到此台

13、风的影响，为什么？（2）在点O的北偏东15°方向，距离80千米的地方还有一城市B，问：B市是否会受到此台风的影响？若受到影响，请求出受到影响的时间；若不受到影响，请说明理由24如图，一海伦位于灯塔P的西南方向，距离灯塔40海里的A处，它沿正东方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东60°方向上的B处，求航程AB的值（结果保留根号）25某海域有A，B两个港口，B港口在A港口北偏西30°方向上，距A港口60海里，有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达位于B港口南偏东75°方向的C处，求该船与B港口之间的距离即CB的长（结果保留根号）26如图，

14、我南海某海域A处有一艘捕鱼船在作业时突遇特大风浪，船长马上向我国渔政搜救中心发出求救信号，此时一艘渔政船正巡航到捕鱼船正西方向的B处，该渔政船收到渔政求救中心指令后前去救援，但两船之间有大片暗礁，无法直线到达，于是决定马上调整方向，先向北偏东60°方向以每小时30海里的速度航行半小时到达C处，同时捕鱼船低速航行到A点的正北1.5海里D处，渔政船航行到点C处时测得点D在南偏东53°方向上（1）求CD两点的距离；（2）渔政船决定再次调整航向前去救援，若两船航速不变，并且在点E处相会合，求ECD的正弦值（参考数据：sin53°，cos53°，tan53

15、6;）27我国为了维护队钓鱼岛P的主权，决定对钓鱼岛进行常态化的立体巡航在一次巡航中，轮船和飞机的航向相同（APBD），当轮船航行到距钓鱼岛20km的A处时，飞机在B处测得轮船的俯角是45°；当轮船航行到C处时，飞机在轮船正上方的E处，此时EC=5km轮船到达钓鱼岛P时，测得D处的飞机的仰角为30°试求飞机的飞行距离BD（结果保留根号）28如图所示，某工程队准备在山坡（山坡视为直线l）上修一条路，需要测量山坡的坡度，即tan的值测量员在山坡P处（不计此人身高）观察对面山顶上的一座铁塔，测得塔尖C的仰角为37°，塔底B的仰角为26.6°已知塔高BC=80米

16、，塔所在的山高OB=220米，OA=200米，图中的点O、B、C、A、P在同一平面内，求山坡的坡度（参考数据sin26.6°0.45，tan26.6°0.50；sin37°0.60，tan37°0.75）29如图，山顶有一铁塔AB的高度为20米，为测量山的高度BC，在山脚点D处测得塔顶A和塔基B的仰角分别为60°和45°求山的高度BC（结果保留根号）30小亮和小红在公园放风筝，不小心让风筝挂在树梢上，风筝固定在A处（如图），为测量此时风筝的高度，他俩按如下步骤操作：第一步：小亮在测点D处用测角仪测得仰角ACE=第二步：小红量得测点D处

17、到树底部B的水平距离BD=a第三步：量出测角仪的高度CD=b之后，他俩又将每个步骤都测量了三次，把三次测得的数据绘制成如下的条形统计图和折线统计图请你根据两个统计图提供的信息解答下列问题（1）把统计图中的相关数据填入相应的表格中：ab第一次第二次第三次平均值（2）根据表中得到的样本平均值计算出风筝的高度AB（参考数据：，结果保留3个有效数字）浙江省衢州市2016年中考数学（浙教版）专题训练：解直角三角形参考答案与试题解析一、选择题（共5小题）1如图，轮船从B处以每小时60海里的速度沿南偏东20°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东50°方向上，轮船航行40分钟到达C处，

18、在C处观测灯塔A位于北偏东10°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）A20海里B40海里C海里D海里【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】作AMBC于M由题意得，DBC=20°，DBA=50°，BC=60×=40海里，NCA=10°，则ABC=ABDCBD=30°由BDCN，得出BCN=DBC=20°，那么ACB=ACN+BCN=30°=ABC，根据等角对等边得出AB=AC，由等腰三角形三线合一的性质得到CM=BC=20海里然后在直角ACM中，利用余弦函数的定义得出AC=，代入数据计算即可【解答】解：如图，作

19、AMBC于M由题意得，DBC=20°，DBA=50°，BC=60×=40海里，NCA=10°，则ABC=ABDCBD=50°20°=30°BDCN，BCN=DBC=20°，ACB=ACN+BCN=10°+20°=30°，ACB=ABC=30°，AB=AC，AMBC于M，CM=BC=20海里在直角ACM中，AMC=90°，ACM=30°，AC=（海里）故选D【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，余弦函数的定义，

