典型极坐标参数方程练习题带答案

1、.极坐标参数方程练习题1在直角坐标系xOy 中，直线 C1： x 2，圆 C2：(x 1)2(y 2)2 1，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系(1)求 C1， C2 的极坐标方程；(2)若直线 C3 的极坐标方程为 ( R)，设 C2 与 C3 的交点为 M， N，求 C2MN 的4面积解： (1)因为 xcos ，ysin ，所以 C1 的极坐标方程为 ，cos22C2 的极坐标方程为 2cos 4sin 40.(2)将 2212，4 代入 2cos 4sin 40，得 3 240，解得 22.故 2，即 |MN| 2.2121由于 C2 的半径为 1，所以 C2 MN

2、的面积为2.4(2014 ·辽宁， 23，10分，中 )将圆 x2y21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲线 C.(1)写出 C 的参数方程；(2)设直线 l： 2xy20 与 C 的交点为 P1，P2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1 2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程Pxx ，解： (1)设 (x1， 1为圆上的点，经变换为C上点 ，依题意，得1y )(x y)y2y ，1222 y 2由 x1y1 1 得 x 21.y2即曲线 C 的方程为 x2 4 1.xcos t，故 C 的参数方程为(t 为参数 )y2sin ty

3、2x2 4 1，x1， x0，(2)由解得或2x y20y0y2.不妨设 1， ， 2， ，则线段 1 2 的中点坐标为11，1 ，所求直线斜率为k ，P (10)P (02)P P22于是所求直线方程为1 x1 化为极坐标方程，并整理得y 1 22 .2cos 4sin 3，即 3.4sin 2cos (2)(2015 吉·林长春二模， 23，10 分)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 C 的极坐标方程为 cos 1，M，N 分别为曲线 C 与 x3轴， y 轴的交点写出曲线 C 的直角坐标方程，并求M，N 的极坐标；设 M， N

4、的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程【解析】(1)将 2cos2sin 两边同乘以 ，得 2(cos )2 sin ，化为直角坐标方程为 2x2y，C2： cos 1 化为直角坐标方程为x1，x1，联立 可解得y2，所以曲线 C1 与 C2 交点的直角坐标为 (1，2)(2)cos 3 1，cos ·cos3 sin ·sin3 1.xcos ，13又 xy 1，ysin ，22即曲线 C 的直角坐标方程为 x3y20.2 3令 y 0，则 x2；令 x 0，则 y 3 .2 3M(2，0)，N 0， 3 .M 的极坐标为 (2，0)， N 的极坐标为 23.3，2M

5、，N 连线的中点 P 的直角坐标为1，3，3P 的极角为 6.直线OP 的极坐标方程为 6( R)注：极坐标下点的坐标表示不唯一【点拨】解答题 (1)的关键是掌握直角坐标化为极坐标的方法；题(2)先转化为直角坐标问题求解，再转化为极坐标(2013 ·课标 ，23， 10 分 )已知曲线 C1 的参数方程为x 4 5cos t，y 5 5sin t(t 为参数 )，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2 的极坐标方程为 2sin .(1)把 C1的参数方程化为极坐标方程；(2)求 C1与 C2 交点的极坐标 (0，0 2)【解析】 (1)将x45cos t，t，

6、化为普通方程为(x4)2 5)2，消去参数(y25y55sin t即 C1：x2 y28x 10y16 0.xcos ，将代入 x2y28x10y16 0，得ysin 2 8cos 10sin 160.2所以 C1 的极坐标方程为 8cos 10sin 160.(2)C2 的普通方程为 x2 y22y 0.x2y2 8x10y160，联立 C1，C2 的方程x2y2 2y0，x1，x0，解得或y1y2.所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为2， ， 2， .42【点拨】本题主要考查圆的参数方程、极坐标方程和标准方程以及圆与圆的位置关系，解题的关键是将参数方程和极坐标方程化为直角坐标方程求解(

