球面上两点间距离的求法

1、球面上两点间距离的求法球面距离的定义：球上两点和球的球心三点可构成一个平面，称之为大圆，正视这个大圆（从正面看），这两个点之间的弧线长即为球面两点间距离。球面距离不是指险段的长度而是 指的是弧长。地球表面某点的位置是用纬度和经度来确定的，我们只要知道球面两点的经纬度，就能求出该两点的球面距离。下面简单的谈谈求法：一.同经度两点间的球面距离例1.在地球本初子午线上有两点 A、B。它们的纬度差为90° ,若地球半径为 R,求A、B两点 间的球面距离。解：如图1所示，设。为地球球心，由题意可得 匕= 90* ,所以：A B两点间的球面距离为同纬度两点间的球面距离例2.在地球北纬*度圈上有两

2、点A、B,它们的经度差为”度，若地球半径为R,求A、B两点间的球面距离。解：设度的纬线圈的圆心为 °】，半径°避为r,则尸二机海。依题意 4。善=£ 取EC = R cos ssm AB的中点C,贝U2 oZiiAgOC中，siaz5O(7= sin jAOb = = cos a sin 在一一 XAOB =cEsin 少I 2)A.缶两点间的球面距离为2R arcsinf cos a sin g2 J不同纬度、不同经度两点间的球面距离例3.设地球上两点 A、B,其中A位于北纬30° , B位于南纬60° ,且A B两点的经度差为 90

3、6; ,求A、B两点的球面距离。60°纬线解：如图4所示，设°、*分别为地球球心、北纬 30°纬线圈的圆心和南纬圈的圆心。£0A01 =. OBO2 = 60° ,二0二手R 1D乩的尸, 73= A32由异面直线上两点间的距离公式得AB2 = 0。： +OtA2 4-0252 - 2<?!j4x(935cos90°-8 +气OA2 +OBi-AB2 2R:R=2 x OA x OB£AOB =k - arccosC cy/3AB = R( arccos 4下面给出球面距离的计算公式（仅供参考）：设一个球面的半径为 R

4、 ,球面上有两点 （但禺）、802扃） .其中印 度数，居、皿 为点的纬度数，过 / > B两点的大圆劣弧所对的圆心角为8 = arccosfe-Jcosft 泌扃 +曲印弧 &（弧度）%为点的经,则有A、B间的球面距离为:L = KB = Ercccsccs(c!1 ):os/7- cos-sin 注 sin /?/图3证明：如图3,°1与Q 分别为过A、B的纬度圈，过 A、C的大圆，过E 、D的大圆分别为a、b的经度圈，而经度圈与纬度圈所在的平面互相垂直，作AEL 面，垂足&位于 上，连结 砌、朋.则 M=OQ；=(OQ-OOj=(Rwi fl-R sin

5、jSj)3=R*也 - sin在峋茹中，由余弦定理，得：BE2 - O2S2 + 0* + 2。退 02Bcos& 马)=。1甘 +0352 - 2O1j4,O25cos(c5l -ceJ=(7?cos/?)* +12尺ccs& 或海届广但)=_砂血决扃+、勤- 2 g步eg ' E也-动 故繇窿+狎T翌-施由航成-2澎艮cos岛-e俱-狗)又,a VaAB2 = 27? sin- =4R2 sin3- = 2(1 - cos 5)i2 J2比较上述两式，化简整理得：COS 6 = COS(CtL - “JCOS 81 COS 用 + 血 81 如 也过两点的大圆劣弧所对的圆心角为B从而可证得关于日与的两个式子例题：北京在东经116.4。，北纬39,9° ,上海在东经121.4