20、难度适中求出CM=BC=20海里是解题的关键2如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东55°方向，距离灯塔2海里的点A处，如果海轮沿正南方向航行到灯塔的正东方向，海轮航行的距离AB长是（）A2海里B2sin55°海里C2cos55°海里D2tan55°海里【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】首先由方向角的定义及已知条件得出NPA=55°，AP=2海里，ABP=90°，再由ABNP，根据平行线的性质得出A=NPA=55°然后解RtABP，得出AB=APcosA=2cos55°海里【解答】解：如图，由题意可知NPA=

21、55°，AP=2海里，ABP=90°ABNP，A=NPA=55°在RtABP中，ABP=90°，A=55°，AP=2海里，AB=APcosA=2cos55°海里故选C【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，平行线的性质，三角函数的定义，正确理解方向角的定义是解题的关键3如图，一渔船由西往东航行，在A点测得海岛C位于北偏东60°的方向，前进40海里到达B点，此时，测得海岛C位于北偏东30°的方向，则海岛C到航线AB的距离CD是（）A20海里B40海里C20海里D40海里【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【

22、分析】根据方向角的定义及余角的性质求出CAD=30°，CBD=60°，再由三角形外角的性质得到CAD=30°=ACB，根据等角对等边得出AB=BC=20，然后解RtBCD，求出CD即可解答【解答】解：根据题意可知CAD=30°，CBD=60°，CBD=CAD+ACB，CAD=30°=ACB，AB=BC=40海里，在RtCBD中，BDC=90°，DBC=60°，sinDBC=，sin60°=，CD=40×sin60°=40×=20（海里）故选：C【点评】本题考查了解直角三角形的

23、应用，难度适中解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线4如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，AB=2km、从A测得船C在北偏东45°的方向，从B测得船C在北偏东22.5°的方向，则船C离海岸线l的距离（即CD的长）为（）A4kmB（2+）kmC2kmD（4）km【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【专题】压轴题【分析】根据题意在CD上取一点E，使BD=DE，进而得出EC=BE=2，再利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案【解答】解：在CD上取一点E，使BD=DE，可得：EBD=45°，AD=DC，从B测

24、得船C在北偏东22.5°的方向，BCE=CBE=22.5°，BE=EC，AB=2，EC=BE=2，BD=ED=，DC=2+故选：B【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，得出BE=EC=2是解题关键5有一轮船在A处测得南偏东30°方向上有一小岛P，轮船沿正南方向航行至B处，测得小岛P在南偏东45°方向上，按原方向再航行10海里至C处，测得小岛P在正东方向上，则A，B之间的距离是（）海里A10B1010C10D1010【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】由题意得：CAP=30°，CBP=45°，BC=10海里，分别在RtBC

25、P中和在RtAPC中求得BC和AC后相减即可求得A、B之间的距离【解答】解：由题意得：CAP=30°，CBP=45°，BC=10海里，在RtBCP中，CBP=45°，CP=BC=10海里，在RtAPC中，AC=10海里，AB=ACBC=（1010）海里，故选D【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是能够从实际问题中整理出直角三角形，并选择合适的边角关系求解二、填空题（共4小题）6如图，港口A在观测站O的正东方向，OA=4km，某船从港口A出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B处，此时从观测站O处测得该船位于北偏东60°的方向，则

26、该船航行的距离（即AB的长）为2km【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【专题】压轴题【分析】过点A作ADOB于D先解RtAOD，得出AD=OA=2km，再由ABD是等腰直角三角形，得出BD=AD=2km，则AB=AD=2km【解答】解：如图，过点A作ADOB于D在RtAOD中，ADO=90°，AOD=30°，OA=4km，AD=OA=2km在RtABD中，ADB=90°，B=CABAOB=75°30°=45°，BD=AD=2km，AB=AD=2km即该船航行的距离（即AB的长）为2km故答案为2km【点评】本题考查了解直角三角形的

27、应用方向角问题，难度适中，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键7如图，某渔船在海面上朝正东方向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，且AM=100海里那么该船继续航行50海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】过M作东西方向的垂线，设垂足为N由题易可得MAN=30°，在RtMAN中，根据锐角三角函数的定义求出AN的长即可【解答】解：如图，过M作东西方向的垂线，设垂足为N易知：MAN=90°=30°在RtAMN中，ANM=90°，MAN=30°，AM=100海里，AN=AMcosMA

