分组分解法因式分解(5课时)

1、.分组分解法（第一教时）（一）复习把下列多项式因式分解(1)2x 2+10x(2)a(m+n)+b(m+n)(3)2a(x-5y)+4b(5y-x)(4)(x+y)2-2(x+y)（二）新课讲解1引入提问：如何将多项式am+an+bm+bn因式分解？分析：很显然，多项式 am+an+bm+bn中既没有公因式，也不好用公式法。怎么办呢？由于 am+an=a(m+n),bm+bn=b(m+n), 而 a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b). 这样就有：am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)利用分组来分解因式的方法叫做分组分

2、解法 。说明：如果把一个多项式的项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以用分组分解法来分解因式。练习：把下列各式分解因式(1)20(x+y)+x+y (2)p-q+k(p-q)(3)5m(a+b)-a-b (4)2m-2n-4x(m-n)2应用举例例 1把 a2-ab+ac-bc 分解因式分析 : 把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，分别提出公因式a 与 c 后，另一个因式正好都是a-b ，这样就可以继续提公因式。解： a2-ab+ac-bc= （ a2-ab ） +（ ac-bc ） =a(a-b)+c(a-b)=(a-b)(a+c)例 2：把 2ax-

3、10ay+5by-bx分解因式分析：把这个多项式的四个项按前两项与后两项分成两组，并使两组的项按x 的降幂排列， 然后从两组中分别提出公因式2a 与 -b ，这时另一个因式正好都是x-5y ，这样就可继续提公因式。解： 2ax-10ay+5by-bx=（2ax-10ay ） +（ 5by-bx ）=2a(x-5y)-b(x-5y)=(x-5y)(2a-b)提问：这两个例题还有没有其他分组解法？请你试一试。如果能， 请你看一下结果是否相同？练习：把下列各式分解因式(1)ax+bc+3a+3b (2)a2+2ab-ac-2bc (3)a-ax-b+bx(4)xy-y2-yz+xz(5)2x 3+x

4、2-6x-3 (6)2ax+6bx+5ay+15by (7)mn+m-n-1 (8)mx2+mx-nx-n(9)8m-8n-mx+nx (10)x2-2bx-ax+2ab (11)ma2+na2-mb2-nb 2四、课外作业把下列各式分解因式1 a(m n) b(m n) xy(a b) x(a b)3 n(x y) x y a bq(a b)5 p(m n) mn 2a 4b m(a 2b)7 a2acab bc 3a 6bax 2bx9 2x3x2 6x 32ax 6bx 7ay21by xy x y 1 ax2 bx2 ay2 by2x3 2x2y 4xy 28y33m 3y ma ay

5、4x3 4x2y 9xy 29y3x3y3x2 2x2y2 6xy;.分组分解法（第二教时）（一）复习1提问：什么是分组分解法？分组时有什么要求？2用分组分解法因式分解：(1)ax+ay+bx+by (2)mx-my+nx-ny(3)ab+ac-b2-bc(4)2x-4y-xy+2y2(5)5am-a+b-5bm(6)x3-x 2-4x+4（二）新课讲解1例题分析例 3：把 3ax+4by+4ay+3bx 分解因式分析：如果象上节课一样，分别把前后两项分别分成两组，则无法继续分解，但把一、三两项和二、四两项分别分成两组，是可以分解下去的。解： 3ax+4by+4ay+3bx=3ax+4ay+3

6、bx+4by加法交换律=(3ax+4ay)+(3bx+4by)分组=a(3x+4y)+b(3x+4y)提公因式=(3x+4y)(a+b)再提公因式练习 : 用分组分解法因式分解：(1)ac+2b+2a+bc(2)ad-bc+ab-cd(3)5ax+6by+5ay+6bx(4)ab-4xy+4ay-bx2例 4：把 m+5n-mn-5m 分解因式分析：如果把前后两项分别分成两组，虽然后两项有公因式，但前后两组之间却没有公因式，不好继续分解。如果把一、四两项和二、三两项分成两组，就可以继续分解了。222解： m+5n-mn-5m=m-5m+5n-mn=(m -5m)+(5n-mn)=m(m-5)-

