数学物理方法学习资料汇总

1、数学物理方法资料化硕五班小威整理数学物理方法资料汇总(10.09)第一章 分离变量法Method of Separation of VariablesSupposeHence (1) (2) (3)As for Eq.(1), rearranging the equation givesWhere A is a constant irrelevant to either x or t, therefore (4) (5)As for Eq.(4), rearranging the equation and integral on both sides givesHenceAs for Eq.(

2、3), since T(t) does not always equal to 0 , therefore (6)As for Eq.(5), 3 different situations need to be discussedSitu.1: Then ApparentlySubstituting Eq.(2) into equation above givesTherefore, Discard situ.1Situ.2: ThenThe characteristic equation corresponding to differential equation above has two

3、 different real roots Therefore its general solution isSubstituting Eq.(2) into equation above givesTherefore, Discard situ.2Situ.3: ThenThe characteristic equation corresponding to differential equation above has two different imaginary roots Therefore its general solution isSubstituting Eq.(2) int

4、o equation above givesIn order to let ,Then ConsequentlyTherefore AndWhich still not satisfy Eq.(3), since is a function relevant to positive integer .Construct Where is infinite linear combination of , and satisfies Eq.(1) and Eq.(2) Then substituting the equation above into Eq.(3) givesWhere accor

5、ding to Fourier Series,一维达朗贝尔方程(必考)Show DAlemberts formulaSatisfiesProof:can be written asThen AndWhile AndTherefore Then Derivation of DAlemberts formula of one-dimensional wave equation1. General solution of one-dimensional wave equationSubstitution:;Using chain rule givesTherefore Similarly Conse

6、quently Integral for givesIntegral the equation on both sides givesHence the general solution of one-dimensional wave equation is2. Solution of one-dimensional wave equation consisting given boundary conditionsSinceApparently AndIntegral the equation givesTherefore,Consequently 第二章 傅里叶级数1. 和的推导如果以为周

7、期的函数可以展开成三角级数，即 （1）成立。在等式两边同时对积分有因此将等式（1）左右两边同时乘以然后对积分有利用三角函数的正交性，等式右边的第二项积分而言，当时，积分为0，而当时，积分为，所以因此将等式（1）左右两边同时乘以然后对积分后同理可得合并上述结果，可以得到和即为的傅里叶系数，等式（1）的右边即为的傅里叶级数。记为：此处之所以没有使用“=”，是由于尚不清楚的傅里叶级数是否以为和函数，且其是否收敛也未可知。对于的傅里叶级数而言，如果是奇函数，显然有由于此时的傅里叶级数仅剩下正弦项，因此也成为正弦级数；如果是偶函数，同理有且由于此时的傅里叶级数仅剩下余弦项，因此也成为余弦级数。2. 关于

8、傅里叶级数的一些重要结论以为周期，定义于上的函数的傅里叶展开式为证明（应该不会考）如下：由于在R上连续，因此可展开为傅里叶级数，同时由于为偶函数，所以其展开式必然为余弦级数。所以有上式中，当n为偶数时，；n为奇数时，令则有证毕。由上式可以得到几个重要数列的和.令有移项得：（重要）由上述结论还可以得到：，3. 傅里叶级数的收敛定理（Convergence Theorem）当我们说函数在闭区间逐段连续，即是说（1）在闭区间上存在有限多个间断点（2）每个间断点的左极限和右极限都存在（左端点的左极限存在，右端点的右极限存在）也可以说成是只在有个第一类间断点处不连续，在其他地方都连续。当我们说函数在闭区

9、间逐段光滑，即是说（1）逐段连续（2）逐段连续收敛定理：以为周期的函数在区间上逐段光滑，且在上有有限个极值点，则的傅里叶级数在上处处收敛，且即当的傅里叶级数收敛时，其在连续点的傅里叶级数等于在改点的函数值，即在连续点处，可以展开为它的傅里叶级数；在其不连续点的傅里叶级数收敛于该点左右极限的平均值。4. 周期为2l的周期函数的傅里叶级数设以为周期的周期函数在一个周期上（黎曼）可积，做周期变换则便是以为周期的函数，其傅里叶级数为其中再做逆变换则其中（10.16）傅里叶级数的三道必考题之一解：假设函数可以写作进而有移项整理得其中A是与x,t都无关的常数，于是有 分别求解，对于所以对于，当时，都可以得