28、N=100×=50海里故该船继续航行50海里可使渔船到达离灯塔距离最近的位置故答案为50【点评】本题主要考查了解直角三角形的应用方向角问题，三角函数的定义，利用垂线段最短的性质作出辅助线是解决本题的关键8如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为750米【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【专题】压轴题【分析】作ADBC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在RtACD中，求得ACD的度数，再求得AD的

29、长度，然后根据B=30°求出AB的长【解答】解：如图，过点A作ADBC，垂足为D，在RtACD中，ACD=75°30°=45°，AC=30×25=750（米），AD=ACsin45°=375（米）在RtABD中，B=30°，AB=2AD=750（米）故答案为：750【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中9如图，为了测量河的宽度AB，测量人员在高21m的建筑物CD的顶端D处测得河岸B处的俯角为45°，测得河对岸A处的俯角为30°（A、B、C

30、在同一条直线上），则河的宽度AB约为15.3m（精确到0.1m）（参考数据：1.41，1.73）【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题【专题】压轴题【分析】在RtACD中求出AC，在RtBCD中求出BC，继而可得出AB【解答】解：在RtACD中，CD=21m，DAC=30°，则AC=CD36.3m；在RtBCD中，DBC=45°，则BC=CD=21m，故AB=ACBC=15.3m故答案为：15.3【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，理解俯角的定义，能利用三角函数表示线段的长度三、解答题（共21小题）10如图，在一次军事演习中，蓝方在一条东西

31、走向的公路上的A处朝正南方向撤退，红方在公路上的B处沿南偏西60°方向前进实施拦截，红方行驶1000米到达C处后，因前方无法通行，红方决定调整方向，再朝南偏西45°方向前进了相同的距离，刚好在D处成功拦截蓝方，求拦截点D处到公路的距离（结果不取近似值）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则E=F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF解RtBCE，求出BE=BC=×1000=500米；解RtCDF，求出CF=CD=500米，则DA=B

32、E+CF=（500+500）米【解答】解：如图，过B作AB的垂线，过C作AB的平行线，两线交于点E；过C作AB的垂线，过D作AB的平行线，两线交于点F，则E=F=90°，拦截点D处到公路的距离DA=BE+CF在RtBCE中，E=90°，CBE=60°，BCE=30°，BE=BC=×1000=500米；在RtCDF中，F=90°，DCF=45°，CD=BC=1000米，CF=CD=500米，DA=BE+CF=（500+500）米，故拦截点D处到公路的距离是（500+500）米【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，锐角

33、三角函数的定义，正确理解方向角的定义，进而作出辅助线构造直角三角形是解题的关键11如图所示，港口B位于港口O正西方向120km处，小岛C位于港口O北偏西60°的方向一艘游船从港口O出发，沿OA方向（北偏西30°）以vkm/h的速度驶离港口O，同时一艘快艇从港口B出发，沿北偏东30°的方向以60km/h的速度驶向小岛C，在小岛C用1h加装补给物资后，立即按原来的速度给游船送去（1）快艇从港口B到小岛C需要多长时间？（2）若快艇从小岛C到与游船相遇恰好用时1h，求v的值及相遇处与港口O的距离【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】（1）要求B到C的时间，已知其速

34、度，则只要求得BC的路程，再利用路程公式即可求得所需的时间；（2）过C作CDOA，垂足为D，设相会处为点E求出OC=OBcos30°=60，CD=OC=30，OD=OCcos30°=90，则DE=903v在直角CDE中利用勾股定理得出CD2+DE2=CE2，即（30）2+（903v）2=602，解方程求出v=20或40，进而求出相遇处与港口O的距离【解答】解：（1）CBO=60°，COB=30°，BCO=90°在RtBCO中，OB=120，BC=OB=60，快艇从港口B到小岛C的时间为：60÷60=1（小时）；（2）过C作CDOA，垂

35、足为D，设相会处为点E则OC=OBcos30°=60，CD=OC=30，OD=OCcos30°=90，DE=903vCE=60，CD2+DE2=CE2，（30）2+（903v）2=602，v=20或40，当v=20km/h时，OE=3×20=60km，当v=40km/h时，OE=3×40=120km【点评】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，锐角三角函数的定义，勾股定理等知识，理解方向角的定义，得出BCO=90°是解题的关键，本题难易程度适中12如图，某渔船在海面上朝正西方向以20海里/时匀速航行，在A处观测到灯塔C在北偏西60°