7、2012 ·辽宁， 23，10 分)在直角坐标系 xOy 中，圆 C1：x2 y24，圆 C2：(x 2)2y2 4.(1)在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆C1，C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点坐标 (用极坐标表示 )；(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程xcos ，解：(1)由ysin ， 知圆 C1 的极坐标方程为 2，圆 C2 的极坐标方程为 4cos .222x y 2，解得 2，± ，4cos 312的交点坐标为2， 2，故圆 C与圆 C3.3注：极坐标系下点的表示不唯一xcos ，(2)方法一：由得圆 C1

8、 与 C2 交点的直角坐标分别为 (1，3)，(1， 3)ysin x1，故圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为( 3t 3)ytx1，或参数方程写成 3y 3yy，xcos ，方法二：将 x1 代入ysin ，得 cos 1，从而 1.cos 于是圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程为.x 1，y tan 3 3 .5(2015 ·河北邯郸二模， 23，10 分)已知圆 C 的极坐标方程为 2cos ，直线 l 的13x22 t，(t 为参数 )，点 A 的极坐标为2，设直线 l 与圆 C 交于点 P，参数方程为112， 4y22tQ.(1)写出圆 C 的直角坐标方程；(2)

9、求|AP| ·|AQ|的值解： (1)因为圆 C 的极坐标方程为2cos ，2所以 2cos ，将其转化成直角坐标方程为x2 y22x，即(x1)2 y21.21 1(2)由点 A 的极坐标2 ， 4得直角坐标为 A 2，2 .13将直线 l 的参数方程x22 t，(t 为参数 )代入圆 C 的直角坐标方程 (x1)2 y21，1 1 y 22t得 t2 31t1 0.2212231t11 21设 t，t为方程 t 22 0的两个根，则 t t 2，1所以 |AP| ·|AQ|t1t2|2.xtcos ，2(2015 ·课标 ，23， 10 分，中 )在直角坐标系

10、xOy 中，曲线 C1： (t 为ytsin ，参数， t0)，其中 0 .在以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2： 2sin ，C3： 2 3cos .(1)求 C与 C 交点的直角坐标；23(2)若 C与 C 相交于点 A，C与 C 相交于点 B，求 |AB|的最大值1213解： (1)曲线 C2 的直角坐标方程为 x2y22y0，曲线 C3 的直角坐标方程为 x2 y22 3x0.x2 y22y 0，联立x2 y22 3x0，3x0，x 2，解得或y03y2.33所以 C2 与 C3 交点的直角坐标为(0， 0)和 2 ，2 .(2)曲线 C1 的极坐标方程为 (

11、R，0)，其中 0<.因此 A 的极坐标为 (2sin ，)， B 的极坐标为 (23cos ， )所以 |AB|2sin 23cos |4 sin 3 .5当 6 时， |AB|取得最大值，最大值为4.1x32t，3(2015 ·陕西，23，10 分，易)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为3y 2 t(t 为参数 )，以原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 23sin .(1)写出 C 的直角坐标方程；(2)P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求P 的直角坐标解： (1)由 23sin ，得2 2 3sin ，

12、.从而有 x2 y223y，所以 x2(y3)2 3.13(2)设 P 3 2t， 2t ，又 C(0，3)，1232t212，则|PC|3 2t2 t3 故当 t0 时， |PC|取得最小值，此时， P 点的直角坐标为 (3，0)5(2014 ·课标 ，23， 10 分，中 )在直线坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正C 的极坐标方程为 2cos半轴为极轴建立极坐标系，半圆 ， 0， 2 .(1)求 C 的参数方程；(2)设点 D 在 C 上， C 在 D 处的切线与直线 l：y 3x 2 垂直，根据 (1)中你得到的参数方程，确定 D 的坐标解： (1)C 的普通方程为