10、到，与题设不符（具体证明过程可以参考【分离变量法】）当时，此微分方程所对应的特征根方程有两个共轭的复根，因此其通解为由初始条件有因为不恒为0，所以有又因为所以解得同理有解之可得所以其中，n为自然数，所以进而有由上式可知，对于每个不同的n，都有一个与之对应。而，是一个给定的函数，所以此处得到的仍然不是方程的解。构造为一切的线性组合，即由于满足题目给定的微分方程和初始条件，所以同样也满足上述条件。将代入上式得为了表达方便，可将上式改写为即可以展开为余弦级数，所以显然有（10.16）傅里叶级数的三道必考题之二解：假设函数可以写作进而有移项整理得其中A是与x, t都无关的常数，于是有 分别求解，对于，

11、当时，都可以得到，与题设不符（具体证明过程可以参考【分离变量法】）当时，此微分方程所对应的特征根方程有两个共轭的复根，因此其通解为对于，当时，也可以得到，与题设不符（具体证明过程可以参考【分离变量法】）当时，此微分方程所对应的特征根方程有两个共轭的复根，因此其通解为由初始条件有因为不恒为0，所以有代入的通解可得解得其中，n为自然数（下同）所以进而有由上式可知，对于每个不同的n，都有一个与之对应。而，、是一个给定的函数，所以此处得到的还不是方程的解。构造为一切的线性组合，即由于满足题目给定的微分方程和初始条件，所以同样也满足上述条件由令，并由傅里叶级数（正弦级数）可得由令则由傅里叶级数（正弦级数

12、）可得：所以根据三角函数积化和差公式上式可展开为：又因为所以上式即为达朗贝尔公式（DAlemberts formula）（10.16）傅里叶级数的三道必考题之三解：题目中，x, t分别表示位置和时间，f(t)表示的是边界温度，且该温度仅与时间t有关，同时还应有假设 f(t)为周期函数并在周期内可展开为傅里叶级数。若f(t)可以展开为其中，由傅里叶级数可得因为，因此我们希望也具有同样的性质，所以可假设其为其中，n为整数。同时假设上式逐项可导，从而有将上两式代入原微分方程可得即该方程所对应的特征根方程的特征根存在以下几种情况时所以时此时，方程的通解为时此时，方程的通解为然而，对于上述三种情况而言，

13、当时，它们通解的第一项都趋近于无穷大而第二项趋近于0，从而导致趋近于无穷大，所以温度也趋于无穷大，这显然与实际情况相矛盾，所以必然有由边界条件还可以得到即将上式代入通解可以得到所以，综上所述，可以得到的通解为上式中，对于第三项做关于0的对称变换，可以得到移项整理后可得第三章 函数的正交系（1）1. 向量及其内积一个k维复向量是由k个有序复数组成的，即复向量的加法于标量乘法与实向量相同，且标量可以为复数，即同时，零向量记为，k维复向量空间记为。两个向量的内积定义为同时，向量的内积还是厄米对称的，即向量的模定义为都有对上式简要证明如下：根据向量的内积和向量的模的定义有由于对于任意复数其共轭复数为因

14、此其中，Re为复数的实数部分，所以柯西-施瓦茨不等式：都有三角不等式：都有毕达哥拉斯定理：若且两两正交，即则有：补充术语若向量，则称其为归一化的，或称为单位向量。任意一个非零向量可以通过除以其自身的模进行归一化，即若一个向量集合中的所有向量都非零且两两垂直，则称这些向量为正交系；若一个向量集合中的所有向量都两两垂直且归一化，则称这些向量为归一正交系。向量系是正交归一的，当且仅当其中称作克罗内克符号（Kronecker symbol）时时任意正交系中的所有向量都是相互独立的，即下式当且仅当时才成立。假设是上的一个正交归一系，若对于向量可以表示为的线性组合，即将等式两边同时与做内积可得因此，若是上

15、的一个正交归一系，则对于都有此外，由毕达哥拉斯定理可得2. 函数及其内积根据向量的内积及模的定义，将其中的求和运算变换为积分运算，就得到了函数的内积和模的定义，即对于向量成立的柯西-施瓦茨不等式、三角不等式、毕达哥拉斯定理在将其中的求和运算改为积分运算后，对于函数也同样成立，即当时函数其中，n为整数。考虑上述函数在逐段连续空间中的情形，即当n=m时，当nm时，因此，是一个正交归一系。若是逐段连续空间上函数f的傅里叶系数，则由傅里叶系数的定义有所以即f的傅里叶级数可以展开为关于正交归一系的和式。狄利克雷问题狄利克雷问题（Dirichlet problem）就是在给定边界条件的区域D内求解拉普拉斯