36、方向上，航行1小时到达B处，此时观察到灯塔C在北偏西30°方向上，若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置，求此时渔船到灯塔的距离（结果精确到1海里，参考数据：1.732）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】过点C作CDAB于点D，则若该船继续向西航行至离灯塔距离最近的位置为CD的长度，利用锐角三角函数关系进行求解即可【解答】解：如图，过点C作CDAB于点D，AB=20×1=20（海里），CAF=60°，CBE=30°，CBA=CBE+EBA=120°，CAB=90°CAF=30°，C=180°CBACA

37、B=30°，C=CAB，BC=BA=20（海里），CBD=90°CBE=60°，CD=BCsinCBD=17（海里）【点评】此题主要考查了方向角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键13（2015济宁）阅读材料：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等， =，利用上述结论可以求解如下题目：在ABC中，A、B、C的对边分别为a，b，c若A=45°，B=30°，a=6，求b解：在ABC中， =b=3理解应用：如图，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B1处，且乙船从B1处按

38、北偏东15°方向匀速直线航行，当甲船航行20分钟到达A2时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B2处，此时两船相距10海里（1）判断A1A2B2的形状，并给出证明；（2）求乙船每小时航行多少海里？【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【专题】压轴题【分析】（1）先根据路程=速度×时间求出A1A2=30×=10，又A2B2=10，A1A2B2=60°，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可得出A1A2B2是等边三角形；（2）先由平行线的性质及方向角的定义求出A1B1B2=75°15°=60°，由

39、等边三角形的性质得出A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10，那么B1A1B2=105°60°=45°然后在B1A1B2中，根据阅读材料可知， =，求出B1B2的距离，再由时间求出乙船航行的速度【解答】解：（1）A1A2B2是等边三角形，理由如下：连结A1B2甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，航行20分钟到达A2，A1A2=30×=10，又A2B2=10，A1A2B2=60°，A1A2B2是等边三角形；（2）如图，B1NA1A2，A1B1N=180°B1A1A2=180°105°=75

40、76;，A1B1B2=75°15°=60°A1A2B2是等边三角形，A2A1B2=60°，A1B2=A1A2=10，B1A1B2=105°60°=45°在B1A1B2中，A1B2=10，B1A1B2=105°60°=45°，A2A1B2=60°，由阅读材料可知， =，解得B1B2=，所以乙船每小时航行：÷=20海里【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，等边三角形的判定与性质，方向角的定义，锐角三角函数的定义，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力正确理解阅读材料是解题

41、的关键14如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长（参考数据：1.414，结果精确到0.1）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】过B作BDAP于D，由已知条件得：AB=20×2=40，P=75°30°=45°，在RtABD中求出BD=AB=20，在RtBDP中求出PB即可【解答】解：过B作BDAP于D，由已知条件得：AB=20×2=4

42、0，P=75°30°=45°，在RtABD中，AB=40，A=30，BD=AB=20，在RtBDP中，P=45°，PB=BD=2028.3（海里）答：此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长约为28.3海里【点评】此题主要考查了方向角问题的应用，根据已知得出PDB为等腰直角三角形是解题关键15为保护渔民的生命财产安全，我国政府在南海海域新建了一批观测点和避风港某日在观测点A处发现在其北偏西36.9°的C处有一艘渔船正在作业，同时检测到在渔船的正西B处有一股强台风正以每小时40海里的速度向正东方向移动，于是马上通知渔船到位于其正东方向的避风港D处进行躲

43、避已知避风港D在观测点A的正北方向，台风中心B在观测点A的北偏西67.5°的方向，渔船C与观测点A相距350海里，台风中心的影响半径为200海里，渔船的速度为每小时18海里，问渔船能否顺利躲避本次台风的影响？（sin36.9°0.6，tan36.90.75，sin67.50.92，tan67.52.4）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】先解RtADC，求出CD=ACsinDAC350×0.6=210海里，AD=280海里，那么渔船到的避风港D处所用时间：210÷18=11小时再解RtADB，求出BD=ADtanBAD280×2.4=