7、n(m-5)=(m-5)(m-n)练习：把下列各式分解因式(1)x2+y-xy-x(2)5ax2-b 2-b 2x+5ax(3)x2+yz-xy-xz(4)4x2+3z-3xz-4x(5)5am+b-a-5bm(6)x2-yz+xy-xz四、课外作业把下列各式分解因式1 mn m n12 3mx 4ny 4my 3nx3 m3 m2 m 14 m3 m2 m 15 a2 2bab 2a6 axby aybx7 xy z yxz8 a2 x by ay abx32 mx m2239 mx mx10a b a c a abc;.分组分解法（第三教时）（一）复习1什么是分组分解法？2把下列各式分解因

8、式(1)ac-ad+bc-bd(2)ay22-ax+bx-by(3)5ax+6by+10ay+3bx(4)5x2+7a-7ax-5x3. 填空 (1)a 2-b 2=_ (2)a2+2ab+b2=_ (3)a2-2ab+b 2 =_（二）新课讲解1例题与练习例 5：把 x2-y 2 +ax+ay 分解因式分析：显然无论如何分组都无法用前面的知识来分解，是不是无法分解呢？不是。由于第一、二两项满足平方差公式x2-y 2=(x+y)(x-y),而三、四两项有公因式a, 而 ax+ay=a(x+y).这时可以看出 (x+y)(x-y) 与 a(x+y) 有公因式 (x+y) 。解： x2-y 2+a

9、x+ay=(x 2-y2)+(ax+ay ） =(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)+(x-y)+a=(x+y)(x-y+a)练习：把下列各式分解因式(1)4a 2-b 2+6a-3b(2)9m2-6m+2n-n 2(3)x 2y2-4+xy 2-2y(4)a2b2-c 2+abd+cd例 6：把 a2-2ab+b 2-c 2 分解因式分析：用刚才的方法不能见效。我们发现a2-2ab+b 2 是完全平方式 (a-b)2, 此时，原式就变为(a-b) 2- c 2，再用平方差公式。解： a2-2ab+b 2-c 2=( a 2-2ab+b 2)- c2分组22运用完全平方公式=( a-

10、b) - c=(a-b)+c(a-b)-c运用平方差公式=(a-b+c)(a-b-c)练习：把下列各式分解因式(1)4a 2+4ab+b2-1(2)c2-a 2-2ab-b 2(3)x2-4y 2+12yz-9z 2(4)a 2b2-c 2+2ab+1四、课外作业把下列各式分解因式4x2 y2 4x 2y b2 a2 axbxm2n m2 4n2 p3q 9q2 p2s2 t2 3s 3t x2 2x 2y y24a2b2 2a b 9a2 6a 2b b2x22x 1 y2 m2 2mn n2 p24x2 4xy y2 16z2 a2b2 2bc c2x24y2 4y1 x2 y2 z2 2

11、yz;.分组分解法（第四教时）（一）复习把下列各式分解因式(1)a 2-2a+2b-b 2(2)4m2-9n 2+3n-2m(3)m2-2mn+n2-4c 2 (4)a2-b 2+2bc- c 2提问：什么样的多项式可以用分组后运用公式法？（二）新课讲解1例题与练习例 7 把下列各式分解因式(1)(x 2-4y 2)+(4y-1)(2)(x2+y 2-z 2) 2-4x 2y2分析：在第（1）题分好的两组中，虽然第一组可用平方差公式，但与第二组却无公因式，因此无法分解。如果将括号去掉，再重新分组，得 x2- （ 4y2-4y+1) , 此题可用分组后直接用公式法分解因式。在第（ 2）题中，先用

12、平方差公式分解，再用分组分解法。注意：必须进行到每一个多项式因式不能再分解为止。解： (1)(x222222-4y)+(4y-1)= x-4y+4y-1= x- （ 4y -4y+1)= x2 (2y-1)2=x+(2y-1)x-(2y-1)=(x+2y-1)(x-2y+1)(2) (x2+y2-z 2) 2-4x 2y2=(x 2+y2-z 2) 2-(2xy)2=(x2+y 2-z 2)+2xy(x2+y2-z 2)-2xy=(x2+y2-z 2+2xy)(x2+y2-z 2-2xy)=(x2+y 2 +2xy)-z2(x2+y2-2xy)-z 2=(x+y)2222-z (x-y)-z