16、方程的问题，即当区域D是一个长为L，宽为l的矩形时，即此时狄利克雷问题就变成了求解带有若干边界条件的二阶偏微分方程，即根据叠加原理，分别求解当和时方程的解，其解的加和即为原方程的解。同时与这两种情形是等价的，因此只需要求解其中一个问题，并改变相应的变量就可以得到另一个解。因此我们这里求解的情形，即根据变量分离法，首先假设函数可以写作代入微分方程可得移项整理得（可以证明，当上式中的比例常数为非负数时，方程只有0解，与题设不符）于是有对于方程，其对应的特征根方程有两个共轭的复根，因此其通解为将边界条件代入微分方程可得所以进而有所以当时，就得到了特征值对应的特征函数，即对于方程，其对应的特征根方程有

17、两个不同的实根，因此其通解为由于双曲余弦函数双曲正弦函数所以函数可以表示为将代入上式得所以由上式可知，对于每个不同的n，都有一个与之对应。而，由于，都是给定的函数，所以此处得到的还不是方程的解。构造函数为一切的加和，即由初始条件，可得其中其中可以解得所以其中因为时的情形为：由于此情形与时的情形完全等价，所以此情形下的解为其中所以，方程最终的解为（10.30）非齐次边界条件问题问题1求解非齐次边界问题时，首先应将其转化为齐次边界问题。因此，此处首先找出方程的稳态解，即与时间t无关的解，将其代入原方程后可得解得式中，p、q为待定系数。根据边界条件可得解得所以构造函数代入原方程可得化简后可得又由初始

18、条件可得所以由边界条件还可以得到因此，题设问题就转化为了齐次边界条件问题，即求解由变量分离法，首先假设进而有移项整理得其中A是与x, t都无关的常数，于是有 分别求解，对于所以对于，当时，都可以得到，与题设不符。当时，此微分方程所对应的特征根方程有两个共轭的复根，因此其通解为由边界条件有因为不恒为0，所以有将上式代入的通解可得因此其中n为整数。所以进而有由上式可知，对于每个不同的n，都有一个与之对应。而，而和都是给定的函数，所以此处得到的仍然不是方程的解。构造为所有的加和，即因为，所以所以上式中，令而由分部积分公式其中所以所以进而因为所以由于函数在区间上显然可以展开为傅里叶级数，而且所以函数的

19、傅里叶级数展开式为所以可以表示为问题2其中假设函数可以写作进而有移项整理得当上式中的比例常数为非负数时，方程只有0解，与题设不符。于是有 分别求解，对于所以由方程的初始条件，可以得到如下的Sturm-Liouville问题由于关于x的二阶齐次线性微分方程所对应的特征根方程有两个共轭的复根，所以其通解为所以由初始条件可得由上两式可得即特征值v满足上两式。若只将v视为变量，上式中右侧等式左右两边所表示的函数在其公共定义域内为无穷多个交点，也即是说满足条件的特征值v有无穷多个。为了简化计算，取，所以，此时上式即为特征值所对应的特征函数。同时，特征值所对应的归一化特征函数其中所以此时，由于存在无数多个

20、满足条件的特征值，因此上式仍然与n有关。直接构造函数由方程的初始条件可得上式的等号左右两边同时对作内积可得注意：此处的是一个正交归一的函数，其归一性前面已经体现，此处证明其正交性因为要证明正交，即证明因此只需证明根据三角函数的正交性，易得上式等于0。因此是一个正交归一的函数。此外，若函数可以展开为关于函数系的级数，即当且仅当为正交基时，才有当为实函数时特别地，若为正交归一基，则此时本题中，由于是正交归一函数，所以非齐次方程（10.30）如果方程的非齐次项是与t无关的，即则上述非齐次边界问题就转化为了稳态解的问题。令代入原方程可得因此对上式左右两边积分两次后可得此处令并将边界条件代入可得所以实际

21、求解时，不用解出。做代换代入原方程后可得即将非齐次方程转化为了齐次方程。由变量分离法，首先假设进而有移项整理得其中A是与x, t都无关的常数，于是有 分别求解，对于所以对于，当时，都可以得到，与题设不符。当时，此微分方程所对应的特征根方程有两个共轭的复根，因此其通解为由边界条件有因为不恒为0，所以有将上式代入的通解可得因此其中n为整数。所以进而有由上式可知，对于每个不同的n，都有一个与之对应。而，而和都是给定的函数，所以此处得到的仍然不是方程的解。构造为所有的加和，即因为，所以即其中所以为了表达方便，将也写为傅里叶级数的展开式，即其中是由已知函数所确定的，将之前求得的，和的傅里叶展开式代入原微

