初中数学提高班(奥数班)讲义(一)精品资料

1、初中数学提高班（奥数班）讲义（一）一、比较有理数大小的特殊方法1、统一分子法：48126例1：比较、的大小例 2：比较96 、12 、16 、32 的大小911115292、分数性质比较法如果 a >0 , b > 0, a > b , m >0 , 那么 bbm<maa如果 a >0 , b > 0, a < b , m >0 , 那么 b> bmaam例 3：比较 2001 、 2002 、 2003 、 2004 的大小 2002 2003 2004 2005例 4：比较13 、4 、21 、11 的大小1232010二、有理数

2、运算常用技巧：有理数运算常用技巧主要有：互为相反数相加、凑整相加、同号相加。合理、灵活选择运算顺序和运算律、拆项等。例 1：计算： 82.5× ( 0.1999) 0.825×(9.99)例 2：计算： | 5216 75 13 |22 13172929例 3：计算： 1993×19921992 1992×19931993例 4：计算： ( 135)( 271)136( 136)( 271)135例 5：计算： 3700÷125 351÷ 25647÷ 2517911131517例 6：计算： 11220304256723例

3、 7：计算：111222333585859(360) (4)(560)(60)236045960例 8：计算：451574753574753145451574753145574753(357) (357975) (145357975) (357)145975451451975课后作业：计算：、 99999× 22222+33333× 33334、 (75)× 256× ( 125)、5717311521326、 131131131321119911199、2222232343451992199319941初中数学提高班（奥数班）讲义（二）三、绝对值的定义

4、和性质的运用一个数 a的绝对值就是数轴上表示 a 的点与原点的距离，记作 | a |。a(a0)a(a， | a | 0a0)例 1：已知 | a |=1， | b |=2，则 a + b 的值是（）。A 、3B、± 3C、± 1D、± 3，± 1例 2： a是任意有理数，则| a |a的值（）A 、必大于0B、必小于0C、必不大于0D、必不小于0例 3：当 1a < 0 时，不等式 : a < a ， | a3 | >a3 ， a > a2 ， a3 < a2中一定成立的个数是（）A 、 1个B、2个C、3 个D、4 个例

5、 4：已知： x < y <0, 设 M=| x |， N=| y |， P= xy ，则 M 、N 、 P 的大小关2系是（）A 、M<N<PB. M<P<NC. N<P<MD. N<M<P例 5：化简： x3x1x3x1例 6： a、 b、 c 三数在数轴上对应的点为A 、B、 C，且 |OA|=|OB|化间： | a | | a + b | + | c a | + | c b |bc0aBC0A例 7：若a >0, b <0，且a <| b |，则下列关系正确的是（）A 、 b> a > a >

6、; bB、b>a>b> aC、 b> a > b> aD、a> b >a> b例 8： a、 b、 c 在数轴上的位置如图所示，则下列关系正确的是（）A 、 a b a b a cbB、 a b a b a cba b a b a cba b a b a cbC、 a b a cb a bD、 a cb a b a ba b a cb a ba cb a b a bcba 101例 9：已知： a、b、c 为非零有理数，则abc 的值是（）| a | b | c |A 、3B、± 3C、± 1D、± 1，

7、77; 3例 10：已知： b 为正整数，且a、b 满足 | 2a 4| + b = 1 ，求 ab 的值。例 11：求 | x + 2 | + | x3 |的最小值。例 12：化简： | x + 2 | |3x 4 |课后作业：若 |4x 3|=34x，求 x 的取值范围。解方程： | x 2|+3x=10。 a、b、c 均不为 0，化简abcabc| a | b | c | abc |初中数学提高班（奥数班）定时作业1、计算： 1000 999 998+997+996 995 994+105+104103102+1012、已知： | a 1| + (a b2)2 =0求： 111.1ab(

8、a 1)(b 1) (a2)(b2)(a 1994)(b 1994)3、计算：333.3234234534561112131104、已知 a=2005，化简 | a2+a1 | a2 a7 |5、已知： a < 0， a b < 0，化简| ba + 1 | | a b 5 |6、已知： | x |1, | y | 1，且 A=| x+y | + | y + 1 | + | 2yx4 |，求 A 的最大值与最小值。7、如果 2x + | 4 5x | + | 1 3x | + 4 恒为常数，求x 的取值范围。8、已知： | x 3 | + | x+ 2 | 的最小值为 a， | x

