初中数学竞赛题汇编(代数部分1)

1、初中数学竞赛题汇编（代数部分 1）江苏省泗阳县李口中学沈正中精编、解答例 1 若 m2m1，n2n1，且 m n，求 m5n5 的值。解：由已知条件可知， m、n 是方程 x2x10 两个不相等的根。 mn1，mn 1 m2 n2(mn)22mn3 或 m2n2mn23又 m3n3(mn) (m2mnn2)4 m5 n5(m3n3) (m2n2)(mn)2(mn)11例2已知解：设，则uvw1由得即 uvvw wu0将两边平方得u2v2w22(uvvw wu)1所以 u2v2w21即例 3 已知 x4+x3+x2+x+10，那么 1+x+x2+x3+x4+ x2014。解 ： 1+x+x2+x

2、3+x4+ x2014 (1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+ +(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+ x2010(1+x+x2+x3+x4)0例 4：证明循环小数为有理数。证明：设x 将两边同乘以100，得 ，得99x2.61即 x。261.54例 5：证明是无理数。证明（反证法）：假设不是无理数，则必为有理数，设 （p、q 是互质的自然数） ，两边平方有 p22q2 ，所以 p 一定是偶数，设 p2m（m 为自然数），代入整理得 q2m2，所以 q 也是偶数。 p、q 均为偶

3、数与 p、q 是互质矛盾，所以不是有理数，即为有理数。例6：；。解：例 7：化简 （1）； （2）（3）；（4）；（5）；（6）。解：（1）方法1方法 2设，两边平方得：由此得解之得或所以。（2）（3）（4）设，两边平方得：由此得解之得所以1（5）设则所以（ 6）利用 (ab)3a3b33ab(ab)来解答。设两边立方得：即 x36x400将方程左边分解因式得 (x 4)(x24x10)0因(x24x10)(x2)260 所以 (x 4)0 ， 即 x4所以4例 8：解：用构造方程的方法来解。 设原式为利用根号的层数是无限的特点，有，两边平方得即继续两边平方得x44x242x，即 x44x2x

4、20，左边分解因式得 (x1)(x2)(x2x1)0求得 x1 1，x22，x3。 因 0x2，所以 x 1、x2、x应舍去，所以 x即。例 9：设的整数部分为 x，小数部分为 y，试求的值。解：而所以 x2，y因此。例 10：已知 xyz3a (a0，且 x、y、z 不全相等 )，求解：设 xau，yav，zaw，则且有已知有uvw 0，将uvw0两边平方得u2v2w22(uvvw wu)0由于x、y、z 不全相等，所以u、v、w不全为零，所以u2v2w20，故例 11：已知x求的值。解：所以 x4(x4)2 3，x28x130 ，所以，原式分子x46x32x218x23 (x48x313x

5、2)(2x316x226x)(x28x13)10 x2(x 28x13)2x(x 28x13)(x28x13)1010，原式分母 x28x15(x28x13)22，所以5。例 12：已知求的值解：方法1当 abc0时，据等比定理有1由此得所以abcc，bcaa， cabb8。当 abc 0 时， 1。方法 2设k，则ab(k 1)c， bc(k1)a， c a(k1)b，得 2(abc)(k1) (abc)，例即(abc) (k1)0，故 k1 或 abc0，13：计算以下同上。 +解： +()+()+()+ + ()+。例 14：分解因式（ 1）x39x8；（2）(x2x1)(x2x2)12

6、；。（ 3）(x2+xy+y 2)-4xy(x 2+y2)；（4）x2+3xy+2y2+4x+5y+3。解：（1）方法 1：x39x8=x39x19=(x31)9x922=(x 1)(x x1)9(x 1)=(x1)(x x8)=x(x1)(x1)8(x1)=(x 1)(x2x8)方法 3：x39x8=9x38x39x8=(9x39x)+(8x38)=9x(x 1)(x1)8(x1)(x2x1)=(x1)(x2x8)方法 4：x39x8=x3x2x29x8=(x 3x2)(x29x8)=x2(x1)(x8)(x1)=(x 1)(x2x8)（ 2）设 x2+x=y，则 (x2+x+1)(x 2+

7、x+2)-12=(y+1)(y+2)-12 =y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x 2+x-2)(x 2+x+5) =(x-1)(x+2)(x 2+x+5)（ 3）(x 2+xy+y 2)-4xy(x 2+y2)=(x+y) 2-xy 2-4xy(x+y) 2-2xy 令 x+y=u，xy=v ，则(x2+xy+y 2)-4xy(x 2+y2)=(x+y) 2-xy 2-4xy(x+y) 2-2xy = (u2-v)2-4v(u2-2v) = u4-6u2v+9v2 = (u2-3v)2=(x 2+2xy+y 2-3xy)2 = (x2-xy+y 2)2（ 4）方法 1：设 x2+3x

8、y+2y 2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n)=x2+3xy+2y 2+(m+n)x+(m+2n)y+mn ，比较两边对应项的系数，则有解之得 m=3，n=1所以原式 =(x+2y+3)(x+y+1) 方法 2：x2+3xy+2y2+4x+5y+3xy常数111123即= (x+y+1) (x+2y+3)例 15：化简解：因这个代数式的特性时轮换对称式， 只要对其中的一项进行变形，然后再对其他项进行轮换即可。所以()()()0。例 16：已知证明a2b2c2(abc)2。证明（分析法）：因 (abc)2a2b2c22ab2bc2ca所以 要证 a2b2c2(abc)2只要证只要证

9、abacbc只要证 c(ab)ab（因为也为 a、b、c都不为0）即最后的等式正好是题设，而以上推理每一步都可逆，故所求证的等式成立例 17：已知 a4+b4+c4+d4=4abcd，且 a，b，c，d 都是正数，求证：a=b=c=d证明： 由已知可得 a 4+b4+c4+d4-4abcd=0， (a 2-b 2) 2+(c 2-d 2) 2+2a2b2+2c2d2 -4abcd=0，所以 (a 2-b 2) 2+(c 2 -d 2)2+2(ab-cd) 2 =0因为 (a 2-b 2) 20，(c2-d 2) 20，(ab-cd)20，所以 a2-b 2=c2-d 2=ab-cd=0 ，所以

10、 (a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)0又因为 a，b，c，d 都为正数，所以a+b0，c+d0，所以 ab，c=d22所以 ac故 a=bc=d 成立例 18：m 是什么整数时，方程 (m2-1)x2-6(3m-1)x720有两个不相等的正整数根解：首先， m2， ±=36(m-3)20，所以 m3-1 0m1用求根公式可得由于 x1，x2 是正整数，所以 m-1=1，2，3，6； m+1=1，2，3，4，6，12，解得 m=2这时 x1=6，x2=4例 19：己知 a+ 1b1c1， abc求证： a2b2c2=1。bca11b c所以 bc = bc，证明：由己知得： a-b=b，cbcab同理得 ca = ca， ab = ab，bcca所以ab·bc· caab