22、分方程可得这里Cn是与x，t都无关的常数。由于等式左右两边恒等，所以解得这显然与Cn为常数不符，因此直接令将上述傅里叶级数展开式代入原方程则有由于等式左右两边恒等，所以显然，上式是形如的一阶线性非齐次微分方程，因此其通解为又因为，所以将上式代入的通解后（不定积分结果的常数项都取0）可得当忽略常数项时，若不定积分定积分所以当时有所以所以因此多重傅里叶级数定理：假设是平方可积区间上的单位正交基，是平方可积区间上的单位正交基。令则， 是二维单位平方可积区间上的单位正交基，其中对上述定理简要证明如下显然，当且仅当且时，上式等于1，若否，上式等于0，所以是二维单位平方可积区间上的单位正交基。考虑带边界条

23、件的二维波动方程根据变量分离法，首先假设函数可以写作代入微分方程可得移项整理可得由此可得其通解显然为同时由此可得由边界条件可得由边界条件又可得因此，关于X和Y的方程的特征值分别为所以，关于X和Y的方程的特征函数分别为又因为所以函数可以表示为所以构造与m，n都无关的函数所以由初始条件可得其中又因为，即其中极坐标系下的狄利克雷问题狄利克雷问题（Dirichlet problem）就是在给定边界条件的区域D内求解拉普拉斯方程的问题，即当区域D是一个在极坐标系中的“矩形”（弓形）时，即此时，需要将拉普拉斯方程转换至极坐标系中。做代换根据链式求导法则有再次由链式求导法则可得整理得因为将其代入上式，整理后

24、可得因此，极坐标系下的狄利克雷问题所要求解的微分方程即为假设，极坐标系下的狄利克雷问题即为，由变量分离法，假设代入微分方程后可得移项整理后可得于是有对于方程，其对应的特征根方程有两个共轭的复根，因此其通解为又因为，所以代入的通解后可得所以令，因此注：上述方程也可以直接通过Sturm-Liouville问题中的特征值直接求解。即其特征值，进而其特征函数为对于方程，其实际上是一类特殊的欧拉方程。做代换代入方程后可得由于，所以又因为，所以因此是上述方程的两个特解，而其通解应为这两个特解的线性组合，即所以构造函数代入初始条件，并同时将写为其傅里叶级数展开式可得其中，是由所唯一确定的常数，因此解得因此当

25、区域D是一个圆环时，即此时的狄利克雷问题即为由变量分离法，假设代入微分方程后可得移项整理后可得于是有因为所以即是以为周期的函数，对于方程，其对应的特征根方程有两个共轭的复根，因此其通解为同时所以，当且仅当为整数时，。为便于表达，令,并将写为复指数，即对于方程，同之前的解法，可得由于当n=0时，下列方程有两个相同的根，即该方程的一个解为假设该方程另一个与上述解线性无关的解为将其代入，注意到可得为计算简便，可直接取因此所以，当时因此由初始条件，并同时将写为其傅里叶级数展开式可得其中其中，是由所唯一确定的常数（其中也包含的情况）可以解得所以第五章 贝塞尔函数的应用（11.13）形如的二阶微分方程称为

26、v阶贝塞尔方程。且是方程的一个解。此外，当v不是整数时，是方程的一个与线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为当v是整数时，是方程的一个与线性无关的解，因此，此时贝塞尔方程的通解为问题1：考虑极坐标下的二维波动方程根据变量分离法，首先假设代入原微分方程后可得移项整理可得因此同时因此分别求解上述三个微分方程对于方程，由于题目中没有给定的范围，因此即由于其通解为同时所以，当且仅当为整数（即）时，所以其中，n为整数对于方程，由于它是一个v阶贝塞尔方程，因此是方程的一个解。同时，由于所以因此，若令则对于方程，其通解为令为的正零点，由教材147页下方的定理5.3可知，是加权平方可积区间上的正交基，且。

27、同时，是平方可积区间上的正交基。与的乘积也会在加权平方可积区间上形成一个正交基，其中将上述区域转化至直角坐标系时有由初始条件可得所以为了表达方便，令因此根据叠加原理，直接构造函数又因为所以根据傅里叶-贝塞尔公式，当时，其系数因此，根据傅里叶系数公式，进而可得且当时问题2：考虑极坐标下的热传递方程若将传热区域限定为一个实心圆柱，即其中假设区域D的边界是绝热的，即方程的初始条件为同样根据变量分离法，首先假设代入原微分方程后可得移项整理可得因此同时因此分别求解上述三个微分方程对于方程，其通解为又因为所以所以所以对于方程，它是一个v阶贝塞尔方程，因此是方程的一个解。同时，由于所以因此令为的正零点，所以

