函数有两个零点与导数

1、.函数有两个零点与导数解决方法1：若能分离参数，构造函数，数形结合，转化为“直线与函数图象有两个交点的问题” .解决方法2：若不能分离参数，则转化为极大值 0 或极小值 0 问题。注意：首选方法1.1若关于 x 的方程 1-x+2xlnx-2mx=0在区间 1 ， e 内恰有两个相异的实根，求实数m的取值范围e方法思路：分离参数，构造函数，数形结合解：方程1-x+x2lnx-2mx=0在区间 1 ， e 内恰有两个相异的实数根，e推得方程1 xlnx m0在区间 1 ， e 内恰有两个相异的实数根，2xe即方程 m1 xlnx 在区间 1 ， e 内恰有两个相异的实数根，2xe令 g(x) 1

2、 x lnx ， 2x则 g(x) 1xlnx 的图象与函数y=m的图象在区间 1 ， e 内恰有两个交点2xe112 x1111， e为增函数，g x 2x2x2，则 g （ x ）在区间，为减函数，在22x e 2则有： ge 1elne1 e11 e0 ，2e2e2e111112ln 20，g ( )1ln222221111e1e3（）e（），ln1ge1220g e2ee画函数 gx 1xlnx，x 1，e 的草图，2xe要使函数 g x 1xlnx，x 1，e2xe的图象与函数y=m的图象在区间 1 ， e 内恰有两个交点，e则要满足 g( 1 ) mg( 1 )，2e所以 m 的取

3、值范围为 m|1 - ln2 me3 222已知函数 （fx） 1 xln x 。ax（ 1）若函数 f （ x）在 1 ，+）上为增函数，求实数a 的取值范围；（ 2）若函数 f （ x）有两个零点，求实数a 的取值范围;.思路方法：转化为极大值0 或极小值 0 问题。3（ 2016?兰州模拟）已知函数x1（fx）ax，x ln x（）若 f （ x）在（ 1， +）上单调递减，求实数a 的取值范围；（）若 a=2，求函数 f （x）的极小值；（）若方程（2x-m） lnx+x=0在（ 1， e 上有两个不等实根，求实数m的取值范围方法思路：分离参数，构造函数，数形结合解：（）（fx）xax

4、，x ，1ln xln x 12 xa ，f x ln f （x）在（ 1， +）上单调递减，;. f （ x ） 0 在 x （ 1， +）上恒成立；1111 21ln 2 x ln x( ln x 2)4 ，a x（ 1， +）， lnx （ 0， +），1111)21-110 时函数 t (2的最小值为4， a- 。ln x2ln x44（）当 a=2 时， fx x2 xfx ln x 12ln2 x ，ln xln 2 x令 f （ x） =0 得 2ln 2x+lnx-1=0 ，解得 lnx 1 或 lnx=-1（舍），即1，xe2211当 1x e2 时， f （ x） 0，当

5、x e2 时， f （ x） 0； f （x ）的极小值为（）将方程（ 2x-m ） lnx+x=0 两边同除 lnx 得 (2x- m)+x 0，ln x整理得x +2xm，（分离参数，数形结合）ln x（ 2x-m） lnx+x=0 在（ 1， e 上有两个不等实根，函数 f （ x）的图象与直线 y=m在（ 1， e 上有两个不同的交点；11由（）可知， f （x ）在 (1， e 2 )上单调递减，在( e 2 ， e上单调递增，1111e22e24e2 。f( e2 ) 1211 f （ x ） 极小 =f( e2 ) 4e2 =4 e ，又 f(e) 3e，当 x 1 时， x，1

6、m3e，2 +4 eln x实数 m的取值范围为(4e ， 3e。4 已知函数 f （ x） =lnx- 1 ax2-2x2（ 1）当 a=1 时， ?x0 1 ，e ，使不等式f （ x0） m，求实数 m的取值范围；（ 2）若 a=- 1 ，且关于 x 的方程 f （ x）=-1 x+b 在 1 ， 4 上恰有两个不等的实根，求实数b 的取值范围；22（ 2）方法思路：分离参数，构造函数，数形结合;.5已知函数f （ x） =e-x（ 2x-a ）， a R（ II ）若关于实数x 的方程 f （ x） =1 在 1 ， 2 上有两个不等实根，求a 的取值范围26已知函数f （ x） =xlnx ， g（ x） =（ -x 2+ax-3 ） ex（ a 为实数）（ 1）求 f （ x）在区间 t ，t+2 （ t 0）上的最小值；（ 2）若存在两个不等实根x1， x2（ 1 ， e），使方程g（x） =2ex f （ x）成立，求实数a 的取值范围e;.x27已 知 函 数 （f x）。ln x（ 1 ） 求