函数与极限重点知识归纳名师制作优质教学资料

1、常量与变量变量的定义我们在观察某一现象的过程时， 常常会遇到各种不同的量， 其中有的量在过程中不起变化我们把其称之为 常量 ；有的量在过程中是变化的， 也就是可以取不同的数值， 我们则把其称之为变量 。,注： 在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。变量的表示如果变量的变化是连续的，则常用区间 来表示其变化范围。在数轴上来说，区间 是指介于某两点之间的线段上点的全体。区间的名区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示称闭区间axba ， b开区间a x b（ a， b）半开区间axb 或 ax b（ a，b 或 a ， b）以上我

2、们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间：a ，+) ：表示不小于a 的实数的全体，也可记为：ax+；(-， b) ：表示小于b 的实数的全体，也可记为：- x b；(-， +) ：表示全体实数R，也可记为：- x+注： 其中 - 和 +，分别读作" 负无穷大 " 和 " 正无穷大 ", 它们不是数 , 仅仅是记号。邻域设 与 是两个实数， 且 0. 满足不等式x - 的实数 x 的全体称为点 的 邻域，点 称为此邻域的中心， 称为此邻域的半径。函 数函数的定义如果当变量与它对应，则称x 在其变化范围内任意取定一个数值时，量y 是 x 的函数 。 变

3、量 x 的变化范围叫做这个y 按照一定的法则总有确定的数值函数的定义域。通常x 叫做 自变量 ，y 叫做 因变量 。表示注：为了表明y 是 x 的函数， 我们用记号y=f(x)、y=F(x) 等等来表示 . 这里的字母y 与 x 之间的对应法则即函数关系 , 它们是可以任意采用不同的字母来表示的."f"、"F"注： 如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做 单值函数 ，否则叫做 多值函数 。这里我们只讨论单值函数。函数的有界性如果对属于某一区间 I 的所有 x 值总有 f(x) M 成立，其中 M是一个与 x 无

4、关的常数，那么我们就称 f(x) 在区间 I 有界，否则便称无界。注意： 一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数例题： 函数 cosx 在 (- ,+ ) 内是有界的.函数的单调性如果函数在区间 (a,b) 内随着 x 增大而增大，即：对于(a,b) 内任意两点 x及 x ，当 x112x 2 时，有，则称函数在区间 (a,b)内是 单调增加 的。如果函数在区间 (a,b)内随着 x 增大而减小，即：对于(a,b) 内任意两点x 1 及 x 2，当x1 x2 时，有，则称函数在区间 (a,b)内是 单调减小 的。例题： 函数=x 2 在区间 (- ,0) 上是单调减小的，在区间(0

5、,+ ) 上是单调增加的。函数的奇偶性如果函数对于定义域内的任意x 都满足=，则叫做偶函数；如果函数对于定义域内的任意x 都满足=-，则叫做奇函数。注意： 偶函数的图形关于y 轴对称，奇函数的图形关于原点对称。函数的周期性对于函数，若存在一个不为零的数l ，使得关系式对于定义域内任何x 值都成立，则叫做 周期函数 ， l 是的周期。注： 我们说的周期函数的周期是指最小正周期。例题：函数是以 2 为周期的周期函数；函数 tgx 是以 为周期的周期函数。反函数反函数的定义设有函数，若变量y 在函数的值域内任取一值y 0 时，变量x 在函数的定义域内必有一值x0 与之对应，即，那末变量x 是变量y

6、的函数 .这个函数用来表示，称为函数的反函数 .注： 由此定义可知，函数也是函数的反函数。反函数的存在定理若在 (a ， b) 上严格增 ( 减 ) ，其值域为R，则它的反函数必然在R 上确定，且严格增 ( 减).注：严格增 ( 减) 即是单调增 ( 减)例题：y=x2 ，其定义域为(- ,+ ) ，值域为 0,+ ). 对于y 取定的非负值, 可求得x=±.若我们不加条件，由y 的值就不能唯一确定x 的值，也就是在区间(- ,+ ) 上，函数不是严格增( 减 ) ，故其 没有反函数 。如果我们加上条件，要求x0，则对y0、 x=就是 y=x 2 在要求x0时的反函数。即是：函数在此

7、要求下严格增( 减 ).反函数的性质在同一坐标平面内，与的图形是关于直线y=x 对称的。例题： 函数与函数互为反函数，则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x 对称的。如右图所示：复合函数的定义若 y 是 u 的函数：，而 u 又是 x 的函数：，且的函数值的全部或部分在的定义域内，那末，y 通过 u 的联系也是x 的函数，我们称后一个函数是由函数及复合而成的函数，简称复合函数，记作，其中u 叫做中间变量。注： 并不是任意两个函数就能复合；复合函数还可以由更多函数构成。例题： 函数与函数是不能复合成一个函数的。因为对于的定义域 (- ,+ ) 中的任何x 值所对应的u 值（都大于或等于2

8、），使都没有定义。初等函数函数函数的记号函数的图形函数的性质名称指a): 不论 x 为何值 ,y总数为正数 ;函b): 当 x=0 时 ,y=1.数a): 其图形总位于 y 轴对右侧 , 并过 (1,0) 点数b): 当 a 1 时 , 在区间函(0,1) 的值为负；在区间数(- ,+ ) 的值为正；在定义域内单调增 .令 a=m/na): 当 m为偶数 n 为奇幂数时 ,y 是偶函数 ;函a 为任意实数b): 当 m,n 都是奇数数时 ,y 是奇函数 ;这里只画出部分函数图形c): 当 m奇 n 偶时 ,y在的一部分。(- ,0) 无意义 .三角( 正弦函数 )函这里只写出了正弦函数数反三(

9、 反正弦函角数 )函这里只写出了反正弦函数数a): 正弦函数是以2为周期的周期函数b): 正弦函数是奇函数且a): 由于此函数为多值函数 , 因此我们此函数值限制在 - /2, /2 上 ,并称其为反正弦函数的主值 .初等函数由基本初等函数与常数经过有限次的有理运算及有限次的函数复合所产生并且能用一个解析式表出的函数称为 初等函数 .例题：是初等函数。双曲函数及反双曲函数函数的名函数的表达式函数的图形函数的性质称a) ：其定义域双曲为 :(-,+ ) ；正弦b) ：是奇函数；c) ：在定义域内是单调增a) ：其定义域双曲为 :(-,+ ) ；余弦b) ：是偶函数；c) ：其图像过点(0,1)；a) ：其定义域为 :(-,+ ) ；双曲b) ：是奇函数；正切c)