13、 (x 1)2 21)y1(0yx 1 cos t，可得 C 的参数方程为(t 为参数， 0 t)y sin t(2)设 D(1 cos t， sin t)由 (1)知 C 是以 G(1， 0)为圆心， 1 为半径的上半圆因为 C在点 D 处的切线与 l 垂直，所以直线 GD 与 l 的斜率相同， tan t3，t 3.故 D 的直角坐标为 1cos333， sin3，即 ，2.2x2cos t，7(2013 ·课标 ，23，10 分，中 )已知动点 P，Q 都在曲线 C：(t 为参数 ) y2sin t上，对应参数分别为t与 t 2(0<<2) ，M 为 PQ 的中点(

14、1)求 M 的轨迹的参数方程；(2)将 M 到坐标原点的距离 d 表示为 的函数，并判断 M 的轨迹是否过坐标原点解： (1)依题意有 P(2cos ，2sin )， Q(2cos 2，2sin 2)，.因此 M(cos cos 2，sin sin 2)M 的轨迹的参数方程为x cos cos 2，(为参数， 0<<2)y sin sin 2(2)M 点到坐标原点的距离dx2y22 2cos (0<<2)当 时，d0，故 M 的轨迹过坐标原点22x2t，(2014·课标，分已知曲线xy 1.直线 l ：(t为参数23 10)C： 49y22t)(1)写出曲线

15、C 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2)过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求 |PA|的最大值与最小值【思路导引 】(1)由基本关系式可消参求出普通方程；(2)把 |PA|用参数 来表示，从而求其最值x2cos ，【解析】(1)曲线 C 的参数方程为(为参数 )y3sin 直线 l 的普通方程为2x y60.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ，3sin )到 l 的距离为5d 5 |4cos 3sin6|.则|PA|d2545|5sin()6|，其中 为锐角，且 tan .sin 30°3225当 sin( ) 1 时

16、， |PA|取得最大值，最大值为5 .当 sin( )1 时， |PA|取得最小值，最小值为 255.(2013 ·辽宁， 23，10 分)在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系圆 C1，直线 C2 的极坐标方程分别为 4sin ， cos 2 2.4.(1)求 C与 C 交点的极坐标；12(2)设 P 为 C1的圆心， Q 为 C1与 C2交点连线的中点，已知直线PQ 的参数方程为xt3a，b 3(tR 为参数 )，求 a，b 的值y2t1【解析】(1)圆 C1 的直角坐标方程为x2(y2)2 ，4直线 C2 的直角坐标方程为xy40.x2（ y

17、 2） 24，x1 0， x2 2，解得xy40y 4， y 2.12所以 C1 与 C2 交点的极坐标为4， ， 22， .24注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得， P 点与 Q 点的直角坐标分别为 (0，2)， (1，3)故直线 PQ 的直角坐标方程为 x y 2 0.bbab由参数方程可得y 2(x a)12x 2 1，b21，所以ab 2 12，解得 a 1，b2.【点拨】解答本题的关键是明确转化思想的运用，即把极坐标化为直角坐标，把参数方程化为普通方程求解问题x 2cos ，2011·课标全国，23，10 分)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为y

18、 2 2sin (为参数 )， M 是 C1 上的动点， P 点满足 OP2OM，P 点的轨迹为曲线C2.(1)求 C2 的方程；(2)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 射线 3 与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，求 |AB|.解： (1)设 P(x， y)，x y则由条件知 M 2， 2 .x22cos ，由于 M 点在 C1 上，所以y222sin ，x4cos ，即y44sin .x4cos ，从而 C2 的参数方程为(为参数 )y44sin 1化为普通方程为221的极坐标方程为(2)Cx(y 2)4，故曲线 C 4sin ，同理可得曲线 C2 的极坐标方程为8sin .射线 3 与 C1 的交点 A 的极径为1 4sin3 23，射线 3 与 C2 的交点 B 的极径为2 8sin3 43.所以 |AB|21| 2 3.5 (2014 ·辽宁锦州一模， 23， 10 分)已知圆的极坐标方程为 0.(1)将极坐标方程化为普通方程；(2)若点 P(x， y)在该圆上，求 xy 的最大值和最小值2解： (1)原方