44、672海里，那么BC=BDCD672210=462海里设强台风移动到渔船C后面200海里时所需时间为x小时，根据追及问题的等量关系列出方程（4018）x=462200，解方程求出x=11，由于1111，所以渔船能顺利躲避本次台风的影响【解答】解：由题意可知BAD=67.5°，CAD=36.9°，AC=350海里在RtADC中，ADC=90°，DAC=36.9°，AC=350海里，CD=ACsinDAC350×0.6=210海里，AD=280海里渔船到的避风港D处所用时间：210÷18=11小时在RtADB中，ADB=90°，

45、BAD=67.5°，BD=ADtanBAD280×2.4=672海里，BC=BDCD672210=462海里设强台风移动到渔船C后面200海里时所需时间为x小时，根据题意得（4018）x=462200，解得x=11，1111，渔船能顺利躲避本次台风的影响【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，难度中等，求出强台风移动到渔船C后面200海里时所需时间是解题的关键16如图，在一笔直的海岸线l上有A、B两个码头，A在B的正东方向，一艘小船从A码头沿它的北偏西60°的方向行驶了20海里到达点P处，此时从B码头测得小船在它的北偏东45°的方向求此时小船到B

46、码头的距离（即BP的长）和A、B两个码头间的距离（结果都保留根号）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】过P作PMAB于M，求出PBM=45°，PAM=30°，求出PM，即可求出BM、BP【解答】解：如图：过P作PMAB于M，则PMB=PMA=90°，PBM=90°45°=45°，PAM=90°60°=30°，AP=20海里，PM=AP=10海里，AM=cos30°AP=10海里，BPM=PBM=45°，PM=BM=10海里，AB=AM+BM=（10+10）海里，BP=10海里

47、，即小船到B码头的距离是10海里，A、B两个码头间的距离是（10+10）海里【点评】本题考查了解直角三角形，含30度角的直角三角形性质的应用，能正确解直角三角形是解此题的关键，难度适中17如图，海面上B、C两岛分别位于A岛的正东和正北方向一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南偏东43°求A、B两岛之间的距离（结果精确到0.1海里）【参考数据：sin43°=0.68，cos43°=0.73，tan43°=0.93】【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】根据路程=速度×时间，可得AC=18

48、×2=36海里，在RtABC中，利用正切函数的定义可得AB=ACtanACB，将数值代入计算即可求解【解答】解：由题意得，AC=18×2=36海里，ACB=43°在RtABC中，A=90°，AB=ACtanACB=36×0.9333.5海里故A、B两岛之间的距离约为33.5海里【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正切函数的定义，路程、速度与时间自己的关系，难度一般理解方向角的定义，将实际问题转化为数学问题是解决问题的关键18如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东53°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到

49、达位于灯塔P的南偏东45°方向上的B处（1）在图中画出点B，并求出B处与灯塔P的距离（结果取整数）；（2）用方向和距离描述灯塔P相对于B处的位置（参考数据：sin53°=0.80，cos53°=0.60，tan53°=0.33， =1.41）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】（1）根据方向角的定义结合已知条件在图中画出点B，作PCAB于C，先解RtPAC，得出PC=PAsinPAC=80，再解RtPBC，得出PB=PC=1.41×80113；（2）由CBP=45°，PB113海里，即可得到灯塔P位于B处北偏西45°

50、;方向，且距离B处约113海里【解答】解：（1）如图，作PCAB于C，在RtPAC中，PA=100，PAC=53°，PC=PAsinPAC=100×0.80=80，在RtPBC中，PC=80，PBC=BPC=45°，PB=PC=1.41×80113，即B处与灯塔P的距离约为113海里；（2）CBP=45°，PB113海里，灯塔P位于B处北偏西45°方向，且距离B处约113海里【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，直角三角形，锐角三角函数的有关知识解一般三角形的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线19如图

51、，要测量A点到河岸BC的距离，在B点测得A点在B点的北偏东30°方向上，在C点测得A点在C点的北偏西45°方向上，又测得BC=150m求A点到河岸BC的距离（结果保留整数）（参考数据：1.41，1.73）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】过点A作ADBC于点D，设AD=xm用含x的代数式分别表示BD，CD再根据BD+CD=BC，列出方程x+x=150，解方程即可【解答】解：过点A作ADBC于点D，设AD=xm在RtABD中，ADB=90°，BAD=30°，BD=ADtan30°=x在RtACD中，ADC=90°，CAD=4