9、3 | x+ 2 | 的最大值为 b，求 ab 的值。初中数学提高班讲义（三）有理数运算难题评析：例 1：计算： 1 (11 )(1 1)(11)(11 )23410例 2：若 3 x = y ，求代数式yx2x( y) 的值。( y) x2 y3xa13例 3：若 a = 1 ，求120003(a2 )()a的值。222a例 4：计算 1234+5 678+9101112+37 383940。例 5：设 ( 2x1 ) 5=ax 5 +bx 4 +cx 3 +dx 2 +ex +f ，求 f 的值；求a +b +c +d +e +f的值；求a +c +e 的值例 6：一个负有理数a 在数轴上

10、的位置为A ，那么在数轴上与A 相距d 个单位长度（ d >0）的点中，与原点距离最远的点所对应的是多少？例 7：已知 | x | =6， | y | =4，且 x > y，求 x y 的值。例 8：已知 a < 0, b > 0, c < 0 ,且 | c | > | b | > | a |，化简 | a + b | | c b| + |ca|例 9：计算：(1111)(1111) (11111)(111 )1113171113171911131719111317例 10：计算： 2100299298 2221例 11：计算： 11212312100

11、233444101101101例 12：求 32003 的末位数字。例 13： 4 个不等的整数a、b、 c、 d，若 abcd=9，求 a + b + c + d的值。例 14：求使6为整数的x 的值。x例 15：若 x= 2 时，代数式 a x 5+ b x 3 + c x 5 的值是 7，则当 x= 2 时，原式的值是多少？例 16：甲、乙两城市在人口统计中同是 37 万人，问两城市的人口一定相等吗？如果不等，最大差额可能达到多少？初中数学提高班（数奥班）讲义（四）（一）质数与合数的性质及运用只有 1 和它本身两个正约数的数叫做质数，有两个以上的正约数的数叫做合数。1 既不是质数也不是合

12、数。质数与合数有以下常用性质：（ 1）2 是最小的质数也是唯一的偶质数，除2 外，其余质数都是奇数。（ 2）若 a b 能被 p 整数，则有 a 整除 p 或 b 整除 p 。（ 3）若 a b 是质数 p，则必有 a = p 或 b = p 。例 1： a、 b、 c、 d 是不同的质数， a+b+c=d，求 abcd 的最小值例 2、 p 是质数， p5+5 仍然是质数，求p2+p+1 的值。例 3、设自然数m>n，且有 m2 n2=79，求 m+n 的值。例 4、三个质数p、 q 和 r 满足 p+q=r，且 1<p<q，求 p 的值。（二）奇数和偶数的性质及运用在整数

13、中，能被 2 整除的数叫做偶数，不能被 2 整除的数叫做奇数。偶数一般用 2n 表示，奇数一般用 2n+1 或 2n-1 表示（ n 为整数）奇数与偶数有以下常用性质：±（ 1）奇数±奇数 =偶数；奇数±偶数 =奇数，偶数±偶数 =偶数；奇数个奇数的和是奇数，偶数个奇数的和是偶数。（ 2）两个整数的和与这两个整数的差的奇偶性相同。（ 3）奇数×奇数 =奇数，奇数×偶数 =偶数，偶数×偶数 =偶数例 1、在正整数中，前80 个偶数之和减去前80 个奇数的和的差是多少？例 2、有一列数： 1、 2、5、 13、34，从第 2 个

14、数起，每个数的等于它左右两边的两个数的和，则第 2001 个数是奇数还是偶数？3 倍正好例 3、在 1，2， 3。， 2005 前面任意添上一个正号和负号，它们的代数和是奇数还是偶数。例 4、桌子上放着 7 个杯子，杯口全朝上，每次翻转干次这样的翻转，使全部杯口朝下？4 个杯子，问能否经过若课后作业：（ 1）已知质数 p、q，且存在正整数 m, n 使 p=m+n， q=mn，求 pq+qp 的值。（ 2）求方程 x2 +y=7 的质数解。（ 3）若 a、b、c 为任意三个整数，则1 (a+b),1 (b+c),1 (c+a)中有几个整数？2221 ( 1) n（ 4）若 n 是不等于 1 的

