初中人教版数学勾股定理经典题型分析

1、勾股定理经典题型分析类型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC 中， C=90 °(1)已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40， b=9 ，求 c； (3)已知 c=25， b=15，求 a. 思路点拨 : 写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析： (1) 在 ABC 中， C=90 °， a=6， c=10,b=(2) 在 ABC 中， C=90°， a=40， b=9,c=(3) 在 ABC 中， C=90°， c=25， b=15,a=举一反三【变式】 :如图 B= ACD =90 

2、6; , AD =13,CD=12, BC=3,则 AB 的长是多少 ?【答案】 ACD =90 °AD = 13, CD=12 CD2122 AC=5ABC=90 °且 BC=3理可得2BC22=5 3 AB= 4 AB 的长是 4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，. 求： BC 的长 .思路点拨 ：由条件，想到构造含角的直角三角形，为此作于 D，则有，再由勾股定理计算出AD 、DC 的长，进而求出BC 的长 .解析：作于 D，则因，（的两个锐角互余）（在中，如果一个锐角等于，直角边等于斜边的一半）.理，在中，.理，在中，. AC2 =AD22=13=25

3、又 由勾股定AB 2=AC2 那么它所对的根据勾股定根据勾股定举一反三 【变式 1】如图，已知：，于 P.求证：.解析：连结 BM ，根据勾股定理，在中，.而在中，则根据勾股定理有.又（已知），.在中，根据勾股定理有，.【变式 2】已知：如图，B= D=90 °， A=60 °， AB=4 ， CD=2 。求：四边形ABCD 的面积。分析 ：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结 AC ，或延长 AB 、DC 交于 F，或延长 AD 、BC 交于点 E，根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析 ：延长 AD 、 BC 交于 E。 A= 6

4、0°， B=90 °， E=30°。 AE=2AB=8 ， CE=2CD=4 ， BE2=AE 2-AB 2=8 2-42=48 ， BE=。 DE2= CE 2-CD 2 =42-22=12， DE=。 S 四边形 ABCD =SABE -S CDE=AB · BE-CD · DE=类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示， 在一次夏令营活动中，小明从营地A 点出发，沿北偏东60°方向走了到达B 点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C 点。（ 1）求A 、C 两点之间的距离。

5、（ 2）确定目的地C 在营地A 的什么方向。解 析 ：（ 1）过B 点作BE/AD DAB= ABE=60 ° 30°+ CBA+ ABE=180 ° CBA=90 °即 ABC 为直角三角形由已知可得：BC=500m ， AB=由勾股定理可得：所以（ 2）在 Rt ABC 中， BC=500m ，AC=1000m CAB=30 ° DAB=60 ° DAC=30 °即点 C 在点 A 的北偏东30°的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高 2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡

6、车能否通过该工厂的厂门 ?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于离厂门中线0.8 米处，且CD ，与地面交于H一半 )，度一半）CH如图所示，点D 在解：OC 1 米 (大门宽度OD 0.8 米 （卡车宽在 Rt OCD 中，由勾股定理得：CD .米，C . .（米） .（米）因此高度上有0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四个村庄A 、B 、C、 D，且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了四种架设方

7、案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线思路点拨 ：解答本题的思路是：最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较，得出结论解析：设正方形的边长为1，则图（ 1）、图（ 2）中的总线路长分别为AB+BC+CD 3，AB+BC+CD 3图（ 3）中，在RtABC 中同理图（ 3）中的路线长为图（ 4）中，延长EF 交 BC 于 H ，则 FH BC， BH CH由 FBH 及勾股定理得：EA ED FB FC EF 1 2FH 1此图中总线路的长为4EA+EF 3 2.828>2.732图（ 4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线举一反三【变式】

8、如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高为4cm，是上底面的直径一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程解：如图，在 Rt 中，底面周长的一半（提问：勾股定理）cm， 根据勾股定理得AC（cm）（勾股定理） 答：最短路程约为cm类型四：利用勾股定理作长为的线段5、作长为、的线段。思路点拨： 由勾股定理得，直角边为1 的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为和 1 的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法 ：如图所示（ 1）作直角边为1（单位长）的等腰直角ACB ，使AB为斜边；（ 2）以AB为一条直角边，作另一直角边为1 的直角。斜边为；（ 3）顺次这样做下去，最后做

9、到直角三角形，这样斜边、的长度就是、。举一反三【变式】在数轴上表示的点。解析： 可以把看作是直角三角形的斜边，为了有利于画图让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3 和1。作法 ：如图所示在数轴上找到A 点，使OA=3 ，作AC OA且截取AC=1 ，以OC为半径，以 O 为圆心做弧，弧与数轴的交点B 即为。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚（正确）2原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等（正确）4原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等（正确）思路点拨： 掌握原命题与逆命题的关系。解析： 1. 逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上?（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上（正确）总结升华： 本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果ABC的三边分别为a、b、 c，且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c ，判断ABC的形状。思路点拨 ：要判断ABC的形状，需要找到a、 b、 c 的关系，而题目中只有条件a2+b2 +c2+50=6a+8b+10c ，故只有从该条件