52、5°，CD=AD=xBD+CD=BC，x+x=150，x=75（3）95即A点到河岸BC的距离约为95m【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，通过作辅助线构造直角三角形，再把条件和问题转化到直角三角形中，有公共直角边的可利用这条边进行求解20如图，某渔船在小岛O南偏东75°方向的B处遇险，在小岛O南偏西45°方向A处巡航的中国渔政船接到求救信号后立刻前往救援，此时，中国渔政船与小岛O相距8海里，渔船在中国渔政船的正东方向上（1）求BAO与ABO的度数（直接写出答案）；（2）若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能否在1小时内赶到？请说

53、明理由（参考數据：tan75°3.73，tan15°0.27，1.41，2.45）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】（1）作OCAB于C，根据方向角的定义得到AOC=45°，BOC=75°，由直角三角形两锐角互余得出BAO=90°AOC=45°，ABO=90°BOC=15°；（2）先解RtOAC，得出AC=OC=OA5.64海里，解RtOBC，求出BC=OCtanBOC21.0372海里，那么AB=AC+BC26.6772海里，再根据时间=路程÷速度求出中国渔政船赶往B处救援所需的时间，与1小

54、时比较即可求解【解答】解：（1）如图，作OCAB于C，由题意得，AOC=45°，BOC=75°，ACO=BCO=90°，BAO=90°AOC=90°45°=45°，ABO=90°BOC=90°75°=15°；（2）若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时内赶到理由如下：在RtOAC中，ACO=90°，AOC=45°，OA=8海里，AC=OC=OA4×1.41=5.64海里在RtOBC中，BCO=90°，BOC=75&#

55、176;，OC=4海里，BC=OCtanBOC5.64×3.73=21.0372海里，AB=AC+BC5.64+21.0372=26.6772海里，中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，中国渔政船所需时间：26.6772÷280.953小时1小时，故若中国渔政船以每小时28海里的速度沿AB方向赶往B处救援，能在1小时内赶到【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，直角三角形的性质，锐角三角函数定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键21如图，海中一小岛上有一个观测点A，某天上午9：00观测到某渔船在观测点A的西南方向上的B处跟踪鱼群由南向北匀速

56、航行当天上午9：30观测到该渔船在观测点A的北偏西60°方向上的C处若该渔船的速度为每小时30海里，在此航行过程中，问该渔船从B处开始航行多少小时，离观测点A的距离最近？（计算结果用根号表示，不取近似值）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】首先根据题意可得PCAB，然后设PC=x海里，分别在RtAPC中与RtAPB中，利用正切函数求得出PC与BP的长，由PC+BP=BC=30×，即可得方程，解此方程求得x的值，再计算出BP，然后根据时间=路程÷速度即可求解【解答】解：过点A作APBC，垂足为P，设AP=x海里在RtAPC中，APC=90°，PA

57、C=30°，tanPAC=，CP=APtanPAC=x在RtAPB中，APB=90°，PAB=45°，BP=AP=xPC+BP=BC=30×，x+x=15，解得x=，PB=x=，航行时间：÷30=（小时）答：该渔船从B处开始航行小时，离观测点A的距离最近【点评】此题考查了解直角三角形的应用方向角问题，锐角三角函数的定义，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，注意数形结合思想的应用22如图，某市对位于笔直公路AC上两个小区A、B的供水路线进行优化改造供水站M在笔直公路AD上，测得供水站M在小区A的南偏东60°方向，在小区B的西南方向

58、，小区A、B之间的距离为300（+l）米，求供水站M分别到小区A、B的距离（结果可保留根号）【考点】解直角三角形的应用-方向角问题【分析】根据题意，在ABM中，BAM=30°，ABM=45°，AB=300（+l）米过点M作MNAB于N，设MN=x米，用含x的代数式分别表示AN，BN，根据AN+BN=AB建立方程，解方程求出x的值，进而求出MA与MB的长【解答】解：过点M作MNAB于N，设MN=x米在RtAMN中，ANM=90°，MAN=30°，MA=2MN=2x，AN=MN=x在RtBMN中，BNM=90°，MBN=45°，BN=MN=x，MB=MN=xAN+BN=AB，x+x=300（+l），x=300，MA=2x=600，MB=x=300故供水站M到小区A的距离是600米，到小区B的距离是300米【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，“化斜为直”是解三角形的基本思路，常需作垂线（高），原则上不破坏特殊角（30°、45°、60°）23）如图，台风中心位于点O处，并沿东北方向（北偏