15、整数，则 Pn (n21)2是奇数还是偶数？（ 5）将和 1+2+3+4+5+6+7+8+9 中的若干个“ +”号换成“”号，设其非负代数和为 a，求 a 的最小值是多少？初中数学提高班（奥数班）讲义（五）整式加减难题评析：例 1：若 100x2n 1 3 x2 n 12 是关于 x 的五次三项式，求n 的值。57例 2：写出系数是1，次数是 6，只含 a, b, c 三个字母的所有单项式。例 3：若 a = 0.7，b=0.49，求代数式2348(2b)5(3b) 的值。(a 2b 0.28)89aa37例 4：若 a=3 ， b=2 2， c=1，83求代数式 52b3 2c ac2c2(

16、2b2 ) 的值。aabbabc例5：已知2 23a5 0，求4a412a39a210的值。a例 6：若 P=a22,Q= a23ab b2，化简 Q)得：3ab bP Q2P (P例 7：多项式 1993u mvn3xm y nu 3mv2 n4x n 1 y2 m 4 (m,n 为正整数 )中恰有两项是同类项，求m+n 的值。例 8：在 y=ax2+bx+c 中，当 x=1 时， y= 2； x= 1 时， y=20，求 ab+bc+ 9b2的值。例 9：若 m2 +m 1=0，求代数式 m3+2m2+1997 的值。例 10：若 a+19=b+9=c+8，求代数式 (ab)2+(bc)2

17、+(ca)2 的值。例 11：已知 a2+2ab=5, ab+2b2 = 2，求 a2 4b2 的值。例 12：已知 a+b+c=0，求 (a+b)(b+c)(c+a)+abc 的值。课后作业：1、已知： A= a2+b2c2, B=4a2+2b2+3c2，且 A+B+C=0 ，求 C。2、在 y=ax 7+bx 5+cx 3+dx 6 中，当 x=1 时， y=23，求当 x= 1 时 y 的值。3、已知： a2+2ab=5， ab+2b2= 2，求代数式2a 2 +5ab+2b 2 的值。4、若 a,c,d 是整数， b 是正整数， 且满足 a+b=c ，b+c=d ，c+d=a ，求 a

18、+b+c+d的最大值。5、设 a,b,c,d 都非零实数，请说明ab, cd , ac, bd 这四个数中至少有一个为正数，且至少有一个为负数。数学提高班（数奥班）讲义（六）整式加减再认识：例 1：设xyz，求 (ab)x (bc)y (ca)z 的值。a b cb c aa cb例 2：已知： a=3b, c= a, 求 abc 的值。2abc例 3：已知 a b c <0, a +b +c >0，当 x| a | b | c | 时，abc求 x1995x+1028 的值。例 4：已知： a b c = 1，求abc的值。ab a 1bc b 1ac c 1例 5：已知： a

19、+ b + c =0，求 a(11)b(11 )c( 11) 3的值。bccaab例 6：求abc的值。b ca ca b例 7：若xyz，求 x+y+z 的值。abb cca例 8：已知 (x1)2ax(x1)(b1) xc(x1) 是关于 x 的恒等式，求 a + b + c 的值。例 9：已知等式 k 2 x2(k1) y(2kk 2 ) z1与 k 值无关，求x+y+z 的值。例 10：若 x3x2x20 ，求 x42x 32x2x1 的值。例 11：若 1+x+x 2+x 3 =0，求 1+x+x 2+x 3 +x 4 +x2001 的值。课后作业：1、若 a( x1) 2b(x1)

20、a( x1) 2b(x1) 对一切有理数均成立，试说明： 2a+b=02、若等式 (1k) x(2k1)y15k0 与 k 值无关，求 x、y 的值。3、若 a 4 + a 3 + a 2 + a+1=0，求 a1990 + a2000+1 的值。4、若 1 xb yc 与1 xm 1 y n 1 是同类项，且它们的和为1 axn ym ，求 abc 的值。48165、若 2x3y5 ，求 4x 210xy 6 y 2的值。yx2x23y 2数学提高班（数奥班）讲义（七）绝对值及整式知识练评：1、计算111112005200420042003122、若 a b c d 0，试求 abcd 的所

21、有可能的值。| a | b | c | d |3、若 a 是有理数，求 a+| a |的值。4、若 | ab |=| a| + | b |，求 a、 b 应满足的条件。5、化简 | x + 5 | + | 2 x 3|6、化简 2 | x | 3x2x | 5x |、若a<0，且x a，化简 | x 1 | x 2 |7| a |8、若 x<0，化简| x |2x3 | | x | x9、若 2 a 0，化简 | a +2 | + | a2 |10、若 a、b 为有理数，且| a + b | = a b，求 a b 的值。11、若 a +1 =1， b + 1 =1，求 c + 1