13、=(x+y)+z(x+y)-z(x-y)+z(x-y)-z=(x+y+z)(x+y-z)(x-y+z)(x-y-z)练习：把下列各式分解因式(1) (2ab-a2)+(c 2-b 2)(2) (ax+by)2+(bx-ay) 2(3) 4a 2b2-(a 2+b2-c 2) 2例 8：把下列多项式分解因式(1) x3+x 2y-xy 2-y 3 (2)a3-ab 2+4abc-4ac 2解： (1)x 3+x2y-xy 2-y 3=(x 3+x2y)-(xy 2+y 3)分组=x2(x+y)-y2(x+y)分别提公因式=(x+y)(x22)提公因式-y=(x+y)(x+y)(x-y)运用平方差

14、公式=(x+y)2(x-y)相同因式写成幂的形式提问：还有其他解法吗？(2) a3-ab 2+4abc-4ac 2=a(a 2-b 2+4bc-4c 2)先提公因式=aa2-(b 2-4bc+4c 2)分组=aa2-(b-2c) 2运用完全平方公式=aa+(b-2c)a-(b-2c)运用平方差公式=a(a+b-2c)(a-b+2c)整理;.练习：把下列各式分解因式(1)a 2b2+x2 y2-a 2x2-b 2y2(2)x3-x 2y-xy 2+y3(3)x 2y-y 3-2xyz+yz 2(4)a3+a2-a-13作业：把下列各式分解因式(1)x 3y3-x 2y2-xy+1(2)(2xy-

15、a2)+(x 2+y 2) (3)(x2-y 2+z2) 2-4x 2z2四、课外作业把下列各式分解因式 3ax 5ay 6bx 10by 4 x2 2xy y2 a2b2 a2 2abb210（ m2 4n2 ）（ 4n1）a2b24a 4bm2 4mn4n2 42222322ax aya x a ya 2a b ab a x3 x2y xy2 y39.（ax by）2 （ bx ay）211（ a2 m2 n2） 2 4m2n2分组分解法（第五教时）（一）复习1. 什么是分组分解法？怎样才是正确的分组？2. 把下列多项式分解因式22222(1)x+2x+nx+2n(2)x-y +2yz-z

16、(3)x+px+qx+pq1. 引入2（ 1）把 x +(p+q)x+pq分解因式分析此式不好直接用已学的知识来分解因式，可以把式子展开为x2+px+qx+pq。这时，可以用分组分解法。x2+(p+q)x+pq=x 2+px+qx+pq=(x 2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q)另外：我们知道(x+p)(x+q)=x2+px+qx+pq=x2 +(p+q)x+pq, 于是有x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)（ 2）特点式子 x2+(p+q)x+pq 的特点为：（ 1）二次项的系数是 1。（ 2）常数项是两个数之积。（ 3）一次项系数是常数项的

17、两个因数之和。说明：根据上面的结果，可以直接将某些二次项系数是1 的二次三项式分解因式。2. 应用举例例：把下列各式分解因式(1)x 2+3x+2(2)x2-7x+6(3)x2+x-2(4)x2-2x-15分析 （:1）x2+3x+2 的二次项系数是1，常数项 2=1×2，一次项系数3=1+2。这是一个 x2+(p+q)x+pq型式子。;.（ 2） x2-7x+6 的二次项系数是 1，常数项 6=(-1) × (-6) ，一次项系数 -7=(-1)+(-6) 。这也是一个 x2+(p+q)x+pq 型式子。（ 3） x2+x-2 的二次项系数是 1，常数项 -2=(-1)

18、× 2，一次项系数 1=(-1)+2 。这也是一个 x2+(p+q)x+pq 型式子。（ 4）x2-2x-15的二次项系数是1，常数项 -15=(-5)× 3，一次项系数 -2=(-5)+3，这也是2型式子。一个 x +(p+q)x+pq解： (1)因为 2=1×2，并且 3=1+2，所以x2+3x+2=(x+1)(x+2)(2)因为 6=(-1) × (-6) ，并且 -7=(-1)+(-6)，所以x2-7x+6=(x-1)(x-6)（ 3）因为 -2=(-1) ×2，并且 1=(-1)+2 ，所以x2+x-2=(x-1)(x+2)（ 4）因为 -15=(-5) × 3，并且 -2=(-5)+3 ，所以 x 2-2x-15=(x-5)(x+3)3. 归纳与小结(1) 常数项是正数时，它分解成两个_号因数，它们和一次项系数符号_。(2) 常数项是负数时，它分解成两个 _号因数，其中绝对值较 _的因数的符号和一次项系数的符号相同。思考题把 x4-5x 2+4 因式分解四、课外作业一、根据公式x2（ p q） x pq（ x p）（x q），填空：若 x2 ax 6 (x