28、有对于方程，其通解为（为表达方便，令常数项为1）因此，根据叠加原理，直接构造函数又因为当与上述函数相差一个常数时，也满足微分方程和所有的边界条件。因此，函数改写为因为所以其中,根据傅里叶-贝塞尔公式同理，当时第六章 傅里叶变换（一）若是实数集上的可积函数，则称为在实数集上的傅里叶变换，且称为在实数集上的傅里叶逆变换。傅里叶变换的四个基本性质1、 位移性质对任意实数a，都有2、 压缩性质若且，则有3、 导数性质若可积函数连续且分段光滑，则有若也可积，则有4、 卷积性质若函数和都可积，则有考虑非限定区域内的热传递问题对微分方程和初始条件同时做傅里叶变换，并由傅里叶变换的导数性质可得当确定时，上述微

29、分方程是一个关于t的一阶线性常微分方程，因此其通解为又因为所以因此同时，根据教材216页上方的结论取则有因此所以对上式左右两边进行傅里叶逆变换并根据傅里叶变换的卷积性质可得第七章 傅里叶变换（二）考虑半平面上的拉普拉斯方程并同时满足对微分方程和边界条件作关于的x傅里叶变换可得当确定时，上述微分方程是关于y的二阶线性常系数微分方程，由于其所对应的特征根方程有两个不同的实数根，因此方程的通解为代入边界条件可得又因为u关于x在R上有界，所以因此必然有进而有因此根据教材216页下方（7.13）式，即（上式的证明用到了留数定理，此处承认其正确性即可）因此所以根据傅里叶变换的卷积性质可得上式称为泊松积分公

30、式，其中称为泊松核。第八章 拉普拉斯变换(12.04)若（即时，），关于复数的函数就称为的拉普拉斯变换/，且称为的拉普拉斯逆变换。拉普拉斯变换的几个重要性质（）1、 位移性质对于任意都有2、压缩性质对于任意都有3、 导数性质若函数f在上k阶可导，且，则4、 积分性质5、 乘多项式性质若，则6、 卷积性质若，则拉普拉斯变换的几个重要公式1、 卷积公式若，则2、 变换公式1拉普拉斯变换的应用1、 常微分方程由拉普拉斯变换的导数性质可知因此，直接对上述微分方程等式两边进行拉普拉斯变换可得由此解得其中所以因此其中2、 偏微分方程此处为便于求解，直接令对上述方程等号两边做拉普拉斯变换（对t做）可得上式是

31、一个关于z的二阶常微分方程，令因此所以方程的通解为对边界条件做拉普拉斯变换得所以显然有所以下面对的取值情况进行讨论当时由拉普拉斯变换的位移性质可得当时由于因此3、 积分方程若，则有代入原方程得对上式做拉普拉斯变换可得解得若令则所以因为所以第九章 广义函数1、 定义引入定义前的准备支集：若是定义在上的函数，我们称所有满足的点的闭包（此处可简单将其理解为集合）为的支集，即这些使非零的点支撑起了。的支集记为。若，我们就说被支起。测试函数集：若维度给定时，定义在上的函数任意阶可（偏）导且连续，同时由这些函数所构成的函数空间的支集（即满足让这些函数非零的点所构成的集合）是的有界子集，我们就称这些函数空间

32、（函数所构成的集合）为测试函数集，并记为，且其中的每个元素都称作测试函数。广义函数的定义广义函数（分布）：是在对应法则下从集合到集合的映射，且满足条件（1）线性：对和都有（2）连续性：若是中的一个序列（即是测试函数集的子集），且对所有而言，其支集都包含于一个固定的有界集合中，且假定当时，函数及其所有的偏导数都一致收敛于0，此时则有。广义函数的表示式为其中另外，每个局部可积的函数都可以视为广义函数。最简单的广义函数是Dirac delta函数，其定义为此处的为0向量。若C是上的光滑曲线，曲线的弧长微元记为，则可以定义在上的广义函数F当给定曲线的参数方程为时2、 广义函数的运算若，当时则有根据测试函数的定义，即测试函数集是的有界子集，因此当很大时，必然为0，所以同时，上式可以推广到k阶导数且当其导数为偏导数时，上式也成立，即利用上述性质，可以证明单位阶跃函数的导数为冲激函数，即，过程如下又因为所以利用上述性质还可以找到广义函数导数和函数导数之间的关系。若将广义函数的导数记为，