22、的值。bca12、若 xyz ，且 x + y + z =12，求 2x +3y +4z 的值。2313、若 a、b 均为正数，且 a b =1，求ab的值。a 1b1ax314、代数式的值恒不变，求a 与 b 应满足的条件。15、求| x+1 | + | x2 | + | x 3 | 的最小值。16、求 2| a2 1| + 2a2 a 是几次几项式。数学提高班（数奥班）讲义（八）一元一次方程： 只含有一个未知数，并且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程，它的一般形式是：a x + b = 0 (a 0)解法基本步骤： 1、去分母； 2、去括号、 3、移项； 4、合并同类项； 5、系

23、数化为 1。任何一个一元一次方程都可以化成a x = b 的最简形式。其解分三种情况：当 a 0 时，方程有唯一解bxa当 a = 0 , b = 0 时，方程有无数个解。当 a = 0 , b 0时，方程无解。例 1、解方程： 1x1 x1(x1 )12222例 2、解方程： 23(1 x1)22 x3242例 3、解方程： 111 ( 1 x1)6412345例 4、解方程： xxxx16122030例 5、解方程： 5x0.36.53(52x)5.50.40.05例 6、解关于 x 的方程： xaxbb (a 0, b 0, a b)baa例 7、解关于 x 的方程： m x1= n x

24、例 8、关于 x 的方程：2a(x1) (5a)x 3b 有无数个解，求 a、b 的值。例 9、关于 x 的方程：3x32a( x1) 无解，求 a 的值。例 10、已知方程 ax32xb 有两个不同的解，求 (a+b )2006 的值。例 11、若方程 (a 1)x 23ax2a 17 0 为一元一次方程，试求它的解。例 12、若关于 x 的方程 axbx3 的解为 x=2，求代数式 b a 的值。23ab数学提高班（数奥班）讲义（九）二元一次方程组知识拓展：解多元方程组的基本思想是消元，变多元为一元，消元的基本方法有两种：1、代入消元法（简称代入法） ；2、加减消元法（简称加减法） 。二元

25、一次方程组的一般形式（标准形式）为：a1 xb1 yc1 ，它的解的情况为：a2 xb2 yc2当 a1b1 时，原方程组有唯一解。a2b2当 a1b1c1 时，原方程组有无数多个解。a2b2c2当 a1b1c1 时，原方程组无解。a2b2c2例 1、解方程组：200x2001y12001x200y1例 2、关于 x 的方程 (a+3b 2) x =9a 13b+22 有无数个解，求a、b 的值。例 3、 a、 b 取何值时，方程组ax4yb 有唯一解？无数个解？无解？3x2y5例 4、关于 x、y 的二元一次方程 (a 1)x+(a+2)y+52a=0，当 a 每取一个值时，就有一个方程，而

26、这些方程有一个公共解，试求这个公共解。xyz0例 5、解方程组：xy3z42 x3y5z14xyzxy z例 6、解方程组：234xyz27例 7、当 x、 y、 z 不全为 0 时， 2x 3yz =0， x 3y 14z =0，求 4x2 5xy z2 的值。 xy yx zx例 8、甲、乙两人解方程组axby2 ，甲正确解出得x3 ，而乙因粗心把cx7 y8y2c 看错了，解得x2 ，求 a、b、c 的值。y2例 9、已知 2xy3z125 ，求 x+2y+3z 的值。x4y5z185例 10、关于 x、 y 的方程组2x3y2k1 的解满足 x+y =6，求 k 的值。3x2y4k3x

27、ya例 11、解关于 x、 y 的方程组(a1) xy5例 12、已知x、 y 同时满足xby1, yax1,bxay1，试说明：a 2b2abab1数学提高班（数奥班）讲义（十）二元一次方程组知识拓展：188xy例 1、解方程组：4551xy例 2、若方程组4xy 5和方程组3xy 9有相同的解，求a+b 的值。axby13ax4by18例 3 、单项式0.25xb y c 和单项式0.125x m 1 y 2 n 1 是同类项。且它们的和为0.0625ax n ym ，求 abc 的值。2x3y8例 4、若 x、 y、 z 满足方程组3y2z0 ，求 xyz 的值。xz2例 5、若关于 x

28、 的方程 |2x 3|+m=0 无解， |3x4|+n=0 只有一个解， |4x 5|+k=0有两个解，试比较m 、n、k 的大小。例 6、若 a+19=b+9=c+8 ，求 (ab)2+(b c)2+(c a)2 的值。11x1y例 7、解方程组11y3z11x5zxyx2y例 8、解方程组yzy4zxzx5z例 9、当 x、 y、 z 不全为0 时， 2x3yz= 0,x3y14z=0，求：4x 25xyz 2xyyz的值。zx2x1x2x3x4x56x12x2x3x4x512例 10、若 x1、 x2 、x3、 x4、x5 满足方程组 x1x22x3x4x524 。x1x2x32x4x5

29、48x1x2x3x42x596求 3 x45 的值。+2 x例 11、小芳到洋洋百货去买衣服、裤子、鞋子，若买衣服3 件、裤子7 条、鞋子一双需315 元，若衣服4 件、裤子 10 条、鞋子一双需 420 元，问小芳衣服、裤子、鞋子各买一件共需多少元。例 12、一个沿公路边走，每 12 分钟有一辆公交车从后面赶上，每4 分钟有一辆公交车迎面而来。假设人和车都是匀速前进的，问公交车每隔几分钟从起点站开出一辆。例 13、有一片牧场， 24 头牛 6 天可以将草吃完， 21 头 8 天可以吃完，今有16头牛，几天可以吃完。数学提高班（数奥班）讲义（十一）一元一次不等式知识拓展：不等式：用不等号表示不

30、等关系的式子，叫做不等式。一元一次不等式：含有一个未知数，且含有未知数的式子是整式，未知数的次数是 1 的不等式叫做一元一次不等式。不等式的性质：若 a > b，则 a ±c > b ±c若 a > b， c > 0，则 a c > bc若 a > b， c < 0，则 a c < bc若 a > b > 0， c > d > 0，则 a c < bd若 a > b， b > c，则 a > c一元一次不等式的解集：当一元一次不等式化为最简形式a x < b 后，若 a &

31、gt; 0 时，其解集为bxa若 a < 0 时，其解集为bxa若 a = 0 时， 1)若 b >0，则解集为一切实数2)若 b 0，则解集为空集例 1、解不等式 5x 1212 (4 x 3)16x63x例 2、解关于 x 的不等式： a ( xa ) x 1例 3、若关于 x 的不等式 (2ab)x a 5b >0的解集是 x10 ，求 ax + b > 0 的7解集。例 4、若 a、b、c 是正整数，且满足 a2 b2c2=abc，a2 =2( b + c )，求 a、b、c的值。例 5、若方程 | x |= a x + 1 有一个负根而没有正根，求a 的取值范

32、围。一元一次方程（组）知识巩固：例 6、关于 x 的方程 1 m x 5= 1(x 4 )的解是正整数，求整数的值。2323例 7、解方程 | 2x 1 | | x 2|=9例 8、当 x 分别是 1， 2， 3 时，代数式求 abc 的值。1 x21 x1 的值，分别是1，17，47，abc例 9、方程组3x5 yk 2 的 x、 y 的值的和等于2，求 k 的值。2x3yk例 10、若关于 x 的方程（ 3ab）=8b 1 仅有正整数解，并且和关于x 的方程(3b a) x =8a1 是同解方程，若a 0， a2+b2 0，求出这个方程的解。例 11、蜘蛛有 8 条腿，蜻蜓有 6 条腿和

33、2 对翅膀，蝉有 6 条腿和 1 对翅膀，现有小虫 18 只，共有 118 条腿和 20 对翅膀，问每种小虫各多少只？数学提高班（数奥班）讲义（十二）一元一次不等式组知识拓展：例 1若不等式 1 x1x2与 ax32x 有相同的解集，求 a.3例 2若不等式组xm1 无解，求 m 的取值范围。x2m1x4x1的解集为 x<2，求 a 的取值范围。例 3若关于 x 的不等式组32xa0例 4若 a,b 不超过 10 的正整数，方程 ax=b 的解满足 1x1 ，问这样的正整数对32(a,b)有多少对？例 5若不等式组 9x a 0 的整数解只有 1、2、3，求满足要求的有序正整数对 (a,b) 8x b 0有多少对？例 6解不等式 3x202 x3例 7解不等式（ x 1）（x+2） >0 例 8解不等式 3x 2 12x3例 9解不等式 | 2x+1|3例 10解不等式 | 2x5|<x+4例 11解不等式 | x 5| 2x3|<1x3x12353例 12若不等式组x1x21 的解集为 2a<